1、2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，4，则UA=（）A5，6B1，2，3，4C2，5，6D2，3，4，5，62在直角坐标系中，直线x+y+1=0的倾斜角是（）A30B60C120D1503设（0，），sin=，则tan等于（）ABCD24将函数y=cos（2x+）的图象向左平移单位后，得到的图象的函数解析式为（）Ay=cos（2x+）By=sin2xCy=cos（2x+）Dy=sin2x5函数f（x
2、）=+lg（1+x）的定义域是（）A（，1）B（1，+）C（1，1）（1，+）D（，+）6圆C1；x2+y2+2x+8y8=0与圆C2；x2+y24x+4y8=0的位置关系是（）A相交B外切C内切D相离7已知函数f（x）=log2（x2axa）值域为R，那么a的取值范围是（）A（4，0）B4，0C（，40，+）D（，4）（0，+）8已知函数f（x）=x+sin2x+1，若f（a）=2，则f（a）的值为（）A0B1C2D39已知方程x22ax+a24=0的一个实根在区间（1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A0a4B1a2C2a2Da3或a110已知m，n是两条不同直线，是两个
3、不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面11下列函数中，图象关于点（，0）对称的是（）Ay=sin（x+）By=cos（x）Cy=sin（x+）Dy=tan（x+）12已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A6B9C12D1813一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4CD614已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（）A1B2C3D415同时具有性质“周期为，图象关于
4、直线x=对称，在上是增函数”的函数是（）ABCD二、填空题(每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上)16一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c，面积为S，则的最大值为17若，则=18已知直线3x+4y3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是19下列叙述正确的有（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）集合0，1，2的非空真子集有6个；集合A=1，2，3，4，5，6，集合B=y|y5，yN*，若f：xy=|x1|，则对应关系f是从集合A到集合B的映射；函数y=tanx的对称中心为（k，0）（kZ）；函数f（x）对任意实数x都有f（x）=恒成立，则函数f（x）是周期为4的
5、周期函数20若函数f（x）=在（，+）单调递增，则实数a的取值范围是三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.21已知=，求cos（+）值22已知点P（1，2）圆C：（x1）2+（y+2）2=4（1）求过点P的圆C的切线方程；（用直线方程的一般式作答）（2）设圆C上有两个不同的点关于直线l对称且点P到直线l的距离最长，求直线l的方程（用直线方程的一般式作答）23已知f（x）=sin2x+cosx，x，则f（x）的值域为24如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小25已知函数f（x）
6、=2sin（x），其中常数0（1）若y=f（x）在，上单调递增，求的取值范围；（2）令=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间a，b（a，bR，且ab）满足：y=g（x）在a，b上至少含有30个零点在所有满足上述条件的a，b中，求ba的最小值26已知f（x）=x22|x|（xR）（1）若方程f（x）=kx有三个解，试求实数k的取值范围；（2）是否存在实数m，n（mn），使函数f（x）的定义域与值域均为m，n？若存在，求出所有的区间m，n，若不存在，说明理由2015-2016学年河北省衡水市冀州中学高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考
7、答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，4，则UA=（）A5，6B1，2，3，4C2，5，6D2，3，4，5，6【考点】补集及其运算【分析】根据全集U，以及A，求出A的补集即可【解答】解：集合U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，4，UA=2，5，6故选C2在直角坐标系中，直线x+y+1=0的倾斜角是（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出【解答】解：设直线x+y+1=0的倾斜角为，0，180）直线化为，ta
8、n=，=150，故选：D3设（0，），sin=，则tan等于（）ABCD2【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：（0，），sin=，cos=，则tan=，故选：C4将函数y=cos（2x+）的图象向左平移单位后，得到的图象的函数解析式为（）Ay=cos（2x+）By=sin2xCy=cos（2x+）Dy=sin2x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据三角函数的图象平移关系进行求解即可【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向左平移单位后，得到y=cos2（x+）+=cos（2x+）=sin2x，故选：B5函
9、数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A（，1）B（1，+）C（1，1）（1，+）D（，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（1，1）（1，+）；故选：C6圆C1；x2+y2+2x+8y8=0与圆C2；x2+y24x+4y8=0的位置关系是（）A相交B外切C内切D相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距等于5，大于半径之和，可得两个圆关系【解答】解：由于 圆C1：x2+y2+2x+8y8=0，即 （x+
