1、文科数学试卷第 1页共 5页绝密启用前【考试时间：2020 年 4 月 24 日下午 15001700】湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考文科数学试题卷本试卷共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。考生注意：1答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝考试顺利!一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题目要求的。1已知集合|04PxRx，|3QxR x，则 PQ A3,4B3,4C,4D3,2 x，y 互为共轭复数，且ixyiyx6432则yx=A2B1C22D43如图所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为 30，若向弦图内随机抛掷 200 颗米粒（大小忽略不计，取31.732），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为A20B27C54D644如图，在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD=3DC，若AD =AB +AC ，则=ABCD25已知定义在 R 上的函数()2
3、1x mf x(m 为实数)为偶函数，记0.52(log3),(log 5),(2)afbfcfm则,a b c 的大小关系为AabcBcbaCcabDacb文科数学试卷第 2页共 5页6如图所示是某多面体的三视图，左上为正视图，右上为侧视图，左下为俯视图，且图中小方格单位长度为 1，则该多面体的侧面最大面积为A.2 3B.6C.2 2D.27已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左,右焦点分别为12,0,0FcF c,又点23,2bNca.若双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足24MFMNb,则双曲线 C 的离心率的取值范围为A.13,53B.131,5,3UC.1,513,UD
4、.5,138为计算 计 算 算 算 算 算 算算tt，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A 计 算B 计 C 计 D 计 9已知ABC的内角,A B C 所对的边分别为,a b c，且3coscos5aBbAc，则tan AB的最大值为A.32B.32C.34D.310已知函数22()2sincossin024rf xxx在区间2 5,36 上是增函数，且在区间0,上恰好取得一次最大值 1，则 w 的取值范围是A.30,5B.1 3,2 5C.1 3,2 4D.1 5,2 211过双曲线222210 xyabab右焦点 F 的直线交两渐近线于 A、B 两点，若0OA ABuur uuur
5、，O 为坐标原点，且OAB内切圆半径为312a，则该双曲线的离心率为A.2 33B.3C.4 33D.3112已知三棱锥 PABC的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC是边长为 2 的正三角形，,E F 分别是,PA AB的中点，90CEF，则球 O 的体积为文科数学试卷第 3页共 5页A68B64C62D6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13命题“t t ，lnt 计 t 算”的否定是_.14观察分析下表中的数据：多面体面积（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中,F V E 所满足的等式是_.15设函数(
6、)e1xf xx，函数 g xmx，若对于任意的12,2x ，总存在21,2x，使得 12f xg x，则实数 m 的取值范围是_.16某小商品生产厂家计划每天生产 型、型、型三种小商品共 100 个，生产一个 型小商品需 5 分钟，生产一个 型小商品需 7 分钟，生产一个 型小商品需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时若生产一个 型小商品可获利润 8 元，生产一个 型小商品可获利润 9元，生产一个 型小商品可获利润 6 元该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大日利润是_元.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生
