1、几何压轴题（2021年一模）1如图，ABC是等边三角形，BDE是顶角为120的等腰三角形，BDDE，连接CD，AE（1）如图1，连接AD，若ABE60，ABBE，求CD的长；（2）如图2，若点F是AE的中点，连接CF，DF求证：CD2DF；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB2，BD2，将BDE绕点B旋转，点H是AFC内部的一点，当DF最大时，请直接写出2HA+HF+HC的最小值的平方【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质得ABBEBC=,勾股定理得CD，由此解答即可；（2）如图，延长至，使，证明，可得，继而证明，可得，可推出垂直平分，且，从而得证；（3）如图
2、，由（2）可知，当取最大值时，最大，过点作，使，过点作交的延长线于，连接，构造出然后勾股定理求解即可【详解】解：（1）如图1，设AD与BE的交点为F，ABE60，ABBE，ABE是等边三角形，AB=AE，DB=DE，AD=AD，ABDAED，BAD=EAD=30，点F是BE的中点，AFB=90，AB=BE=，BF=，AF=，DB=DE，BDE=120，DBF=30，FD=BFtan30=，AD=AF+FD=+=2，CAB=60，BAD=30，CAD=90，CD=；（2）如图，延长至，使，连接DG、EG是的中点，在和中 ，（SAS），是等边三角形，在和中 ，（SAS），即，（3）由（2）可知，当
3、取最大值时，最大，当共线时取等于号，此时 最大， 此时 ，则，当四点共线的时候，取等于号，即最小值为，的最小值的平方为【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函数值，线段和的最小值，轴对称，构造辅助线证明三角形的全等，构造辅助线段的最值是解题的关键2如图，在菱形中，分别过点B作的垂线，过点D作的垂线，两垂线相交于点E（1）如图1，若，连接，求三角形的面积；（2）如图2，点F是延长线上的一点，点G为延长线上的一点，且，连接，交的延长线于点H，连接，试猜想线段，的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，在上取得一点P，使得，已知Q为直线上一点，连接
4、，连接，当最小时，直接写出的值，【答案】（1）；（2），证明见详解；（3）【分析】（1）由菱形的性质和垂直的定义可得是等边三角形，由等边三角形的性质可得，在 中，解直角三角形可得、的值，从而得到三角形的面积；（2）连接，取上一点使，连接 ，过点作于，首先证出 ，可得，再证，可得出 ，由可得出 ，在中，根据含角的直角三角形的性质即可求解；（3）先证明BHD=60，即可推出点H在以C为圆心，BC的长为半径的圆上运动；延长AC交圆C于K，在AC上取一点I使得，连接CH，即可证明PAIHAC，得到即PI的长为一个定值，从而得到点P在以I为圆心，以的长为半径的圆上，由点H在弧BK上运动（包括B点，不包括
5、K点），得到点P在弧MN上运动（包括M点，不包括N点）；过点B作B关于直线DE的对称点，与直线DE交于，连接与直线DE交于点，要使BQ+QP最小，即要最小，则当，Q，P三点共线时，有最小值；根据点P在弧MN上运动，即可得到当P与M重合时，有最小值即BQ+QP有最小值，此时Q与重合，由此求解即可【详解】解：（1）延长交于，四边形是菱形， ，是等边三角形，在中，三角形的面积，即三角形的面积为；（2），证明：连接，取上一点使，连接 ，过点作于，由（1）得是等边三角形，在和中，即 ，在和中，即，；（3）由（2）得，由（1）得EBD是等边三角形，EBD=60，EBF+HBD=120，BDG+HBD=12
6、0，BHD=60，四边形ABCD是菱形，ABCD，BCD=180-ABC=120，点H在以C为圆心，BC的长为半径的圆上运动；延长AC交圆C于K，在AC上取一点I使得，连接CH，即，PAIHAC，即PI的长为一个定值，点P在以I为圆心，以的长为半径的圆上，点H在弧BK上（包括B点，不包括K点），点P在弧MN上运动（包括M点，不包括N点）；过点B作B关于直线DE的对称点，与直线DE交于，连接与直线DE交于点，要使BQ+QP最小，即要最小，当，Q，P三点共线时，有最小值；当点P在弧MN上运动，当P与M重合时，有最小值即BQ+QP有最小值，此时Q与重合；由（1）得，BAD=120，过点C作CTAD于
7、T，四边形ABCD是菱形，ABC=60，CDT=60，AD=CDDCT=30，【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，轴对称最短路径等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键3如图l，四边形为菱形，于点，为上任意一点，连接，为上任意一点（1）若，求的长（用表示）（2）如图2，作交于点，为的中点，连接，猜想线段与存在的数量关系，并证明你猜想的结论（3）在点的运动过程中，当的值最小时，请直接写出的长（用表示）【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）由菱形的性质和可得，为等边三角形，从而可求出，再证明即可得到结
8、论；（2）延长交于点，连接，证明得，证明得，进一步判断为等边三角形，从而求出；（3）作关于点顺时旋转，得到，当点，四点共线时，值最小，连接，此时有，得为等边三角形，判断垂直平分，得，故可求出【详解】解：（1）为菱形，为等边三角形由三线合一知，又（2）证明：延长交于点，连接由题意知，为的中点，在和中，为等边三角形（3）作关于点顺时旋转，得到，为等边三角形当点，四点共线时，值最小连接此时有，为等边三角形，为的垂直平分线垂直平分【点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键4
