1、北京汇文中学2021-2022学年度第一学期期中考试试卷高二数学 班级 学号 姓名 一. 选择题（每题5分，共10小题）1.若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是( )A(0,1,2) B(3,6,9) C(1，2,3) D(3,6,8)2若 , 表示不同的平面，平面的一个法向量为v1(1,2,1)，平面的一个法向量为v2(2，4，2)，则平面与平面()A平行 B垂直 C相交 D不确定3已知关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则=( ） AB C D4.若向量，且与的夹角余弦为，则=（ ） A B C D 5.已知，则直线AB的斜率为（ ）A. 2B. 1C
2、. D. 不存在6. 圆心为且过点的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 7. 焦点在轴上的椭圆的离心率是，则实数的值是（ ） A. B. C. D.8设椭圆C：y21(0m1)的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是()A. B. C. D.9已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点A在椭圆C上，|AF1|AF2|4，则椭圆C的离心率是()A. B. C. D.10已知F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上，下顶点过椭圆的右焦点F2的直线交椭圆于C，D两点F1CD的周长为8，且直线AC，BC的斜率之积为，则
3、椭圆的方程为()A.y21 B.1 C.y21 D.1二.填空题（每题5分，共6小题）11正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1中点，则直线CE垂直于直线 BD吗? 填“是”或“不是”_12. 已知直线与直线平行，则实数13. 双曲线的渐近线方程为_.14.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数 ；直线的方程为 .15. 已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_.16.设椭圆的左、右焦点分别为，P为直线上一点，是底角为30的等腰三角形，则C的离心率为_。三.解答题（共4道大题，17，18题每题17分，19，20题每题18分）17.已知圆.（）试写出圆的圆心坐标和
4、半径；（）圆的圆心在直线上，且与圆相外切，被轴截得的弦长为，求圆的方程；（III）过点的直线交（）中圆于两点，求弦的中点的轨迹方程.18已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为（1） 求椭圆的方程；（2） 若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程19.如图，已知直线与椭圆交于两点. 过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为. ( I ) 求直线与的斜率之积；( II ) 若直线与轴交于点，求证：与轴垂直. 20如图,四棱锥中，底面为菱形，底面，E是上的一点，(1)证明：平面；(2)设二面角为，求与平面所成角的大小答案 BABC A DA BDC 11.是 12.1或-
5、1 13.y=34x 14.12；2x-y-1=0 15.1 16.3417.（）(x+5)2+(y+5)2=16，圆心(-5,-5)，半径r=4.（）因为圆D圆心在x=-5上，所以设圆D：(x+5)2+(y-b)2=R2，因为圆D与圆C外切，所以|CD|=b+5=R+r=4+R.因为圆D被x轴截得弦长为10，所以圆心D到x轴距离|b|=R2-52.解得R=13,b=12，即圆D：(x+5)2+(y-12)2=132（III）连接DM、PM、DP，PD中点为N(-52,7)，因为M为弦EF中点，所以DMPM，MPD为直角三角形，MN=12DP=12(-5-0)2+(12-2)2=552.因为动
6、点M到定点N(-52,7)的距离为定值552，所以动点M的轨迹为圆，其方程为(x+52)2+(y-7)2=1254.18. （1）由题意可得 解得直线的方程为或19.（）设Px1,y1,A(x2,y2)，联立y=kxx2+2y2=2，得2k2+1x2=2，所以Q-x1,-y1kPA=y2-y1x2-x1, kAQ=y2+y1x2+x1. kPAkAQ=y2-y1x2-x1y2+y1x2+x1因为P,A都在椭圆上，所以x122+y12=1，x222+y22=1.kPAkAQ=y12-y22x12-x22=1-x122(1-x222)x12-x22=12(x22-x12)x12-x22=-12.（）因为kAQ=y2+y1x2+x1=-12kPA，又PQPA，即kPA=-1k所以kAQ=k2，所以直线AQ：y1=k2(x+x1).因为P在直线y=kx上，所以y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x=x1，所以直线PB与x轴垂直.20 解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设. ()证明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得. 所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为.