7、都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17已知数列 ,nnab满足：1121141nnnnnbaabba，.（1）证明：11nb是等差数列，并求数列 nb的通项公式；（2）设1223341.nnnSa aa aa aa a，求实数 a 为何值时 4nnaSb恒成立18如图，ABCD 是边长为 2 的菱形，DAB60，EB平面 ABCD，FD平面 ABCD，EB2FD4.（1）求证：EFAC；（2）求几何体 EFABCD 的体积文科数学试卷第 4页共 5页19人数 X 的可能值及其概率。20如图，设抛物线21:4(0)Cymx m 的准线l 与 x 轴
8、交于椭圆22222:1(0)xyCabab的右焦点21,F F 为2C 的左焦点.椭圆的离心率为12e，抛物线1C 与椭圆2C 交于 x 轴上方一点 P，连接1PF并延长其交1C 于点Q，M 为1C 上一动点，且在,P Q 之间移动.（1）当32ab取最小值时，求1C 和2C 的方程；（2）若12PF F的边长恰好是三个连续的自然数，当 MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线 MP 的方程文科数学试卷第 5页共 5页21已知函数 lnxf xaxe，其中 a 为常数（1）若直线2yxe是曲线 yf x的一条切线，求实数 a 的值；（2）当1a 时，若函数 ln xg xf xbx 在1
9、,上有两个零点求实数 b 的取值范围（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为21xtyt，（t 为参数），曲线21:1Cyx.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4 2 sin4-.（1）若直线 l 与,x y 轴的交点分别为,A B，点 P 在1C 上，求 BA BP 的取值范围；（2）若直线 l 与2C 交于 M N,两点，点 Q 的直角坐标为2,1，求|QMQN的值.23选修 45：不等式选讲已知函数 223
10、f xxxm,Rm（1）当2m 时，求不等式 3f x 的解集；（2）若,0 x ，都有 2f xxx恒成立，求 m 的取值范围文数答案 第 1页，总 9页绝密启用前【考试时间：2020 年 4 月 24 日下午 15001700】湖南湖北四校 2020 届高三学情调研联考文科数学试题卷参考答案及解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112选项BCBADCBBCBAD1、B.【解析】由题意得，0,4P，(3,3)Q ，(3,4PQ ，故选 B.2、C【解析】设,xabi yabi，代入得
11、2222346aabii，所以22224,36aab，解得1,1ab，所以2 2xy.3、B 解析：设大正方体的边长为 x,则小正方体的边长为3122xx，设落在小正方形内的米粒数大约为 N，则223122N200 xxx，解得：N27.4、A【解析】AD =AB +BD =AB +34 BC =AB +34(AC AB )=14 AB +34 AC ，所以=14,=34，从而求得=13.5、D 解析：函数 f(x)是偶函数，()f xfx 在 R 上恒成立，0m，当0 x 时，易得 21xf x 为增函数，0.5223352af logf logbf logcf，22325loglog，ac
12、b6、C 由三视图可知多面体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 PABC，故1AC ，2PA，5BCPC，2 2AB，2 3PB，12 112ABCPACSS ，122 22 22PABS，12 3262PBCS，该多面体的侧面最大面积为 2 2 故选 C7、B 解析：双曲线 C 左支上的任意一点 M 均满足24MFMNb，即2min4MFMNb，又2122MFMNaMFMNa22322bNFaa文数答案 第 2页，总 9页2223244382babababa34802bababa或23ba 222e1,e 5ba 或131N38、B 详解：由 计 算 算 算 算 算 算算tt得程序框图先对奇数
13、项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入 计 ，选 B.9、C【解析】3coscos5aBbAc由正弦定理，得35sinAcosBsinBcosAsinC，CABsinCsin AB（）（），35sinAcosBsinBcosAsinAcosBcosAsinB（），整理，得4sinAcosBsinBcosA，同除以cosAcosB，得4tanAtanB，由此可得23311144tanAtanBtanBtan ABtanAtanBtan BtanBtanB（），AB、是三角形内角，且tanA 与tanB同号，AB、都是锐角，即00tanAtanB，114244tanBtanBtanB
