1、2022年高一基础学科知识竞赛数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，集合，则（ ）A.B.C.D.2.设为两个平面，“内存在一条直线垂直于”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件3.在下列函数中，最小值是2的函数有（ ）A.B.C.D.4.已知幂函数的图象过点，设，则（ ）A.B.C.D.5.已知，则（ ）A.B.C.D.16.如图，在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，若，则（ ）A.B.C.D.7.秦九韶是我国南宋
2、数学家，其著作数书九章中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中是的内角的对边.已知中，则面积的最大值为（ ）A.B.C.D.8.已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）A.B.复数的虚部是2C.D.复数在复平面内对应的点位于第四象
3、限10.已知函数，则（ ）A.其图象可由的图象向右平移个单位得到B.在仅有1个零点C.在单调递增D.在的最小值为11.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）A.与互斥B.C.与对立D.与相互独立12.地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图，已知球的表面积为，底座由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成
4、直二面角所得，如图，则下列结论正确的是（ ）A.直线与平面所成的角为B.底座多面体的体积为C.平面平面D.球离球托底面的最小距离为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，且，则_.14.2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位：）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的分位数为满足的，则估计本例中_.（结果保留小数点后两位有效数字）15.已知函数，若，则_.16.三棱锥中，顶点在底面的射影恰好是内切圆的圆心，若三个侧面的面积分
5、别为12，16，20，底面的最长边长为10，则点到平面的距离为_；三棱锥外接球的直径是_.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图，在中，.（1）设在上的投影向量为，求的值；（2）若，求.18.（本小题满分12分）已知二次函数，又.（1）求函数在上的最小值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.20.（本小题满分12分）如图，等腰梯形中，为的中点，将沿折起、得到四棱锥，为的中点，（1）线段上是否存在点，使平面？（2）证明：为直
6、角三角形；（3）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的体积.21.（本小题满分12分）2022年“五一”国际劳动节期间，我市市场志愿服务团队对某“冰橙”线下冷链实体加工点作了统计调查，了解到某种冰橙的成本单价为3元，厂家全程灭菌保鲜包装，然后按照每箱100杯冰橙装箱（平均每杯冰橙的包装费约增加1元），然后以每箱500元的价格整箱出售.结合市场需求及冰橙的夏季保鲜条件，厂家特制定如下促销策略：若每天下午4点之前所生产的冰橙没有售完，则对未售出的冰橙以每箱300元的价格出售（降价后能把剩余冰橙全部处理完毕，且当天不再生产该种冰橙），根据厂家市场调研暂定每天最多加工7箱.（1）若某天该厂家加工了7箱该种冰
7、橙，且被7家不同的门店购买，其中在下午4点之前售出的有5箱.现从这7家不同的门店中随机选取2家赠送优惠卡，则恰好一家是以500元购买的门店，另一家是以300元购买的门店的概率是多少？（2）该加工点统计了100天内该种冰橙在每天下午4点之前的销售量（单位：箱），结果如下表（视频率为概率）：（箱）4567频数（天）20302030求每天加工7箱该种冰橙的平均利润.22.（本小题满分12分）对于函数.（1）若，且为奇函数，求的值；（2）若，方程恰有一个实根，求实数的取值范围；（3）设，若对任意实数，当时，满足，求实数的取值范围.2022年高一基础学科知识竞赛数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，
8、每小题5分，共40分.。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.A【解析】因为集合，所以，又集合，所以，故选A.2.C【解析】内存在一条直线垂直于，则，反之也成立，故选C.3.B【解析】对于A：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故A错误；对于B：，由基本不等式可得，当且仅当，即，即时等号成立，故B正确；对于C：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能取到，故C不正确；对于选项D：，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但最小值不是2，故D错误.4.B【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得
9、.，所以.因为为上的增函数，所以，故选B.5.D【解析】因为，所以，即，所以，即，所以，故选D.6.B【解析】平行四边形中，因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，则，故选B.7.B【解析】，即，即，又且，则，；，则，即，则，时，.8.B【解析】是奇函数，恒成立，即，则，解得，又，则，所以，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，恒成立，则恒成立，所以恒成立，解得.故选B.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.ABD【解析】，故A
