1、高考资源网（） 您身边的高考专家石家庄市20192020学年度第一学期期末考试高二数学1.为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔为（ ）A. 40B. 30C. 20D. 12【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果.【详解】由总数为1200，样本容量为40，所以抽样距为：故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.2.某中学高三从甲、乙两个班中各选出名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是，乙班学生成绩的中位数是，則的值为（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】D【解析】甲班众数为，故，乙班中位数为，故，所以.3.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：将其方程变为标准方程为，根据题意可得，且，解得，故A正确考点：椭圆的方程及基本性质4.若，满足则的最大值为（ ）A. 0B. 1C. D. 2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法5.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型清陆以湉在冷庐杂识中写道：近又有七巧图，其式五，其数七
3、，其变化之式多至千余如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设阴影部分正方形的边长为，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为，则七巧板所在正方形的边长为，由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率，故选B.【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.6.已知曲线上一点，则点处的
4、切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得切线的斜率，然后根据点斜式，可得结果.【详解】由曲线，则所以所以切线方程为：即：故选：C【点睛】本题主要考查曲线在某点处切线方程的求法，属基础题.7.设命题：函数在上为单调递增函数；命题：函数为奇函数，则下列命题中真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数型函数以及余弦型函数的性质，可得命题、命题真假，然后根据真值表，可得结果.【详解】由函数在上单调递增函数所以函数在上为单调递增函数故命题为真命题，由的定义域为且故可知函数为偶函数所以命题为假命题.所以为真命题.
5、故选：D【点睛】本题考查函数的单调性，奇偶性的判断以及真值表的应用，属基础题.8.正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取中点为，连接，得到 BD与PE所成角为，在中，利用余弦定理得到答案.【详解】如图所示：取中点为，连接，易知 故BD与PE所成角为中， 利用余弦定理得到： 解得故选 【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.9.设，“命题”是“命题”的（ ）A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分
6、析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果.【详解】由，则或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命题是命题充分且不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案【详解】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：，故组合体的体积，故选D【点睛】
7、本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键，属于中档题.11.设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为 （ ）A. 9,12B. 8,11C. 10,12D. 8,12【答案】D【解析】【分析】椭圆的焦点恰好是两圆的圆心，利用椭圆的定义先求出点P到两焦点的距离|PF1|+|PF2|，然后|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成|PF1|+|PF2|减去两个半径和加上两个半径【详解】两圆圆心F1（4，0），F2（4，0）恰好是椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|10，两圆的半径r1，（
8、|PM|+|PN|）min|PF1|+|PF2|2r1028（|PM|+|PN|）max|PF1|+|PF2|+2r10+212故选D【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解决本题的关键是把|PM|+|PN|的最小值、最大值转化成与两圆的半径差与和问题12.已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造新函数，通过导数研究该函数的单调性，利用单调性比较大小，可得结果.【详解】令，则由，所以故函数为上的单调递增，所以故即故选：B【点睛】本题主要考查利用函数单调性比较式子大小，难点在于构造函数，属中档题.13.函数的极小
9、值为_【答案】.【解析】试题分析：，令得，当或时，当时，所以当时，函数有极小值，且极小值是考点：导数研究函数的极值14.在集合A2,3中随机取一个元素m，在集合B1,2,3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内部的概率为_【答案】【解析】由题意得点P(m,n)有:(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6个,在圆x2+y2=9内部的点有(2,1),(2,2),即所求概率为=.15.已知椭圆的一个焦点为，经过点且斜率为1的直线与该椭圆交于，两点，则线段的长为_.【答案】【解析】【分析】根据椭圆焦点可得，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式
