1、中数学选择性必修第册第四章 数列知识点要点：数列的概念按定次序排列的列数叫做数列，数列中的每个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按定次序排列的，如果组成数列的数相同排列次序不同，那么它们就不是同数列，例如数列 1，2，3，4，5 与数列 5，4，3，2，1 是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同数列中可以出现多个相同的数字，如：-1 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂，构成数列：-1，1，-1，1，.(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某个确定的数，是个函数值，也就是相当于 f(n)，项数是指这个数在数列中的
2、位置序号，它是变量的值，相当于 f(n)中的 n.(5)次序对于数列来讲是分重要的，有个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6 这 5 个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，2，3，4，5，6中元素不论按怎样的次序排列都是同个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进分类，分为有穷数列和穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列 1，3，5，7，9，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成 1，3，5，7，9，或 1，3，5，7，9，2n-1，它就表示穷数列.(2)按照项与项之间的关系或数
3、列的增减性可以分为以下类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按定次序排列的列数，其内涵的本质属性是确定这列数的规律，这个规律通常是式 f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同个数列，正像每个函数关系不都能解析式表达出来样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，不定是唯的，仅仅知道个数列前的有限项，其他说明，数列是不能确定的，通项公式更唯.如：数列1，2，3，4，由公式写出的后续项就不样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前项，更 要 依 据 数 列 的 构 成 规 律，多 观 察 分 析，真 正 找 到 数 列 的
4、内 在 规 律，由数列前项写出其通项公式，没有通的法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下点：(1)数列的通项公式实际上是个以正整数集 N*或它的有限集1，2，n为定义域的函数的表达式.(2)如 果 知 道 了 数 列 的 通 项 公 式，那 么 依 次 1，2，3，去 替 代 公 式 中 的 n就可以求出这个数列的各项;同时，数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第项.(3)如所有的函数关系不定都有解析式样，并不是所有的数列都有通项公式.如 2 的不近似值，精确到 1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，所构成的数列 1，1.4，1.41，1.414，1.
5、414 2，就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不定是唯的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前项归纳出的数列通项公式并不唯.4.数列的图象对于数列 4，5，6，7，8，9，10 每项的序号与这项有下的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项：4 5 6 7 8 9 10这就是说，上可以看成是个序号集合到另个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是个定义域为正整集 N*(或它的有限集 1，2，3，n)的 函 数，当 变 量 从 到 依 次 取 值 时，对 应 的 列 函数值.这的函数是种特殊的函数，它的变量只能取正整
6、数.由于数列的项是函数值，序号是变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是种特殊的函数，数列是可以图象直观地表示的.数列图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示个数列，在画图时，为便起，在平直坐标系两条坐标轴上取的单位度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把 数 列 与 函 数 较，数 列 是 特 殊 的 函 数，特 殊 在 定 义 域 是 正 整 数 集 或 由 以 1为的有限连续正整数组成的集合，其图象是限个或有限个孤的点.5.递推数列堆钢管，共堆放了七层，上下各层的钢管数构成个数列：4，5，6，7，8，9，10.数列还可以如下