9、在正方形中，为边上一点（不与点、重合），垂直于的一条直线分别交、于点、，正方形的边长为6（1）如图1，当点和点重合时，若，求线段的长度；（2）如图2，当点在边上时，判断线段、之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当垂足在正方形的对角线上运动时，连接，将沿着翻折，点落在点处，的中点为，直接写出的最小值【答案】（1）；（2）；答案见解析；（3）【分析】（1）证，得，由勾股定理得，证，得，则，再由勾股定理即可得解；（2）过点作于，证，得，进而得出结论；（3）连接交于点，则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线
10、于点，连接，证，得，易证，得，推出，则，证，得，易证是等腰直角三角形，得，推出，则，得，得出点在线段上运动，过点作，垂足为，则当与重合时，最短，即可得出结果【详解】解：（1）四边形是正方形，点和点重合，在和中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：；（2）线段、之间的数量关系为：，理由如下：过点作于，如图2所示：则四边形为矩形，在和中，即；（3）连接交于点，如图3所示：则的直角顶点在上运动，设点与点重合时，则点与点重合；设点与点重合时，则点的落点为，当点在线段上运动时，过点作于点，过点作交延长线于点，连接，点在上，在和中，由翻折性质得：，在和中，是正方形的对角线，是等腰直角三角形，点在线段上运动
11、；过点作，垂足为，则当与重合时，最短，点为的中点，在等腰中，的最小值为【点睛】此题主要考查四边形的综合性质与应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、正方形与等腰三角形的性质定理5如图，在中，将 绕点顺时针旋转得到 ，点，点旋转后的对应分别为点，点（1）当点恰好为线段的中点时， （2）当线段与有交点时，记交点为点.猜想线段与 的数量关系，画出图形并加以证明；（3）在满足（2）的条件下，连接，请直接写出长度的取值范围【答案】（1）60，2；（2），答案见解析；【分析】（1）证明是等边三角形即可解决问题（2）根据要求画出图形结论：如图2，过点作的平行线，交于点，记证明，可得结论（3）如图1中，
12、当时，的值最大，当时，的值最小，分别求出最大值，最小值即可【详解】解：（1），是等边三角形，故答案为：60，2；（2）图形如图所示：结论：理由：如图2，过点作的平行线，交于点，记将绕点顺时针旋转得到，在和中，；（3）如图中，当点落在上时，的值最大，此时是等边三角形，的最大值如图中，随的增大，的值逐渐减小，时，的值最小，最小值，【点睛】本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键6如图，已知ABC中，ABC45，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F（1）如图1，若ABE15，BC1，求D
13、F的长；（2）如图2，若BFAC，过点D作DGBE于点G，求证：BECE2DG；（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角BRH，M为RH的中点在（2）的条件下，将CEF绕点C旋转，得到CEF，E，F的对应点分别为E，F，直线MF与直线AB交于点P，tanACD，直接写出当MF取最小值时的值【答案】（1）；（2）见解析；（3）【分析】（1）如图1中，过点F作FHBC于H设FHCHm，则BHm，根据BC1，构建方程求出m，即可解决问题（2）如图2中，连接DE，过点D作DHDE交BE于H证明BHEC，DHE是等腰直角三角形即可解决问题（3）如图3中，过点M作MJBC于J，
14、过点P作PKBC于K证明tanMBJ2，推出点M的在射线BM上运动，推出当C，F，M共线，且CMBM时，FM的值最小设ADm，想办法求出RM，PF可得结论【详解】（1）解：如图1中，过点F作FHBC于HCDABBDC90DBC45DCB904545FHCHFHC90HFCHCF45CHFH设FHCHmABE15FBC45-1530BHHFmmm1m1CFCHCDBCDFCDCF（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DHDE交BE于HADCFDB90，DBDC，BFACRtBDFRtCDA（HL）DBFACDBFDCFEBFDCFEDFEBFCDFEBFCDEFBCF45DHDEHDE90DH
15、EDEH45DHDEBDCEDH90BDHCDEDBDC，DHDEBDHCDE（SAS）BHECDHDE，DGEHGHEGDGEHBEBHHEEC2DG（3）解：如图3中，过点M作MJBC于J，过点P作PKBC于KBHR，DBC都是等腰直角三角形DBCHBR45HBC90HHBJMJB90四边形BHMJ是矩形BHMJ，HMBJBHHR，HMMRMJ2BJtanMBJ2点M的在射线BM上运动当C，F，M共线，且CMBM时，FM的值最小设ADmtanACDCDBD3m，DFADm，CFCF2m，BC3mCMB90，tanCBM2BMm，CMmBJHMm，JMBHHRmMRm设BKPKn，CK2nn
