1、赤峰四中新校20212022学年第二学期期中考试高二数学理科一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）1. 下列求导运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则，对四个选项一一验证即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D2. 复数的实部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由复数除法运算法则化简复数，由实部定义可得结果.【详解】，的实部是故选：C.3. 已知某一随机变量的分布列如下，且，则的值为（ ）490.50.2A. 5B. 6C. 7
2、D. 8【答案】B【解析】【分析】由概率和为1求得b，再由数学期望公式建立方程，解之可得选项.【详解】因为，由，解得，故选：B.4. 设随机变量服从正态分布，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性计算【详解】由已知，所以故选：B5. 有编号依次为1，2，3，4，5，6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【详解】若甲
3、猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件.而如果丙猜对，其他老师都不会对.故答案为C.6. 2021年3月28日，云南省人民政府发布关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇腾冲银杏小镇禄丰黑井古镇剑川沙溪古镇瑞丽畹町小镇德钦梅里雪山小镇某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】6个云南特色小镇中任意选两个有15况，其中一
4、个是安宁温泉小镇有5情况，根据古典概型概率公式即可求解【详解】6个云南省特色小镇分别为，其中为安宁温泉小镇则6个云南特色小镇中任意选两个的可能结果有共15种其中一个是安宁温泉小镇有共5种所以要求的概率为 故选：A7. 除以8的余数为（ ）A. B. 1C. 6D. 7【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得【详解】，展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，又，所以所求余数为7故选：D8. 暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（ ）A. B. C. D. 【答
5、案】C【解析】【分析】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由独立事件、互斥事件和对立事件的概率公式计算可得【详解】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由题意，所以故选：C9. 若（），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.【详解】令，则，再令，则，.故选：B.10. 定义在R上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论错误的是（ ）A. 是的一个极小值点B. 和都是的极大值点C. 的单调递增区间是D. 的单调递减区间是【答案】B【解析】【分析】根据导函数的图
6、象和极值点的定义逐个分析判断即可【详解】对于A，由图象可知，当时，当时，所以是的一个极小值点，所以A正确，对于B，由图可知，当时，所以在上单调递增，所以和不是的极值点，所以B错误，对于C，当时，所以的单调递增区间是，所以C正确，对于D，当时，所以的单调递减区间是，所以D正确，故选：B11. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数
7、有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.12. 已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，且，则的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，根据题意可得函数是偶函数，且函数在上递增，不等式即为不等式，根据函数得单调性即可得出答案.【详解】解：令，因为是定义在R上的偶函数，所以，则，所以函数也是偶函数，因为当时，所以当时，所以函数在上递增，不等式即为不等式，由，得，所以，所以，解得或，所以的解集是.故选：B.二、填空题（共4题，每小题5分，
8、共20分）13. _ .【答案】【解析】【分析】由题意结合微积分基本定理运算即可得解.【详解】由题意.故答案为：.【点睛】本题考查了微积分基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14. 已知，则的值为_.【答案】.【解析】【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得，再相加可得答案.【详解】由，得，所以，由得，,则.故答案为：.【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.15. 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为_【答案】【解析】【分析】根据条件概率公式计算即可.
9、【详解】设事件A：第一个路口遇到红灯，事件B：第二个路口遇到红灯，则，故答案为：16. 我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则_【答案】【解析】【分析】先换元令，平方可得方程，解方程即可得到结果.【详解】令，则两边平方得，得即，解得：或（舍去）本题正确结果：【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.三、解答题（共6题，17题10分，其余小题每题
10、各12分，共70分）17. 设与是函数的两个极值点.（1）试确定常数和的值；（2）求函数的单调区间；【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（）先对函数进行求导，根据可求出和的值（）将和的值代入导函数，然后根据函数的单调性与其导函数之间的关系可判断函数的单调性试题解析：（1） 由题意可知： （2） 18. 已知二项式的展开式中，前三项系数的和是.（）求n的值和展开式中所有项的系数和S；（）求展开式中含x的整数次幂的所有项.【答案】（）6，；（）所有项，.【解析】【分析】（）由题意利用展开式的通项公式，求得的值再令，可得展开式中所有项的系数和（）由题意利用展开式的通项公式，求得展开式中
11、含的整数次幂的所有项【详解】解析：（）展开式的通项为，故由已知得，在中令得；（）由（）知，令，得展开式中含x的整数次幂的所有项为，.19. 某大学为该市即将举行的国际马拉松比赛招募志愿者，被招募的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图7-1所示（1）分别求出成绩在第3，4，5组的人数（2）现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有名学生被考官D面试，求的分布列和均值【答案】（
12、1）第3组人数为，第4组的人数为，第5组的人数为 （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，列出算式求解即可（2）根据题意，分别求出时对应概率值，进而列出的分布列表格，进而可得答案【小问1详解】由频率分布直方图，知第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为【小问2详解】利用分层抽样，第3组、第4组、第5组中分别抽取3人、2人，1人设“甲或乙进入面试”为事件，则，所以甲或乙进入面试的概率为的所有可能取值为0，1，2，所以的分布列为01220. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个
13、白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.（1）求摸奖者第一次摸球时恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，有种方法，恰好摸到1个红球有种方法，然后可求概率；（2）求出的所有可能值，分别求解其对应的概率，然后可得分布列.【详解】设表示摸到个红球，表示摸到个蓝球，则与独立.（1）从装有3个红球与4个
14、白球袋中任意摸出3个球，有种方法，恰好摸到1个红球有种方法，故所求概率为.（2）的所有可能值为：0，10，50，200，且，.综上知的分布列为01050200【点睛】本题主要考查古典概率和随机变量的分布列，分布列求解时主要分为两个步骤：一是求解随机变量所有的取值；二是求解每个取值对应的概率.侧重考查数学建模的核心素养.21. 为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表：周末运动时间（分钟）人数（1）从周末运动时间在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，现从这人中随机推荐人参加体能测试，记推荐的人中来自的人数为，求的分布列和数学期望；（2）由频
15、数分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到）；参考数据1：当时，参考数据2：，.【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；（2）计算得出，可求得或，可得出，再利用独立重复试验的概率公式可求得.【详解】（1）随机变量的可能取值为、，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以；（2），又，所以，所以或，所
16、以，所以.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.22. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.【详解】解：（1）当时，切线方程为，即（2），原条件等价于：在上，恒成立.化为令，则令，则在上，在上，故在上，；在上，的最小值为，