7、法给出：上下第层的钢管数是 4，以下每层的钢管数都上层的钢管数多 1。等差数列如果个数列从第 2 项起，每项与它的前项的差等于同个常数，这个数列就叫做等差数列，那么这个常数叫做等差数列的公差，公差通常字d 表示.等差数列的基本公式通项公式an=a1+(n-1)d，注意：等差数列求和公式即 第 n 项=项+(n-1)公差（n 是项数）前 n 项和公式（相当于 n 个等差中项之和）.注意：n 是正整数等差数列前 n 项求和，实际就是梯形公式的妙：上底为 a1（项），下底为 a1+(n-1)d,为 n，即推论、从通项公式可以看出，an 是 n 的次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在条
8、直线上，由前 n 项和公式知，Sn 是 n 的次函数(d0)或次函数(d=0，a10)，且常数项为 0.、从 等 差 数 列 的 定 义、通 项 公 式、前 n 项 和 公 式 还 可 推 出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1(类 似 地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=pk+pn-k+1)，k 1,2,n.三、若 m，n，p，q N*，且 m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq.若 m+n=2p,则 am+an=2ap.等差中项等差中项即等差数列头尾两项的和的半，但求等差中项不定要知道头尾两项.在 等 差 数 列 中，等 差 中 项 般 设 为
9、 Ar.当 Am,Ar,An 成 等 差 数 列 时，Am+An=2Ar,所以 Ar 为 Am，An 的等差中项，且为数列的平均数，并且可以 推 知 n+m=2r，且 任 意 两 项 am，an 的 关 系 为：an=am+(n-m)d，类 似 地pn=pm+(n-m)d，相当容易证明.它可以看作等差数列义的通项公式.等差数列常应于常活中，如在给各种产品的尺划分级别时，当其中的最尺与最尺相差不时，常按等差数列进分级.其实，中国古代南北朝的张丘建早已在张丘建算经提到等差数列了：今有不善织布，逐所织的布以同数递减，初织五尺，末织尺，计织三，问共织何?书中的解法是：并初、末织布数，半之，余以乘织讫数
10、，即得。这相当于给出了 Sn=的求和公式.等差数列的基本性质r 次等差数列为 什 么 在 等 差 数 列 的 学 习 中 对 公 差 和 项 特 别 地 关 注？因 为 公 差 和 项可以作为等差数列切变化的切点.当我们有更好的切点后，我们可以毫不犹豫地抛弃公差和项.假 设 个 基 向 量 En(x)=1,x,x2,xk，转 换 矩 阵 A 为 k+1 阶 阵，b=b0,b1,b2,bk.b 同 En 的度样为 k+1，b表示 b 的转置。当 k=1 时，我们可以称为次数列；当 k=r 时，我们可以称为 r 次数列(x,k 只能取然数).p(x)=En(x)b.s(x)=xEn(x)Ab.m+
11、n=p+q（m，n，p，q N*)，则 am+an=ap+aq.次等差数列的性质1.p1(x),p2(x)均为次等差数列，则 p1(x)p2(x)与 cp1(x)p2(x)(c 为零常数)也是次等差数列.p(x)是次函数，(n,p(x)构成直线.2.pm-pn=En(m)b-En(n)b=(En(m)-En(n)b=（0,m-n）b.3.m+n=p+qpp+pq=pm+pn(证明:m+n=p+qEn(m)+En(n)=En(p)+En(q).pm+pn=En(m)b+En(n)b=(En(m)+En(n)bpp+pq=(En(p)+En(q)b=(En(m)+En(n)b=pm+pn）.4.从
12、 p(x)=En(x)b中取出等距离的项，构成个新数列，此数列仍是次等差数列，其次项系数为 kb1(k 为取出项数之差)，常数项系数未知.5.在次等差数列中，从第项起，每项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数6.当次项系数 b10 时，数列中的数随项数的增增；当 b1m)，则 Sn-m=(1+)a-3b（5）从 函 数 的 度 看 等 差 数 列 的 通 项 公 式.由 等 差 数 列 的 通 项 公 式an=a1+（n-1）d 可得 an=dn+（a1-d），当 d0 时，an 是关于 n 的次函数.（6）记等差数列的前 n 项和为 Sn若 a10，公差 d0，则当 an0 且an+d
13、 0 时，Sn 有 最 值；若 a10，则 当 an 0 且 an+d 0时，Sn 有最值（7）若等差数列 Sp=q,Sq=p,则 Sp+q=-(p+q).等差数列的特殊性质在有穷等差数列中，与末两项距离相等的两项和相等，并且等于末两项之和.特别地，若项数为奇数，还等于中间项的 2 倍,即，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2a 中例：在数列 1，3，5，7，9，11 中，a1+a6=12;a2+a5=12;a3+a4=12;即，在有穷等差数列中，与末两项距离相等的两项和相等，并且等于末两项之和.在等差数列 1，3，5，7，9 中，即，若项数为奇数，与末两项距离相等的两项和等于中间项