10、1）2+（y+4）2=25，表示以C1（1，4）为圆心，半径等于5的圆圆C2：x2+y24x+4y8=0，即 （x2）2+（y+2）2=16，表示以C2（2，2）为圆心，半径等于4的圆由于两圆的圆心距等于=，大于半径之差，小于半径和，故两个圆相交故选：A7已知函数f（x）=log2（x2axa）值域为R，那么a的取值范围是（）A（4，0）B4，0C（，40，+）D（，4）（0，+）【考点】函数恒成立问题【分析】当u（x）能取到（0，+）内每一值时，函数f（x）=log2u（x）值域为R利用二次函数性质需=（a）24（a）0，解出此不等式即可【解答】解：令u（x）=x2axa，当u（x）能取到（
11、0，+）内每一值时，函数f（x）=log2（x2axa）值域为R根据二次函数性质可得，需=（a）24（a）0，即a2+4a0，解得a4或a0，a的取值范围是（，40，+）故选：C8已知函数f（x）=x+sin2x+1，若f（a）=2，则f（a）的值为（）A0B1C2D3【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用f（x）=x+sin2x+1，构造方程组，求f（a）【解答】解：由f（a）=2，得a+sin2a+1=2，f（a）=a+sin2a+1+1=（a+sin2a）+1=1+1=0故选：A9已知方程x22ax+a24=0的一个实根在区间（1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A0a4
12、B1a2C2a2Da3或a1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】令f（x）=x22ax+a24，由已知可得，即，解得答案【解答】解：令f（x）=x22ax+a24，方程x22ax+a24=0的一个实根在区间（1，0）内，另一个实根大于2，即，解得：1a2，故选：B10已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析
13、】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答【解答】解：对于A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行相交或者异面；故B错误；对于C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D11下列函数中，图象关于点（，0）对称的是（）Ay=sin（x+）By=cos（x）Cy=sin（x+）Dy=tan（x+）【考点】正弦函数的图象【分析】把点（，0）代入各个选项，检验可得结论【解答】解：当
14、x=时，f（x）=sin（x+）=，故排除A；当x=时，f（x）=cos（x）=1，故排除B；当x=时，f（x）=sin（x+）=1，故排除C；当x=时，f（x）=tan（x+）=tan，无意义，故它的图象关于点（，0）对称，故选：D12已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A6B9C12D18【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=，高h=3，故该几何体的体积V=9，故选：B13一个四面体各棱长
15、都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A3B4CD6【考点】球内接多面体【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：所以球的表面积为：4R2=3故选A14已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为（）A1B2C3D4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】画出f（x）=，g（x）=lnx的图象，根据图形可判断交点个数【解答】解：f（x）=，g（x）=l
16、nx，根据图形可判断：有3个交点，函数y=f（x）g（x）的零点个数为3个，故选：C15同时具有性质“周期为，图象关于直线x=对称，在上是增函数”的函数是（）ABCD【考点】余弦函数的图象【分析】根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可【解答】解：A函数的周期T=，不满足条件B函数的周期T=，当x=时，y=sin（+）=sin1，则函数关于x=不对称，不满足条件C函数的周期T=，当x=时，y=cos（）=cos=0，则函数关于（，0）对称，不满足条件D函数的周期T=，当x=时，y=sin（）=sin=1，该函数关于关于直线x=对称，在上是增函数，满足条件故选：D二、填空题(每题4分，满
17、分20分，将答案填在答题纸上)16一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c，面积为S，则的最大值为4【考点】扇形面积公式【分析】设扇形的半径为r，则可求：C=4r，S=r2，由配方法可得=（2）2+44，当=2，即r=时等号成立，从而可求的最大值【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为2，半径为r，则l=2r，可求：C=l+2r=2r+2r=4r，扇形的面积为S=lr=r22=r2，=（）2+=（2）2+44，当=2，即r=时等号成立则的最大值为4故答案为：417若，则=2【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值【解答】解：若，则=2，故
18、答案为：218已知直线3x+4y3=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是2【考点】两条平行直线间的距离【分析】先把两平行线方程中一次项的系数化为相同的，利用两平行线间的距离公式进行运算【解答】解：直线3x+4y3=0 即 6x+8y6=0，它直线6x+my+14=0平行，m=8，则它们之间的距离是d=2，故答案为：219下列叙述正确的有（将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）集合0，1，2的非空真子集有6个；集合A=1，2，3，4，5，6，集合B=y|y5，yN*，若f：xy=|x1|，则对应关系f是从集合A到集合B的映射；函数y=tanx的对称中心为（k，0）（kZ）；
19、函数f（x）对任意实数x都有f（x）=恒成立，则函数f（x）是周期为4的周期函数【考点】命题的真假判断与应用【分析】集合0，1，2的非空真子集有6个；举反例x=1时不合题意；反例（，0）也是函数y=tanx的对称中心；可证f（x+4）=f（x），由周期函数的定义可得【解答】解：集合0，1，2的非空真子集有：0、1、2、0，1、0，2、1，2共6个，故正确；当x取集合A=1，2，3，4，5，6中的1时，可得y=|x1|=0，而0不在集合B中，故错误；（，0）也是函数y=tanx的对称中心，而（，0）不在（k，0）（kZ）的范围，故错误；函数f（x）对任意实数x都有f（x）=恒成立，则f（x+2）
