1、数学选择性必修第一册-1-高中数学 选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABabuuuruuuruuurvr;BAOAOBabuuuruuuruuurrr;()OPaRuuurr运算律：（1）加法交换律：abba（2）加法结合律：)()(cbacba（3）数乘分配律：baba)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面
2、体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b，记作ba/。（2）共线向量定理：空间任意两个向量 a、b（b0），a/b存在实数，使 a b。（3）三点共线：A、B、C 三点共线ACAB OByOAxOC（其中 x+y=1）（4）与 a 共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a brr不共线，pr 与向量,a brr共面的条件是存在实数x，y使 pxaybrrr。（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共
3、面ACyABxAP )1(zyxOCzOByOAxOP其中5、空间向量基本定理：如果三个向量,a b crrr 不共面，那么对空间任一向量 pr，存在一个唯一的有序实数组,x y z，使 pxaybzcrrrr。若三向量,ab crrr不共面，我们把,a b crrr 叫做空间的一个基底，,a b crrr 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OPxOAyOBzOCuuuruuuruuuruuur。6、空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在 空 间 直
4、 角 坐 标 系 Oxyz中，对 空 间 任 一 点 A，存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组(,)x y z，使aa数学选择性必修第一册-2-zkyixiOA，有序实数组(,)x y z 叫作向量 A 在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,)A x y z，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直
5、，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用,i j kr r r表示。空间中任一向量kzjyixa=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：若123(,)aa a ar，123(,)bb b br，则112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr，123(,)()aaaaRr，1 1223 3a ba ba ba br r，112233/,()abab ab abRrr，1 1223 30aba ba ba brr若111(,)A x y z，222(,)B xyz，则212121(,)ABxx yy zzuuur一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这
6、个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若111(,)A x y z，222(,)B xyz，PBAP，则点 P 坐标为)1,1,1(212121zzyyxx。推导：设 P（x，y，z）则),(),(22211,1zzyyxxzzyyxx,显然，当 P 为 AB 中点时，)2,2,2(212121zzyyxxP),(),(,333222111zyxCzyxB）zy，A（xABC中，三角形重心 P 坐标为)2,2,3(321321321zzzyyyxxxPABC 的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。)(ACACABABAP（单位向量）外心 P：外接圆的圆心，中垂线的
7、交点。PCPBPA垂心 P：高的交点：PCPBPCPAPBPA（移项，内积为 0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）)(31ACABAP中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若123(,)aa a ar，123(,)bb b br，则222123|aa aaaarr r，222123|bb bbbbrr r数学选择性必修第一册-3-（5）夹角公式：1 1223 3222222123123cos|a ba ba ba ba babaaabbbr rr rrr。ABC 中0 ACABA 为锐角0 ACABA 为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若111(,)A x y z，
8、222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzzuuuruuur，或222,212121()()()A Bdxxyyzz7、空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a brr，在空间任取一点O，作,OAa OBbuuuruuurrr，则AOB叫做向量 ar 与br的夹角，记作,a brr；且规定 0,a brr，显然有,a bb arrrr；若,2a brr，则称 ar 与br互相垂直，记作：abrr。（2）向量的模：设OAauuurr，则有向线段OAuuur的长度叫做向量 ar 的长度或模，记作：|ar。（3）向量的数量积：已知向量,a
9、 brr，则|cos,aba brrrr叫做,a brr的数量积，记作 a brr，即 a brr|cos,aba brrrr（4）空间向量数量积的性质：|cos,a eaa er rrr r0aba brrrr2|aa arr r（5）空间向量数量积运算律：()()()aba babrrrrrr。a bb arrrr（交换律）。()abca ba crrrrrr r（分配律）。不满足乘法结合律：)()(cbacba二、空间向量与立体几何1、线线平行 两线的方向向量平行线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直面面平行 两面的法向量平行2、线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直线面垂直 线与面的
10、法向量平行面面垂直 两面的法向量垂直3、线 线 夹 角 （共 面 与 异 面）90,0OO 两 线 的 方 向 向 量2,1 nn的 夹 角 或 夹 角 的 补 角，21,coscosnn线面夹角90,0：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.nAP,cossin面面夹角（二面角）180,0：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量2,1 nn的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.21,coscosnn4、点面距离 h ：求点00,P xy到平面 的距离：在平面 上去一点,Q
11、x y，得向量 PQuuur;；计算平面 的法向量n;.nnPQh数学选择性必修第一册-4-线面距离（线面平行）：转化为点面距离面面距离（面面平行）：转化为点面距离数学选择性必修第一册-5-第二章 直线和圆的方程一、直线方程1、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与 轴平行或重合时，其倾斜角为 0，故直线倾斜角的范围是.注：当或时，直线 垂直于 轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点
12、式、斜切式.特别地，当直线经过两点，即直线在 轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.当 为定植，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.当 为定值，变化时，它们表示一组平行直线.3、（1）两条直线平行：两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线.在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则，且或的斜率均不存在，即是平行的必