14、的 2 倍.另，等差中项.等数列考点梳理考点：等数列的概念如果个数列从第 2 项起，每项与它的前项的等于同个常数，那么这个数列叫做等数列，这个常数叫做等数列的公.考点、等数列的通项公式要点诠释：程观点：知求；函数观点：函数的图象上群孤的点；当时，若，等数列是递增数列；若，等数列是递减数列；当时，若，等数列是递减数列；若，等数列是递增数列；当时，等数列是摆动数列；当时，等数列是零常数列。考点三、等数列通项公式的主要性质：（1）等中项：成等数列，则；（2）通项公式的推：；（3）若，则；（4）等数列中，若.要点诠释：（1）程思想的具体运；（2）两式相乘除化简。【典型例题】类型：等数列的概念、公式例
15、1.若数列为等数列，,求.思路分析：求解等数列的项，先要根据已知条件求出数列的通项公式。解析：法：令数列的项为,公为 q，则有即，(2)(1)有,.法：为等数列，即,.法三：为等数列，、,也为等数列，,.点评：熟悉等数列的概念，基本公式及性质，要依条件恰当的选择公式，性质，从简洁地解决问题，减少运算量。举反三：【变式】已知等数列，若，求。法：，从解之得，或，当时，；当时，。故或。法：由等数列的定义知，代已知得将代（1）得，解得或由（2）得或，以下同法。类型、等数列的性质【清课堂：数列的概念 388518 典型例题】例 2.（1）等数列中，则()ABCD(2)设为等数列的前 n 项和，已知,则公
16、 q()A3 B4C5 D6答案：AB解析：（1），所以因为，则所以，则（2），两式相减：所以举反三【变式 1】等数列中，若,求.解析：是等数列，例 3.若等数列满，则公为（A）2（B）4（C）8（D）16思路分析：充分理解数列递推关系，并能灵活应。解析：选 B，因为等数列满，所以得因为，所以举反三【变式】在和之间插三个数，使这五个数成等数列，则插的三个数的乘积为_。答案：216；法：设这个等数列为，其公为，。法：设这个等数列为，公为，则，加的三项分别为，由题意，也成等数列，故，。类型三：等数列的判断与证明例 4已知数列an的前 n 项和 Sn 满：log5(Sn+1)=n(n N+),求出数
17、列an的通项公式，并判断an是何种数列？解析：log5(Sn+1)=n,Sn+1=5n,Sn=5n-1(n N+),a1=S1=51-1=4,当 n2 时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1 n=1 时，45n-1=451-1=4=a1,n N+时，an=45n-1由上述通项公式，可知an为项为 4，公为 5 的等数列.举反三：【变式 1】已知数列Cn，其中 Cn=2n+3n，且数列Cn+1-pCn为等数列，求常数 p。解析：p=2 或 p=3；Cn+1-pCn是等数列，对任意 n N 且 n2，有(Cn+1-pCn)2=(Cn
18、+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)Cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1整理得：,解得：p=2 或 p=3,显然 Cn+1-pCn0，故 p=2 或 p=3 为所求.【变式 2】设an、bn是公不相等的两个等数列，Cn=an+bn,证明数列Cn不是等数列.证明：设数列an、bn的公分别为 p,q，且 pq为证Cn不是等数列，只需证.,pq,a10,b10,即 数列Cn不
19、是等数列.【变式 3】判断正误：(1)an为等数列a7=a3a4；(2)若 b2=ac，则 a，b，c 为等数列；(3)an，bn均为等数列，则anbn为等数列；(4)an是公为 q 的等数列，则、仍为等数列；(5)若 a，b，c 成等，则 logma，logmb，logmc 成等差.答案：(1)错；a7=a1q6，a3a4=a1q2a1q3=a12q5，等数列的下标和性质要求项数相同；(2)错；反例：02=00，不能说 0，0，0 成等；(3)对；anbn项为 a1b1，公为 q1q2；(4)对；(5)错；反例：-2，-4，-8 成等，但 logm(-2)意义.类型四：等数列的其他类型例 5
20、已知三个数成等数列，若前两项不变，第三项减去 32，则成等差数列.若再将此等差数列的第项减去 4，则成等数列.求原来的三个数.思路分析：结合数列的性质设未知数。解析：法：设成等差数列的三数为 a-d,a,a+d.则 a-d,a,a+d+32 成等数列，a-d,a-4,a+d 成等数列.由(2)得 a=.(3)由(1)得 32a=d2+32d.(4)(3)代(4)消 a，解得或 d=8.当时,；当 d=8 时,a=10 原来三个数为,或 2,10,50.法：设原来三个数为 a,aq,aq2，则 a,aq,aq2-32 成等差数列，a,aq-4,aq2-32 成等数列由(2)得，代(1)解得 q=