10、正确；复数的虚部为2，故B正确；，故C错误；复数在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确.故选ABD.10.AD【解析】.对于A：的血象向右平移个单位得到，故A正确；对于B：当时，由，可得，或，即或，则在有且仅有2个零点.故B错误；对于C：由，可得，则在上不单调递增.故C错误；对于D：由，可得，则，则在的最小值为.故D正确.故选AD.11.BD【解析】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4，故与不一定互斥，故A错误；“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”，所以，故B正确
11、；由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”.故B与D不是对立的，故C错误；先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况，第二次掷出的点数为偶数的情况有，共18种不同情况，两掷出的点数相同的情况有：，共6种，两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有，3种情况，所以，所以，所以独立，故D正确.故选BD.12.ABD【解析】根据图形的形成可知，三点在底面上的投影分别是三边中点，如图所示，对于A，面，就是直线与平面所成的角，是等边三角形，A正确；对于B，将几何体补全为直三棱柱，如下图示，多面体的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，由下图知：
12、，故B正确；对于C，因为且，故四边形为平行四边形，故，因为、分别为、的中点，则，故，平面，平面，平面，平面，平面，平面，所以，平面平面，因为过直线有且只有一个平面与平面平行，显然平面与平面不重合，故平面与平面不平行，故C错误；对于D，由上面讨论知，设是球心，球半径为，由得，则是正四面体，棱长为1，设是的中心，则平面，又平面，所以，则，又.所以球离球托底面的最小距离为，D正确.故选ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.【解析】由题意可得，因为，所以，即，解得.14.2.45【解析】由题意可知：就是满足的横坐标的值，因为对应的频率为，对应的频率为，对应的频率为，对应的频率
13、为，对应的频率为，所以落在内，设距离2.5的距离为，所以，所以，所以.15.【解析】，则，得：；令，得：；所以，分别为和与的图像交点的横坐标，如图所示：因为和互为反函数，所以和的图像关于对称，所以、两点关于对称.又、两点均在的图像上，所以，所以.16.（2分） （3分）【解析】不妨设，设在底面的射影为，分别作于点，于点，于点，则，.依题意，为的内心，则，故，又，所以，所以，令，.底面的最长边长为10，可得，解得，所以，.设内切圆半径为，则，因为，即，解得，故，由，得，所以，所以.设点到平面的距离为，由，所以，所以；，点在以为直径的圆上，取中点为，则以为直径的圆的圆心为点，设三棱锥的外接球球心为
14、点，连接，易知平面，又平面，则，过点作交于点，平面，平面，即，四边形为矩形，则，在平面上建立如图所示直角坐标系，则，设，若点在线段上，则，在直角中，即，解得，故点在线段的延长线上，则，同理可得，解得，所以三棱锥的外接球半径为，三棱锥的外接球的直径为.四、解答题（本题共6小题，共70分.，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）在上的投影向量为，（3分）.（5分）（2），.（10分）18.【解析】（1）二次函数，由，可得，是的两个根，（1分）所以，解得，所以，（3分）因为，根据二次函数的性质，可得函数在上单调递增，在上单调递减，（5分）由对称性可知，所以函数在上的最小值为.
15、（6分）（2）设，因为，可得，不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，（8分）所以对任意的恒成立，又由，当且仅当时，取等号，所以，（10分）即，解得，所以实数的取值范围为.（12分）19.【解析】（1）由正弦定理得，（1分）由余弦定理得，（3分）所以，因为，所以.（5分）（2）由，则，故，（6分）而，则，可得，（8分）又，整理得，则，可得，（10分）所以的面积为.（12分）20.【解析】（1）存在，取的中点，连接并延长与的延长线交于，则在面内，为的中点，则为中点，在中，又面，面，（3分）所以平面.（4分）（2）设为中点，连接，由题设且，即为平行四边形，则，所以为等
16、边三角形，故，又为等腰梯形，则，所以，又，易知：，（6分）又，则面，面，故.又，所以，所以为直角三角形.（8分）（3）当四棱锥的体积最大时，面面，则的高即为四棱锥的高，又为的中点，所以到面的距离，（10分）由（2）易知为边长为4的菱形，又，所以.（12分）21.【解析】（1）设这7家不同的门店分别是，其中4点前购买的门店是，4点以后购买的门店是，（1分）从这7家不同的门店中任选2家有21种选法：，.（3分）其中恰好一家是以500元价格购买的门店，另一家是以300元价格购买的门店的情况有10种：，（5分）根据古典概型的概率公式得所求的概率为.（6分）（2）每天加工7箱该种冰橙的平均利润为（元），（11分）所以每天加工7箱该种冰橙的平均利润为420元.（12分）22.【解析】（1），又为奇函数，对定义域内任意恒成立，（2分），解得或（舍去）或（舍去），当时，定义域为符合奇函数的条件，当时，与定义域为符合奇函数的条件，所以或1.（4分）（2）由得；当时，经检验，满足题意；当时，经检验，满足题意；当且时，（6分）若是原方程的解，当且仅当，即，若是原方程的解，当且仅当，即，于是满足题意的.综上，的取值范围为.（8分）（3）令，则在上为减函数，在上为增函数，函数在上为减函数，当时，满足，则，即对任意的恒成立.（10分）设，又，所以函数在上单调递增，所以，.（12分）