14、tanB33144tan ABtanBtanB（），当且仅当14tanBtanB，即12tanB 时，tan AB（）的最大值为 3410、B解析：22cos1cos1sin242xxx ，2()sin1sinsinsinf xxxxx.文数答案 第 3页，总 9页令2 2xk可 得2 2kx，()f x 在 区间 0,上 恰好 取得 一次 最 大值，02解得12.令2 2 22kxk,解得：2 2 22kkx，()f x 在区间2 5,36 上是增函数，2325365,解得35.综上,1325.故选：B.11、A 解析：因为0ab，所以双曲线的渐近线如图所示，设内切圆圆心为 M，则 M 在A
15、OB平分线 OF 上，过点 M 分别作 MNOA于 N，MTAB于T，由 FAOA得四边形 MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得 FAb，又 OFc，所以 OAa，312NAMNa，所以332NOa，所以tan33MNbAOFaNO，得221(3)3bea.故选 A.12、D 解析：方法一：本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的适合空间想象能力略差学生设2PAPBPCx，,E F 分别为,PA AB 中点，/EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为 2的等边三角形，3CF又90CEF213,2CExAEPAxAEC中余弦定理2243cos2 2xxEACx，作 PDAC于 D
16、，PAPC，文数答案 第 4页，总 9页D为 AC 中点，1cos2ADEACPAx，2243142xxxx，221221222xxx，2PAPBPC，又=2AB BC AC，,PA PB PC两两垂直，22226R，62R，3446 66338VR，故选 D.方法二：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又 E，F 分别为 PA、AB 中点，/EFPB，EFAC，又 EFCE，,CEACCEF平面 PAC，PB 平面 PAC，2PABPAPBPC，PABC为正方体一部分，22226R，即36446 6,62338RVR，故选 D二、填空题：本题共 4
17、小题，每小题 5 分，共 20 分。13、t ，ln 算14、2FVE解析：凸多面体的面数为 F.顶点数为 V 和棱数为 E，正方体：F=6，V=8，E=12，得 F+VE=8+612=2；三棱柱：F=5，V=6，E=9，得 F+VE=5+69=2；三棱锥：F=4，V=4，E=6，得 F+VE=4+46=2.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数 F.顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系：2FVE再通过举四棱锥、六棱柱、等等，发现上述公式都成立。因此归纳出一般结论：2FVE故答案为：2FVE15、1,2 解析：()e1,()exxf xxfxx，对于任意的2,2x，当2,0 x 时，()0fx
18、，当0,2x时，()0fx，即()f x 在2,0上为减函数，在0,2 上为增函数。0 x 为()f x 在2,2上的极小值点，也是最小值点且最小值为2,2，对于任意的11 min2,2,()1xf x ，而总存在21,2x，使得12()f xg x，1 min2min()f xg x.g xmx，0m 时，20g x，不合题意，0m 时，22,2g xmxmm，此时1m ，不合题意，0m 时，文数答案 第 5页，总 9页222,g xmxm m，2min2g xm，121,2mm .16、850【解析】依题意，每天生产的玩具 A 型商品 x 个、B 商品 y 个、C 商品的个数等于：100
19、xy，所以每天的利润 T=8x+9y+6(100 xy)=2x+3y+600.约束条件为：算tt tt算tt tt t ，整理得 tt 算tt .目标函数为 T=2x+3y+600.如图所示,做出可行域.初始直线 l0:2x+3y=0，平移初始直线经过点 A 时，T 有最大值。由 计 tt 计 算tt得 计 t 计 t.最优解为 A(50,50)，此时 Tmax=850(元).即最大日利润是 850 元.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17、（1）11(1)(1)(2
20、)2nnnnnnnnbbbaabbb，11112nnbb 12111111nnnnbbbb 数列11nb是以 4-为首项，1-为公差的等差数列14(1)31nnnb ，12133nnbnn（2）113nnabn 12231111114 55 6(3)(4)444(4)nnnnSa aa aa annnn22(1)(36)8443(3)(4)nnannananaSbnnnn 由条件可知文数答案 第 6页，总 9页2(1)(36)80anan 恒成立即可满足条件，设2()(1)3(2)8f nanan，当1a 时，()380f nn 恒成立,当1a 时，由二次函数的性质知不可能成立 当1a 时，对