10、，可得结果.【详解】设由椭圆的一个焦点为，所以，则可知椭圆方程为，又直线的方程为：由故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆中弦长公式的应用，属基础题.16.已知点是抛物线的对称轴与其准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】采用数形结合，找到当取最小值时，得到直线与抛物线相切，进一步可得点坐标，然后根据双曲线的定义，可得结果.【详解】如图所示：作垂直准线交于点，则所以故当直线与抛物线相切时，最小.设直线方程为：则所以，即，不妨令则可得，所以则所以故答案为：【点睛】本题主要考查抛物线与双曲线的几何性
11、质，难点在于得到直线与抛物线相切，属难题.17.为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级100名学生进行跳绳测试，观察记录孩子们三分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个数的数值落在区间，内的频率之比为.（计算结果保留小数点后面3位）（）求这些学生跳绳个数的数值落在区间内的频率；（）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个学生，求这2个学生跳绳个数的数值都在区间内的概率.【答案】（）0.05；（）.【解析】【分析】（）根据频率之比，可假设数值落在区间，的频率，然后利用所有频率之和为1，可得结果.（）根据区间，内的频率之比为：
12、3：2：1，按分层抽样的方法将这三个区间的所抽取的人数分别进行标号，采用列举法，然后利用古典概型，可得结果.【详解】（）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和，依题意得： .解得.所以区间内频率为0.05.（）由（）得：区间，内的频率依次为0.3，0.2，0.1.用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本.则在区间内应抽取人，记为，在区间内应抽取人，记为，在区间内应抽取人，记为.设“从中任意选取2个孩子，这2个孩子跳绳数值都在区间内”为事件，则所有的基本事件有：，共15种.事件包含的基本事件有：，共10种.所以这2个孩子跳绳数值都在区间内的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应
13、用，属基础题.18.已知圆过三点，直线.（）求圆的方程（）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.【答案】（）；（）或.【解析】【分析】（）根据圆的一般方程，解方程组，可得结果.（）利用圆的弦长公式，可得结果.【详解】（）设圆的方程为：所以故圆的方程.（）过圆心作， 则可得解得或.故所求直线方程为或.【点睛】本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.19.现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产改造，现将某种产品产量与单位成本统计数据如下：月份123456产量（千件）234545单位成本（元/件）737271736968（）试确定回归方程；（）指出产量每增加1000件时，单位成本平均下降多少
14、？（）假定单位成本为70元/件时，产量应为多少件？（参考公式：.）（参考数据 ）【答案】（）;（）1818元;（）4050件.【解析】【分析】（）根据回归系数公式，可得结果.（）根据回归系数的几何意义，可得结果.（）根据回归方程，代值计算，可得结果.【详解】（）设表示每月产量（单位：千件），表示单位成本（单位：元/件），作散点图.由图知与间呈线性相关关系，（不画图不扣分）设线性回归方程为，其中，由公式可求得， ，回归方程为.（）由回归方程知，每增加1000件产量，单位成本下降1.818元.（）当时，得千件.单位成本是70元/件时，产量约为4050件.【点睛】本题主要考查线性回归直线方程及其应用
15、，属基础题.20.四棱锥中，底面为矩形，.侧面底面.（1）证明：；（2）设与平面所成角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）21.过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于，两点，且.（）求抛物线的方程；（）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（，均不与点重合）.设直线，的斜率分别为，.直线是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由.【答案】（）；（）直线恒过定点，定点为.【解析】【分析】（）假设直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理以及抛物线的焦点弦性质，可得结果.（）根据（）的结论可得，然后联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，利用，可得之间
16、的关系，最后根据直线方程特点，可得结果.【详解】（）由题意得：设直线方程为：代入抛物线方程得：设， ，解得：抛物线方程为：（）由（1）知：抛物线 ，设，由得：，则 ，即： ，解得当时， ，恒过定点直线恒过定点【点睛】本题主要考查直线与抛物线的几何应用，第二问中，难点在于找到之间的关系，重点在于韦达定理的应用以及计算，属中档题.22.已知函数,其中为自然对数的底数.(1)当时，讨论函数的单调性;(2)当时，求证:对任意的.【答案】(1)在上单调递减.(2)证明见及解析.【解析】【详解】分析：(1)将代入 ，对函数求导即可判定函数的单调性(2)将不等式转化为关于的一次函数，讨论在时一次函数对任意的两个端点都小于0，即可证明详解：(1) ;在上单调递减(2)要证对恒成立即证;对恒成立令,即证当时，恒成立即证;成立式成立现证明式成立:令设在,使得,则在単调递增, 在単调递減,=， 综上所述.在, 恒成立.点睛：函数与导数的综合应用，是高考的热点和难点，充分理解导数与单调性、极值、最值的关系，证明在一定条件下不等式成立，解不等式或求参数的取值情况，属于难题- 18 - 版权所有高考资源网