13、要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则.（2）两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.（即是垂直的充要条件）4、直线的交角：（1）直线到的角（方向角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.（2）两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.5、过 两 直 线的 交 点 的 直 线 系 方 程为 参 数，不包括在内）6、点到直线的距离：（1）点 到 直 线 的 距 离 公 式
14、：设 点，直 线到的 距 离 为，则 有xx)0(18009012 xx lxx),0(),0,(baxy)0,0(,baba1 byax232xy232xy)0(232xxybkxybk,bk,bkbkb1l212kkl1l2l1l2l21,lly21,bb1l212kkl21 bb 21,ll2121ABBA21 CC 21,ll21,1l212 l1l2l1k2k12121kkll21,ll0121kll2l02k1l01221BABA1l2l1l2l1l2l),0(9021121tankkkk1l2l1l2l1l2l1l2l2,0 9021121tankkkk0:0:22221111C
15、yBxAlCyBxAl(0)(222111CyBxACyBxA0222CyBxA),(00 yxPPCByAxl,0:ld数学选择性必修第一册-6-.注：两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：.特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：定 比 分 点 坐 标 分 式。若 点 P(x,y)分 有 向 线 段,其 中 P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。直线的倾斜角（0180）、斜率:过两点.当（即直线和 x 轴垂直）时，直线的倾斜角，没有斜率（2）两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注：直线系
16、方程与直线：Ax+By+C=0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.(mR,Cm).与直线：Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)过直线 l1、l2 交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+(A2x+B2y+C2）=0(R）注：该直线系不含l2.7、关于点对称和关于某直线对称：（1）关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.（2）关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对
17、称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.（3）点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线（）对称的解法：y 换 x，x 换 y.例：曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=x2 对称曲线方程是 f(y+2,x 2)=0.曲线 C:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线方程是 f(a x,2b y)=0.二、圆的方程1、（1）曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标
18、的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.（2）曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.2200BACByAxd21221221)()(|yyxxPP22|OPxy1212PPPPPPuuuruuur所成的比为 即1,12121yyyxxxtank1212222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：12()xx2121,yyxx90新疆学案王新敞)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxld2221BACCdbxyC0),(yxf),(yx
19、M0),(yxf),(yx0),(yxf0),(yxf数学选择性必修第一册-7-0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxC0)()()(212121FFyEExDD注：如果曲线 C 的方程是 f(x,y)=0，那么点 P0(x0,y)线 C 上的充要条件是 f(x0,y0)=0 2、圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.特例：圆心在坐标原点，半径为 的圆的方程是：.注：特殊圆的方程：与 轴相切的圆方程 与轴相切的圆方程 与 轴轴都相切的圆方程 3、圆的一般方程：.当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：圆的参
20、数方程：（为参数）.方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4、点和圆的位置关系：给定点及圆.在圆内在圆上在圆外5、直线和圆的位置关系：设圆圆：；直线：；圆心到直线 的距离.时，与相切；附：若两圆相切，则相减为公切线方程.时，与相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为时，与相离.附：若两圆相离，则相减为圆心的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组用代入法，得关于（或）的一元二次方程，其判别式为，则：与相切；与相交；与相离.注：若两圆为同心圆则，相减，不表示直线.6、圆 的 切 线 方 程：圆的 斜 率 为的 切 线 方 程 是过 圆),(baCr222)
21、()(rbyaxr222ryxx222)()(bbyax),(),(,bababr或圆心y222)()(abyax),(),(,babaar或圆心xy222)()(aayax),(,aaar圆心022FEyDxyx0422FED2,2EDC2422FEDr0422FED2,2ED0422FEDsincosrbyrax022FEyDxCyBxyAx0B0 CA0422AFED0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA),(00 yxM222)()(:rbyaxCMC22020)()(rbyaxMC22020)()rbyax（MC22020)()(rbyaxC)0()()(
22、222rrbyaxl)0(022BACByAx),(baCl22BACBbAadrd lC002222211122FyExDyxFyExDyxrd lCrd lC002222211122FyExDyxFyExDyx21OO0)()(222CBxAxrbyaxxyl0Cl0Cl0C011122FyExDyx022222FyExDyx222ryxkrkkxy21ABCD(a,b)数学选择性必修第一册-8-上一点的切线方程为：.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2.特别地，过圆上一点的切线方程为.若点(x0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立
23、求出切线方程.7、求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD 四类共圆.已知的方程 又以 ABCD 为圆为方程为，所以 BC 的方程即代，相切即为所求.三、曲线和方程1、曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解（纯粹性）；方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上（完备性）。则称方程 f(x,y)=0 为曲线 C 的方程，曲线 C叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。2、求曲线方程的方法：.直接法：建系设点，列式表标,简化检验;参数法;定义法，待