16、mBKPKm，CK2m，PCmPFPCCFm2m【点睛】本题主要考查了几何动点类综合，其中涉及到的知识点有等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，三角函数的定义，相识三角形的性质和判定等知识点，熟悉掌握几何图形的变换合理作出辅助线是解题的关键7如图，在锐角ABC中，ACB45，点D是边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，连接DE交AC于点F（1）如图1，若ADC60，求证：DFAF+EF；（2）如图2，在点D运动的过程中，当ADC是锐角时，点M在线段DC上，且AMAD，连接ME，猜想线段ME，MD，AC之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
17、（3）在点D运动的过程中，当ADC是钝角时，点N是线段DE上一动点，连接CN，若CFAFm，请直接用含m的代数式表示2CN+NE的最小值【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）2CN+NE的最小值为【分析】（1）在DF上截取FG=AF，证明AFG为等边三角形，再利用AAS证得ADGAEF，即可证明DF=AF+ EF；（2）作出解图的辅助线，证得AMCAEC(SAS)，推出MCE为等腰直角三角形，在RtMCE和RtACG中，利用勾股定理即可求解；（3）过C作CMAE于M，交DE于点N，连接CE，由特殊角的三角函数值得到MN=NE，由垂线段最短，可知此时CN+MN值最小，即CN+NE值最小
18、，再利用解直角三角形即可求得CM的值【详解】证明：（1）在DF上截取FG=AF，连接AG，由旋转得：DAE=90，AD=AE，1=E=45，ADC=60，EDC=ADC-1=15，ACB=45，AFG=EDC+C=15+45=60，AFG为等边三角形，AGF=60，2=180-AGF =120，AFE=180-AFG =120，2=AFE，在ADG和AEF中，ADGAEF(AAS)，DG=EF，DF=DG+GF，DG=EF，GF=AF，DF=AF+ EF；（2），理由是：过A作AGBC于G，连接EC，如图：AD=AM，GM=DM，1=2，ACB=45，AGC=90，GAC=45，则2+3=45
19、，DAE=90，AD=AE=AM，1+4=90-(2+3)= 45，1=2，3=4，在AMC和AEC中，AMCAEC(SAS)，ACM=ACE= 45，MC=EC，MCE= 90，MCE为等腰直角三角形，MC=ME，在RtACG中，AG=CG=AC，CG=GM+MC，AC=D+ME，即；（3）过C作CMAE于M，交DE于点N，连接CE，由（2）知AED=ACB= 45，则，即MN=NE，由垂线段最短，可知此时CN+MN值最小，即CN+NE值最小，2CN+NE值最小，过A作AGBC于G， AED=4= 45，A、D、C、E四点共圆，DCE=DAE= 180，1=AEC，DCE=90，CF=AF=
20、m，则AF=m，AC=m，在ADF和ACD中，3=4=45，ADFACD，则，AD=，在RtAGC中，AG=，GC=，在RtAGD中，DG，DC=GC-DG=，在RtAED中，DEAD=，在RtDCE中，CE，在RtADG中，即，CM，CN+NE= CM，2CN+NE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形以及圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题8在等腰直角中，将线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段连接，交于点，过点作线段的垂线，垂足为，交于点（1）如图1，若求的度数；连接，求证：；（2）如图2，若，当时，请
21、直接写出的值【答案】（1）22.5；见解析；（2）72【分析】（1）证明ACBD，推出CAD=BAD=22.5即可解决问题延长CG交AB的延长线于T证明ABECBT（ASA），推出AE=CTBE=BG，证明BGEBGT（SAS），推出EG=GT，T=BEG=67.5，再证明CFEDFG（AAS）可得结论（2）如图2中，连接CD，过点D作DHBC于H，在DH上取一点J，使得EJ=DJ，设CF=a解直角三角形用a表示DE，构建方程求出a，再求出EC，证明DG=EC即可解决问题【详解】解：（1），证明：延长交的延长线于，（2）解：如图2中，连接，过点作于，在上取一点，使得，设，是等边三角形，设，【点
22、睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题9如图所示，在中，连接对角线把绕着点逆时针旋转，得到线段，点在边上点在线段上，且连接是的中点，连接求证：；猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；当时，请直接写出与存在的数量关系【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）【分析】（1）如图1中，延长到使得，连接证明，可得结论（2）结论：证明是等边三角形，可得结论（3）如图2中，过点作于，过点作于设，想办法用表示，可得结论【详解】解：（1）证明：如图1中，延长到使得，连接，是等边三角形，（2）结论：理由：如图1中，连接，是等边三角形，（3）结论：理由：如图2中，过点作于，过点作于设，设，则，四边形是平行四边形，【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题
