1、第3章 空间向量与立体几何31 空间中向量的概念和运算第3章 空间向量与立体几何 1.理解空间向量 的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法 2.掌握空间向量的线性运算，数量积 3能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1空间向量(1)空间向量的定义在空间，把具有_和_的量叫作空间向量，向量的_叫作向量的长度或模(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的_表示向量的模如图，a 的起点是 A，终点是 B，则 a也可记作_，其模记作|AB|或|a|.大小方向大小长度AB栏目导引探究案讲练
2、互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何2空间向量的加减法如图，从任意一点 O 出发作OA a，OB b.并且从 A 出发作ACb，则 ab_，ab_3空间向量加法的运算律(1)交换律：ab_(2)结合律：(ab)ca(bc)baOCBA栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何4空间向量与实数相乘(1)定义：实数 与空间向量 a 的乘积_仍然是一个_(2)向量 a 与 a 的关系 的范围方向关系模的关系0方向相同a 的模是 a 的模的|倍0a0，其方向是任意的0方向相反(3)空间向量与实数的乘法运算律(ab)_(对向量加法的分配律)
3、(12)a_(对实数加法的分配律)a向量ab1a2a栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何5空间向量的数量积(1)定义：从空间任意一点 O 出发作OA a，OB b，则 AOB 就是 a，b 所成的角，a，b 的数量积 ab_.(2)空间向量数量积的运算律向量与实数相乘和向量数量积的结合律(a)b(ab)交换律abba分配律a(bc)abac|a|b|cos 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1下列命题错误的是()A空间向量AB 的长度与向量BA 的长度相等B零向量没有长度，所以它不是空间向量C同向且等长的
4、有向线段表示同一向量或相等的向量D若 ab，bc，则 ac解析：选 B.A 中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以 B 错误；C 是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以 D 正确栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何3在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量AA1 与CC1 是_向量，向量AC 与C1A1 是_向量答案：相等 相反2在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，设AB a，AD b，AA
5、1 c，则 a(bc)的值为()A1 B0C1D2解析：选 B.a(bc)abac0.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 空间向量的加减运算 如图所示，已知长方体 ABCD-ABCD.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果(1)AA CB；(2)AA AB BC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何【解】(1)AA CB AA DAAA AD AA AD AD.(2)AA AB BC(AA AB)BCAB BC AC.向量AD，AC 如图所示 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章
6、 空间向量与立体几何 试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC 用向量AA，AB，AD 表示解：在平行四边形 ACCA中，由平行四边形法则可得AC AC AA，在平行四边形 ABCD 中，由平行四边形法则可得AC AB AD，故AC AB AD AA.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准
7、确的结果 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 1.化简(AB CD)(AC BD)_解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(AB CD)(AC BD)AB CD AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA 0.法二：(利用向量的减法运算法则求解)(AB CD)(AC BD)(AB AC)BD CD CB BD CD CD CD 0.答案：0栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何2如图，在四棱锥 V-ABCD 中，化简VAVC AB BC.解：VAVC AB BC CA AC 0.栏
8、目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 空间向量的线性运算 如图所示，已知空间四边形 ABCD 中，向量AB a，ACb，AD c，若 M 为 BC 中点，G 为BCD 的重心，试用 a、b、c 表示下列向量：(1)DM；(2)GM；(3)AG.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何【解】(1)连接 AM，在ADM 中，DM DA AM，由线段中点的向量表示知 AM 12(AB AC)12(ab)，由相反向量的概念知 DA AD c，所以DM DA AM 12(ab)c 12(ab2c)栏目导引探究案讲练互动应用
9、案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(2)在BCD 中，GM 13DM 1312(ab2c)16a16b13c.(3)在ADG 中，由三角形重心的性质，得 AG AD DG c23DM c13(ab2c)13(abc)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(1)有限多个空间向量 a1，a2，a3，an 相加，可以从某点 O 出发，逐一引向量OA1 a1，A1A2 a2，An1Anan.如图，于是以所得折线 OA1A2An 的起点 O 为起点，终点 An 为终点的向量OAn 就是 a1，a2，an 的和，即OAn OA1 A1A2 An
10、1Ana1a2an.此即为空间向量的多边形法则(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重合，则和向量为零向量 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值：(1)OQ PQ xPCyPA；(2)PAxPO yPQ PD.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何解：如图，(1)因为OQ PQ PO PQ 12(PAPC)PQ 12PA12PC，所
11、以 xy12.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(2)因为PAPC2PO，所以PA2PO PC.又因为PCPD 2PQ，所以PC2PQ PD.从而有PA2PO(2PQ PD)2PO 2PQ PD.所以 x2，y2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 向量的数量积及应用 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点求下列向量的数量积(1)BC ED1；(2)BF AB1.【解】如图所示，设AB a，AD b，AA1 c，则|a
12、|c|2，|b|4，abbcca0.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(1)BC ED1 BC(EA1 A1D1)b12（ca）b|b|24216.(2)BF AB1(BA1 A1F)(AB AA1)ca12b(ac)|c|2|a|222220.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 若本例的条件不变，计算EF FC1.解：EF FC1(EA1 A1F)(FD1 D1C1)12（AA1 AB）12AD 12AD AB 12（ca）12b 12ba 12(abc)12ba 12|a|214|b|22.栏目导引
13、探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何(1)空间向量运算的两种方法利用定义：利用 ab|a|b|cosa，b并结合运算律进行计算 利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式 利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积 代入 ab|a|b|cosa，b求解 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何 已知|a|3，|b|4，a，b120，则(3a2b)(a2b)_解
14、析：(3a2b)(a2b)3|a|24ab4|b|2 3|a|24|a|b|cos 1204|b|2 3943412 416 27246461.答案：61栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止2证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量若有，则两向量共线；若两向量 a，b 中，b0，且有 ab(R)，则 a，b 共线栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何3两向量的数量积，其结果是实数，
15、而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定4当 a0 时，由 ab0 不能推出 b 一定是零向量，这是因为任一个与 a 垂直的非零向量 b，都有 ab0，这由向量的几何意义就可以理解栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AA1 D1C1 BB1()A.AB1 B.DCC.ADD.BA解析：选 B.因为D1C1 A1B1，所以AA1 D1C1 BB1 AA1 A1B1 BB1 AB1 B1B AB.又AB DC，所以AA1 D1C1 BB1 DC.栏目导引探
16、究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何2.如图所示，在平行四边形 ABCD中，APBD，垂足为 P，且 AP3，则APAC _解析：因为APAC AP(AB BC)APAB APBC APABAP(BD DC)APBD 2APAB，因为 APBD，所以APBD 0.因为APAB|AP|AB|cosBAP|AP|2，所以APAC 2|AP|22918.答案：18栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何3.如图所示，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1，M 为 A1C1 与B1D1 的交点，化简下列向量表达式(1)AA1 A1B1；(2)AA1 A1M MB1；(3)AA1 A1B1 A1D1；(4)AB BC CC1 C1A1 A1A.解：(1)AA1 A1B1 AB1.(2)AA1 A1M MB1 AA1 A1M MD1 AD1.(3)AA1 A1B1 A1D1 AA1 A1C1 AC1.(4)AB BC CC1 C1A1 A1A 0.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第3章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