20、=，f（x+4）=f（x），故函数f（x）是周期为4的周期函数，故正确故答案为：20若函数f（x）=在（，+）单调递增，则实数a的取值范围是，2）【考点】函数单调性的性质【分析】若函数f（x）=在（，+）上单调递增，则每段函数均为增函数，且当x=1时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，由此可构造满足条件的不等式组，解出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=在（，+）上单调递增，则，解得：a，2）；故实数a的取值范围是，2），故答案为：，2）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.21已知=，求cos（+）值【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知结合三角函数的诱导公
21、式可得sin，再由诱导公式求得cos（+）值【解答】解：由=，得，即sin，cos（+）=sin22已知点P（1，2）圆C：（x1）2+（y+2）2=4（1）求过点P的圆C的切线方程；（用直线方程的一般式作答）（2）设圆C上有两个不同的点关于直线l对称且点P到直线l的距离最长，求直线l的方程（用直线方程的一般式作答）【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程【分析】（1）设过P（1，2）的切线为y2=k（x+1），即kxy+k+2=0，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点P的圆C的切线方程，并求此切线的长度；（2）确定l经过圆C的圆心C（1，2），使P到l的距离最长，则lPC，直线PC的斜率
22、kPC=2，可得l斜率，即可得出直线l的方程【解答】解：（1）当斜率不存在时，x=1，满足题意；当斜率存在时，设过P（1，2）是切线为y2=k（x+1）kxy+k+2=0=2k2+4k+4=k2+1k=两条切线l1：x=1；l2：3x+4y5=0 （2）圆C上有两个不同的点关于直线l对称l经过圆C的圆心C（1，2）使P到l的距离最长，则lPC，直线PC的斜率kPC=2l斜率为.直线l：y+2=（x+1）l方程：x2y3=023已知f（x）=sin2x+cosx，x，则f（x）的值域为，【考点】三角函数的最值【分析】先可将原函数变成y=（cosx）2+，而由x的范围，根据余弦函数的图象可求出，通
23、过上面函数解析式即可求出其值域【解答】解：y=1cos2x+cosx=（cosx）2+，x，cosx，1，1cosx，1（cosx）20（cosx）2原函数的值域为，故答案为：，24如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）证明DC1BC，只需证明DC1面BCD，即证明DC1DC，DC1BD；（2）证明BC面ACC1A1，可得BCAC取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且C1D
24、O是二面角A1BDC1的平面角，由此可求二面角A1BDC1的大小【解答】（1）证明：在RtDAC中，AD=AC，ADC=45同理：A1DC1=45，CDC1=90DC1DC，DC1BDDCBD=DDC1面BCDBC面BCDDC1BC（2）解：DC1BC，CC1BC，DC1CC1=C1，BC面ACC1A1，AC面ACC1A1，BCAC取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O，OHA1C1=B1C1，C1OA1B1，面A1B1C1面A1BD，面A1B1C1面A1BD=A1B1，C1O面A1BD而BD面A1BDBDC1O，OHBD，C1OOH=O，BD面C1OHC1HBD，点H与点D重
25、合且C1DO是二面角A1BDC1的平面角设AC=a，则，sinC1DO=C1DO=30即二面角A1BDC1的大小为3025已知函数f（x）=2sin（x），其中常数0（1）若y=f（x）在，上单调递增，求的取值范围；（2）令=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间a，b（a，bR，且ab）满足：y=g（x）在a，b上至少含有30个零点在所有满足上述条件的a，b中，求ba的最小值【考点】正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且0，利用正弦函数的单调性可
26、得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离若ba最小，则a和b都是零点，此时在区间a，m+a（mN*）恰有2m+1个零点，所以在区间a，14+a是恰有29个零点，从而在区间（14+a，b至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件进一步即可得出ba的最小值【解答】解：（1）函数y=f（x）在上单调递增，且0，且，解得（2）f（x）=2sin2x，把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（kZ）相邻两个零点之间的距离为或若ba最小，则a
27、和b都是零点，此时在区间a，+a，a，2+a，a，m+a（mN*）分别恰有3，5，2m+1个零点，所以在区间a，14+a是恰有29个零点，从而在区间（14+a，b至少有一个零点，另一方面，在区间恰有30个零点，因此ba的最小值为26已知f（x）=x22|x|（xR）（1）若方程f（x）=kx有三个解，试求实数k的取值范围；（2）是否存在实数m，n（mn），使函数f（x）的定义域与值域均为m，n？若存在，求出所有的区间m，n，若不存在，说明理由【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】（1）利用数形结合，分别在同一个坐标系中画出f（x）和y=kx的图象，观察满足条件的k 的范围；（2）分别讨论x的
28、情况，得到对应的方程的根，借助于图象直观的找出满足条件的m，n【解答】解：（1）若方程f（x）=kx有三个解，当x=0时，方程x22|x|=kx成立，即x=0是方程的一个根；当x0时，等价于方程x22|x|=kx有两个不相等的实根，即k=x，设g（x）=，则g（x）=，作出g（x）的图象，如当2k2时满足k=x，有两个不等的实根，综上实数k的取值范围是2k2；（2）由题意，函数的值域为1，+），要使函数f（x）的定义域与值域均为m，n，则m1，且f（x）至少有两个根，当x0时，f（x）=x即x22x=x，解得x=0或者x=3；当x0时，f（x）=x即x2+2x=x，解得x=0或者x=1，f（x）的图象如图，由图象可知区间0，3不成立；所以存在m=1，n=0时，即定义域为1，0，此时函数的值域为1，0，满足条件；m=1，n=3时，即定义域为1，3时，值域为1，3，满足条件2016年10月29日