21、称轴3231(1)02121aaa，f n 在1,)为单调递减函数(1)(1)(36)84150faaa，154a，时 4naSb恒成立 综上知：1a 时，4naSb恒成立18【解析】(1)连接 DB，DF平面 ABCD，EB平面 ABCD，EBFD，E，F，D，B 四点共面，ACEB，3 分设 DBACO，ABCD 为菱形，ACDB.DBEBB，AC平面 EFDB，EF平面 EFDB，ACEF.6 分(2)EBFD，EBBD，EFDB 为直角梯形，在菱形 ABCD 中，DAB60，AB2，BD2，AOCO 3，梯形 EFDB 的面积 S（24）226，9 分AC平面 EFDB，VEFABCD
22、VCEFDBVAEFDB13SAO13SCO4 3.12 分19、文数答案 第 7页，总 9页20、（1）因为1,2ccm ea，则2,3am bm，所以32ab取最小值时1m ，此时抛物线21:4Cyx，此时22,3ab，所以椭圆2C 的方程为22143xy；（2）因为1,2ccm ea，则2,3am bm，设椭圆的标准方程为2222143xymm，0011,P xyQ x y由222221434xymmymx 得22316120 xmxm，所以023xm 或06xm（舍去），代入抛物线方程得02 63ym，即22 6,33mmP，于是12112576,2,2333mmmPFPFaPFF F
23、m，又12PF F的边长恰好是三个连续的自然数，所以3m 此时抛物线方程为212yx，13,0,2,2 6FP，则直线 PQ 的方程为2 63yx联立22 6312yxyx，得192x 或12x （舍去），于是9,3 62Q所以2292522 63 622PQ，设2,3 6,2 612tMtt 到直线 PQ 的距离为 d，则266753022dt，当62t 时，max6755 63024d，所以 MPQ的面积最大值为1255 6125 622416此时42:6633MP yx 21、（1）函数()f x 的定义域为(0,)，1()axaefxexex，曲线()yf x在点00,xy处的切线方程
24、为2yxe.由题意得000012,2lnaexexxaxee解得1a ，0 xe.所以 a 的值为 1.文数答案 第 8页，总 9页（2）当1a 时，()lnxf xxe，则11()xefxexex，由()0fx，得 xe，由()0fx，得0 xe，则()f x 有最小值为()0f e，即()0f x，所以ln()lnxxg xxbex，(0)x，由已知可得函数lnlnxxyxxe的图象与直线yb有两个交点，设ln()ln(0)xxh xxxxe，则22211 ln1ln()xexeexxh xxxeex，令2()lnxexeexx，22()2eexexxexxx，由220exex，可知()0
25、 x，所以()x在(0,)上为减函数，由()0e，得 0 xe时，()0 x，当 xe时，()0 x，即当0 xe时，()0h x，当 xe时，()0h x，则函数()h x 在(0,)e 上为增函数，在,e 上为减函数，所以，函数()h x 在 xe处取得极大值1()h ee，又1(1)he，322331341h eeeee ，所以，当函数()g x 在1,)上有两个零点时，b 的取值范围是11bee，即1 1,be e.22、(1)由题意可知：直线l 的普通方程为10 xy，1,0A，0,1B1C 的方程可化为2210 xyy，设点 P 的坐标为cos,sin，0，cossin12 sin
26、10,214BA BP (2)曲线2C 的直角坐标方程为：22228xy直线l 的标准参数方程为222212xmym (m 为参数)，代入2C 得：2270mm设,M N 两点对应的参数分别为文数答案 第 9页，总 9页12,m m12122,70mmm m 故12,m m 异号122QMQNmm23、答案：（1）当2m 时，41(0)3()|2|23|2 1(0)2345()2xxf xxxxxx 当 4130 xx 解得102x当30,132x恒成立.当45332xx 解得322x ，此不等式的解集为1 2,2.（2）43(0)3()|2|23|3(0)2343()2xm xf xxxmmxxm x，当(,0)x 时，33(0)2()|2|23|343()2mxf xxxmxm x 当302x时，()3f xm，当3,()432xf xxm 单调递减，()f x的最小值为 3m设2()(0)g xxxx当20,2 2xxx ，当且仅当2xx 时，取等号22 2xx 即2x 时，()g x 取得最大值 2 2.要使2()f xxx恒成立，只需32 2m ，即2 23m .
