1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点36 圆锥曲线的综合问题加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标直线与圆锥曲线的位置的判定；弦长与距离的求法；直线与圆锥曲线相交弦长、中点弦问题.二.知识梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即，消去y后得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线C 相切 ；0，得2k2k10解
2、得1k，当1k且k0时，方程组有两个解，此时，直线与抛物线有两个公共点由0，解得k，当k时，方程组无解，此时直线与抛物线没有公共点综上，可得当k1，或k0，或k时，直线与抛物线只有一个公共点；当1k，且k0时，直线与抛物线有两个公共点；当k时，直线与抛物线没有公共点2.定点定值问题例2已知椭圆C：1(ab0)经过点(0,1)，离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线xmy1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A.试问：当m变化时，直线AB与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由解(1)依题意可得解得a2，b1.所以椭圆C的方程是y21.(
3、2)由得(my1)24y24，即(m24)y22my30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，且y1y2，y1y2.特别地，令y11，则x10，m1，y2.此时A(0,1)，B(，)，直线AB：x4y40与x轴的交点为S(4,0)若直线AB与x轴交于一个定点，则定点只能为S(4,0)以下证明对于任意的m，直线AB与x轴交于定点S(4,0)事实上，经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为.令y0，得xy1x1.只需证明y1x14，即证my130，即证2my1y23(y1y2)0.因为2my1y23(y1y2)0，所以2my1y23(y1y2)0成立这说明，当m变
4、化时，直线AB与x轴交于定点S(4,0)3.最值与取值范围问题例3.已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，直线yx与椭圆在第一象限内的交点是M，M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F2，另一个焦点是F1.(1)求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程；(3)在(2)的条件下，直线l经过左焦点F1，且与椭圆相交于P、Q两点，求F2PQ面积的最大值解(1)由已知可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程1(ab0)由于M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F2，所以M(c，c)，连接MF1，在RtMF1F2中，|F1F2|2c，所以|MF1|c，由椭圆的定义得cc2a，所以e，此即为椭圆的离心率(2)由于M(c
5、，c)，F1(c,0)，F2(c,0)，因此(2c，c)，(0，c)，所以c2，结合已知条件得c22，所以c2，从而a28，b24，故椭圆的方程为1.(3)由(2)知左焦点F1(2,0)，当直线l的斜率k存在时，设其方程为yk(x2)，由消去y得(12k2)x28k2x(8k28)0，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，而F2PQ的面积：SSPF1F2SQF1F2|F1F2|(|y1|y2|)2c|y1y2|2|y1y2|，又|y1y2|k|x1x2|k22，故S4.当直线l的斜率k不存在时，容易求得P(2，)，Q(2，)，所以|y1y2|2，故F2PQ的面积S4.综上可得F2PQ面积的最大值等于4.