24、定系数法.022FEyDxyx),(00 yxP0220000FyyExxDyyxx222ryx),(00 yxP200ryyxx1)()(2110101RxakybRxxkyykO022FEyDxyx2)()(kbxyyaxxxAA4)()(222byaxRAA数学选择性必修第一册-9-第三章 圆锥曲线方程一、椭圆方程1、椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于定长（定长通常等于 2a，且2aF1F2）的点的轨迹叫椭圆。（1）椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在 x 轴上：.中心在原点，焦点在轴上：.注：以上方程中,a b 的大小0ab，其中222bac；在22221x
25、yab 和22221yxab 两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。一般方程：.椭圆的标准方程：的参数方程为（一象限 应是属于）.（2）椭圆的性质 顶点：或.轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长.焦点：或.焦距：.准线：或.离心率：.【0ac，01e，且e 越接近1，c 就越接近 a，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于 a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。】焦（点）半径：设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则0201,exaPFexaPF设为椭圆
26、上的一点，为上、下焦点，则0201,eyaPFeyaPF由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：和为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF)0(12222 babyaxy)0(12222 babxay)0,0(122BAByAx12222byaxsincosbyax20),0)(0,(ba)0,)(,0(ba ya2b2)0,)(0,(cc),0)(,0(cc2221,2baccFFcax2cay2)10(eace),(0
27、0 yxP)0(12222 babyax21,FF),(00 yxP)0(12222 baaybx21,FF)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF)sin,cos(baN),(2222abcabd),(2abc数学选择性必修第一册-10-焦点三角形的面积：若 P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）。若是双曲线，则面积为。（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于 0 的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2、椭圆的第二定义：平面内到定点 F 的距离和它到一条定直线 L（F 不在 L 上）的距离
28、的比为常数 e（01e）的点的轨迹叫做椭圆。其中定点 F 为椭圆的焦点，定直线 L 为椭圆焦点 F 相应的准线。二、双曲线方程1、双曲线的第一定义:平面内到到两个定点 F1，F2 的差的绝对值等于定长（定长通常等于 2a，且2a1）的点的轨迹叫做双曲线。其中定点 F 为双曲线的焦点，定直线 L 为双曲线焦点 F 相应的准线。三、抛物线方程（1）抛物线的概念：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正
29、半轴上，焦点坐标是 F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线方程范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率焦半径通径2p2p2p2p2222byax2222byax02222byax)0(2222byax02222byax0 byax)0(2222byaxxy21)21,3(p)0(422yx)21,3(12822 yx0ppxy22pxy22pyx22 pyx22yxOyxOyxOyxO)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px 2py2py Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRxxy1e12xpPF1
30、2xpPF12ypPF12ypPF数学选择性必修第一册-12-焦点弦x1+x2+px1+x2+py1+y2+py1+y2+p注：通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的.（或）的参数方程为（或）（为参数）.四、圆锥曲线的统一定义1、圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F 和定直线 的距离之比为常数 的点的轨迹.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）.【弦长公式4)(1(1212212212xxxxkxxkAB】2、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1、到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(
31、2a|F1F2|)的点的轨迹2、与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）1、到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值为定值 2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a.点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点 M 到直线 l 的距离.图形标准方程(0)(a0,b0)pxy22 方程 参数方程(t 为参数)范围axa，byb|x|a，yRx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长 2a,
32、短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)准 线x=ca 2准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=ca 2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1pxy22pyx22ptyptx222222ptyptxtle10 e1e1e0eace bac,012222 byaxba 12222 byax为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222)0,2(pF22ba 22ba)10(eace
33、)1(eace数学选择性必修第一册-13-【备注 1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.（2）共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.【备注 2】抛物线：（1）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2p，顶点到准线的距离 2p，焦点到准线的距离为 p.（2）已知过抛物线2y=2px(p0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 弦 长 AB=21xx+p 或2sin2pAB(为直线 AB 的倾斜角)，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF 叫做焦半径).弦长公式：|()()ABxxyy122122 14212212kxxx x()1212kxx|222ayxxy2e)0(2222byax02222byax0 byax)0(2222byax数学选择性必修第一册 14