21、5 或 q=13当 q=5 时 a=2；当 q=13 时.原来三个数为 2，10，50 或，,.总结升华：选择适当的设法可使程简单易解。般地，三数成等差数列，可设此三数为 a-d,a,a+d；若三数成等数列，可设此三数为，x,xy。但还要就问题，这解法中采项 a，公 q 来解决问题反简便。举反三：【变式 1】个等数列有三项，如果把第项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项成为等数列，求原来的等数列.解析：设所求的等数列为 a，aq，aq2；则2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得 a=2，q=3 或，q=-
22、5；故所求的等数列为 2，6，18 或.例 6已知三个数成等数列，它们的积为 27，它们的平和为 91，求这三个数。思路分析：如果充分考虑到等数列的性质来设未知数，会使求解过程简单些。解析：设这三个数分别为，由已知得得，所以或，即或故所求三个数为：1、3、9 或1、3、9 或 9、3、1 或9、3、1。总结升华：程的思想在解决数列问题中的应。第五章 元函数的导数及其应平均变化率:般地，对于函数 y=f(x)，x1,x2 是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可式表示，我们把这个式称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，习惯上表示，即平均变化率上式中的值可正可负，但不为 0f(x)
23、为常数函数时，瞬时速度:如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v 就是物体在 t 到这 段 时 间 内，当时 平 均 速 度 的 极 限，即若物体的运动程为 s=f(t),那么物体在任意时刻 t 的瞬时速度 v(t)就是平均速度v(t，d)为当 d 趋于 0 时的极限函数 y=f（x）在 x=x0 处的导数的定义：般地，函数 y=f（x）在 x=x0 处的瞬时变化率是，我 们 称 它 为 函 数 y=f（x）在 x=x0 处 的 导 数，记 作或，即。导函数：如果函数 y=f(x)在开区间(a，6)内的每点都可导，则称在(a，b)内的值 x 为变量，以 x 处的导
24、数称为 f(x 为函数值的函数为 fx）在(a，b)内的导函数，简称为 f（x）在(a，b)内的导数，记作 f(x)或 y即 f(x）=切线及导数的何意义：（1）切线：PPn 为曲线 f（x）的割线，当点 Pn（xn，f（xn）（n N）沿曲线 f（x）趋近于点 P（x0，f（x0）时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT 称为点 P 处的切线。（2）导数的何意义：函数 f（x）在 x=x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即k=。瞬时速度特别提醒：瞬时速度实质是平均速度当时的极限值瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数 y=f（x）在 x=x0 处
25、的导数特别提醒：当时，值的极限存在，则 f（x）在点 x0 处可导；若的极限不存在，则 f(x)在点 x0 处不可导或导数变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但函数的增量可正可负，也可以为 0在点 x=x0 处的导数的定义可变形为:导函数的特点：导数的定义可变形为：可导的偶函数其导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的周期函数其导函数仍为周期函数，并不是所有函数都有导函数导函数与原来的函数 f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在 x0处的函数值即为函数 f(x)在点 x0 处的导数值区间般指开区间，因为在其端点处不定有增量（右端点增量，左端点减量）导数的何意义（即
26、切线的斜率与程）特别提醒：利导数求曲线的切线程求出 y=f(x)在 x0 处的导数 f(x)；利直线程的点斜式写出切线程为 y-y0=f(x0)（x-x0）若函数在 x=x0 处可导，则图象在(x0，f(x0)处定有切线，但若函数在 x=x0处不可导，则图象在（x0，f(x0）处也可能有切线，即若曲线 y=f(x)在点(x0，f(x0)处的导数不存在，但有切线，则切线与 x 轴垂直注意区分曲线在 P 点处的切线和曲线过 P 点的切线，前者 P 点为切点；后者 P 点不定为切点，P 点可以是切点也可以不是，般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，显然 f（x0）0，切线与 x 轴正向的夹为锐；f（x0）0)，若速度 v(t)的最值为，且对任意的 t0 R,在 tt0 与 tt0 时速度相同，求 a、b 的值。解：v(t)s(t)acostbsint v(t)的最值为 a2+b2 在 tt0 与 tt0 时速度相同(a+b)(cost0sint0)0 且对任意的 t0 R 且 a0(a+b)0，a，b
