1、三湘名校教育联盟五市十校教研教改共同体2022年上学期高二期末考试数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）ABCD2已知的解集为，则的值为（ ）A1B2C-1D-23若双曲线的离心率为，则直线与两条渐近线围成的三角形的面积为（ ）AB4CD4已知，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）ABCD5的展开式中的常数项为（ ）A40B60C80D1206已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）A3B2CD7已知定义域是R的函数满足：，为偶函数，则（ ）A1B-1C2D-38现将除颜色外其他完
2、全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（ ）ABCD二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9若复数z满足：，则（ ）Az的实部为3Bz的虚部为1CDz在复平面上对应的点位于第一象限1O点P，Q为边长为1的正六边形ABCDEF的边界上的两个不同的动点，则的值可以为（ ）A-5
3、B-1CD411已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（ ）A1B4C9D3212下列不等式正确的是（ ）ABCD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则的概率为_14孙子算经是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作在孙子算经中有“物不知数”问题，其中记载：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个正整数为a，当时，符合条件的所有a的个数为_15已知点D为ABC的边BC的中点，的夹角为，则_16已知函的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个
4、动点，则这两点之间距离的最小值为_四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的大小；（2）若ABC为锐角三角形，且，求ABC的面积18（本小题满分12分）若，从X的取值中随机抽取个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量以下问题的求解中可以利用这一结论根据以往的考试数据，某学校高三年级数学模考成绩，设从X的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为，其余5个数分别为97，97，98，98，98（1）求的中位数及平均
5、值；（2）求附：随机变量服从正态分布，则，19（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，正项等比数列中，（1）求与的通项公式；（2）求数列的前n项和20（本小题满分12分）在三棱锥ABCD中，已知平面ABD平面BCD，且，BCAC（1）求证：BC平面ACD；（2）若E为ABC的重心，求平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦值21（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3（1）求椭圆E的标准方程；牙（2）设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否
6、可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由22（本小题满分12分）潮设，（1）求的单调区间；（2）证明：当时，2022年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题1C 【解析】由题意可知，故选C2B 【解析】因为的解集为，所以为方程的一个根，所以故选B3C 【解析】因为双曲线的离心率为，所以，所以，所以渐近线的方程为，所以直线即直线，与两条渐近线的交点坐标为，所以直线与两条渐近线围成的三角形的面积为故选C4D 【解析】，故选D5A 【解析】在的展开式中，的展开式中常数项为故选A6D 【解析】依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义可
7、得圆心C的轨迹方程为，设圆心C到直线距离为d，当时，故选D7B 【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以故选B8A 【解析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子A有8个球的概率为，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，盒子A中有8个球的概率为，所以两次取球后，盒子A中恰有8个球的概率是故选A二
8、、选择题9ABD 【解析】设，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以z的实部为3，虚部为1，故A，B正确；，故C不正确；z在复平面上对应的点位于第一象限，故D正确故选ABD10BCD 【解析】，其中为向量与的夹角，即与的夹角，当点P为点A，点Q为点D时，取最大值为4；当点P为点D，点Q为点A时，取最小值为-4故选BCD11BD 【解析】因为a，b为正实数，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，所以，所以或所以或故选BD12CD 【解析】选项A：，故不正确；设，因为，所以，所以在上单调递减，所以选项B：，故不正确；选项C：，故正确；选项D：，故正确，故选CD三、填空题
9、13 【解析】取出的6组数分别为1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7，其中有3组1，3；1，5；1，7满足，所以的概率为147 【解析】当时，满足条件的整数a组成一个等差数列，首项为8，公差为3与5的最小公倍数15，令，所以所以符合条件的所有a的个数为715 【解析】因为，所以，所以，所以16 【解析】令，则，因为与关于直线对称，所以函数与函数关于直线对称，所以P，Q两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍，函数在点处的切线斜率为，令得，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为四、解答题17解：（1）由正弦定理和得，（2分）因为，所以，（4分）所以，即，因为
10、，所以或（6分）（2）因为三角形ABC为锐角三角形，所以，（7分）由余弦定理得，（8分）因为，所以，所以，（9分）所以三角形ABC的面积为（10分）18解：（1）由已知得，有10个数不超过97，有10个数不低于98，中间的5个数为97，97，98，98，98，所以的中位数为98，（3分）进一步由已知得，的平均值为（6分）（2）由题意知，即（8分），因为，所以（12分）19解：（1）设公差为d，由已知得，解得，（2分）所以，即通项公式为；（4分）设正项等比数列的公比为q，因为，所以，所以，解得或（负值舍去），所以（6分）（2），（7分）所以，（8分）所以，相减得，（10分）所以（12分）20解：
11、（1）因为，所以，所以ADBD，（1分）又因为平面ABD平面BCD，平面平面BCD=BD，因为平面ABD，所以AD平面BCD，因为平面BCD，（2分）所以ADBC，又因为BCAC，所以BC平面ACD（4分）（2）因为BC平面ACD，平面ACD，所以BCCD，因为，所以，（6分）以D为坐标原点，直线DB，DA分别为x，z轴，在平面BCD内过点D与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系，所以，所以，所以，（8分）平面ABD的一个法向量为，（9分）设平面CDE的一个法向量为，所以，取，则，所以，（11分）设平面CDE与平面ABD所成的锐二面角为，所以，所以，即平面CDE与平面ABD所成锐二面角的正弦
12、值为（12分）21解：（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，（1分）设，由已知得，解得，则椭圆E的标准方程为（4分）（2）因为两条不同的直线m与l直线均过椭圆的右焦点，且互相垂直，由题意可知当斜率均存在且不为0时，可设直线l为，直线m为，其中，（5分），将直线l的方程代入椭圆方程得，所以，（7分）若A、B、C、D四个点可以在同一个圆上，则，（8分）所以，所以，所以，同理，所以，（10分）则，所以，此时存在这样的直线m与直线l，其方程为和当直线l的斜率为0或斜率不存在时，A，B，C，D显然不在同一个圆上综上，存在这样的直线m与直线l，其方程为1和（12分）22解：（1），（1分）令，得；令，得；（2分）所以的单调递增区间为，单调递减区间为（3分）（2）解法一：设，（4分）若证成立，即证，（5分），当时，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以成立（7分）当时，令，则对称轴为直线，所以当时，函数单调递增，当时，取最小值，所以，所以当时，单调递增，当时，单调递减，（9分）综上：当时，即（12分）解法二：，只需证对恒成立，（7分）构造，（9分）可知在单调递增，在单调递减，（11分），当时，成立（12分）
