1、第11课时 异面直线（二）教学目标：会求异面直线所成的角和异面直线间的距离，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理能力，使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想；渗透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 教学重点：异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算.教学难点：异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算. 教学过程：.复习回顾师上节课我们学习了异面直线所成的角，异面直线间的距离两个概念，请一位同学来叙述一下异面直线所成角的定义.生过空间任意一点O，与异面直线a和b分别平行的直线所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.师定义不但告诉我们怎样的角叫
2、做异面直线所成的角，而且告诉了我们两异面直线所成角的范围是什么？生(0， 师当两条异面直线所成的角为时，这两条直线_.生垂直、异面垂直.师所以，今后谈到两条直线垂直时，它们可能共面垂直，也可能异面垂直.在学习异面直线间的距离时，首先涉及到一个概念异面直线的公垂线.怎样的直线称为异面直线的公垂线呢？生与两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线.师定义中的要点是什么？生“垂直”“相交”二者缺一不可！师好！把握好公垂线的概念，异面直线间距离的定义就容易掌握了.谁来表述一下异面直线间距离的定义？生两条异面直线的公垂线段的长叫做两条异面直线的距离.师上节课求异面直线所成的角与求两条异面直线的距离
3、，我们讨论了一个比较简单的例子.这节课我们继续来研究两条异面直线所成的角和距离的计算方法.新课讨论例1在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1为上底中心，求下列异面直线所成的角.(1)AB1与BC1；(2)A1B与B1D.分析：求异面直线所成的角，关键是选择恰当的点，通过平移找到两条异面直线所成的角，找到的这个角还要较好的联系已知，对于(1)，同学们看一下，过哪条上的一点，平移另一条好呢？生过A点平移BC1较好，过C1平移AB1也行，但前者较后者从图形上看更直观.师怎样平移BC1呢？(学生考虑)师连结AD1，则AD1BC1，对吗？为什么？生连结AD1，则四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD
4、1BC1.生D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角.师怎样求其大小呢？生在D1AB1中求，因为D1AB1是正三角形，所以D1AB1是60，即AB1与BC1所成的角是60.师请大家写出此题的解答过程(并请一位同学在黑板上写出).(1)解：连结AD1，则AD1BC1D1AB1是异面直线AB1与BC1所成的角D1AB1是正三角形D1AB160即AB1与BC1所成的角是60.师下面我们来分析(2)，仍然是先平移将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角.(同学试着平移，怎样也不能奏效)师我们来做一个辅助图形：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体.(教师在黑板上画一画，或者在投影片上画也行)，这样能
5、找到两条异面直线所成的角了吗？生连结B1A2，则B1A2平行于A1B，B1A2与B1D所成的锐角(或直角)是异面直线A1B与B1D所成的角.师怎样求其大小呢？生在A2B1D中求.师在A2B1D中怎样求呢？生A2B1D中，B1Da，B1A2a，A2Da.(如果学生答不来，教师再予以提示)，用余弦定理可求得A2B1D的大小.生甲知道A2B1D的三边长度后，通过观察，心算，知A2D2B1D2B1A22，所以A2B1D90，即A1B与B1D所成的角为90.师请同学们写出解答过程.(2)解：在这个正方体上面放一个同样大小的正方体如图(黑板上的图)，连结B1A2，则B1A2BA1B1A2与B1D所成的锐角
6、(或直角)就是异面直线A1B与B1D所成的角(强调学生注意，这一句表述不能省略，凭观察这个角稍大，故不能用A2B1D表示异面直线A1B与B1D所成的角)在A2B1D中，B1Da，B1A2a，A2DaA2D2B1D2B1A22， A2B1D90.即A1B与B1D所成的角为90.师若求出的A2B1D90，那么异面直线A1B与B1D所成的角是怎样的呢？生是A2B1D的补角.师很好.绝对不能忘记两异面直线所成角的范围是(0，这个题，待我们学习了后面的知识之后，会有更简捷的解答方法(为学生积极学习后面的知识设下这个“诱饵”).例2一空间四边形ABCD的边长均为a，连对角线AC、BD，且ACBDa，E、F
7、分别为AB、CD的中点.(1)证明：EF是异面直线AB、CD的公垂线；(2)求异面直线AB与CD的距离.分析：(1)EF与AB、CD都相交，要证明EF是AB、CD的公垂线，只要证明EF与AB、CD都垂直就行了，先来分析怎样证EF与CD垂直，连结EC、ED，在ECD中，因为F是CD的中点，所以要想证EF垂直于CD，只要证生证ECD是等腰三角形就行了，即只要证EC等于ED就行了.师怎样证EC等于ED？(似乎又陷入了困境)，请同学们注意：EC、ED分别是CAB、DAB的中线，所以要证EC等于ED，只要证生证CAB与DAB全等就行了.师怎样证CAB与DAB全等呢？生这两个三角形都是边长为a的正三角形全
8、等.师同理可证EFAB. 至此，我们的问题(1)解决了.一会儿我们再写证明过程，现在我们来分析(2)，求异面直线AB与CD的距离就是求异面直线AB与CD的公垂线段的长度，我们刚才已经证明了EF是异面直线AB与CD的公垂线，所以求异面直线AB与CD的距离，就是求生EF的长度.师怎样求呢？生在RtEFC中就可求得，因为CF，ECa，所以EFa.师好.下面请同学们完成此题的证明与解答. (1)证明：连结CE、DE.由题设知CABDAB，又E是AB的中点，CEDE.在等腰ECD中，F是CD的中点EF是CD上的中线 EFCD.同理可证EFAB.又EF与AB、CD都相交EF是异面直线AB、CD的公垂线.(
9、2)解：由(1)可知EF的长即为异面直线AB、CD的距离.在RtEFC中，CFa CE2AC2AE2a2EFa.因此异面直线AB、CD的距离为a . 例3如图空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD所成的角为，ACa，BDb(a、b是常数)，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，当为何值时，四边形EFGH的面积最大？最大值是多少？分析：求面积的最大值，首先需要干什么呢？生列出四边形EFGH面积的函数关系式.师题中问当为何值时，四边形EFGH的面积最大.那么列出的面积关系式就要用生要用来表示.师四边形的面积要用来表示，那么四边形EFGH就要与有联系，并且要表示出面积还得清楚四边形是怎
10、样的四边形，同学们再来继续分析一下四边形EFGH是怎样的四边形，与有怎样的联系.生四边形EFGH是平行四边形，因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，所以EHBD且EHBD，FGBD且FGBD，得到EH FG.因而四边形EFGH是平行四边形.因为EFAC，FGBD.所以EFG是异面直线AC、BD所成的角，即EFG.师很好！知道了四边形EFGH是平行四边形，EFG，能表示平行四边形的面积了吗？生还不行，还需要知道平行四边形两邻边的长.师能知道两邻边的长吗？生能！FGBDb，EFACa，表示平行四边形面积的条件具备了.师好！既然表示平行四边形的面积无障碍了.那请同学们写出解答过程(一
11、位同学板书于黑板上).解：Sabsinabsin(0)当时，Smaxab.当时，四边形EFGH的面积最大，最大值是 ab.课堂练习如图ABCD与ABEF为有公共边但不共面的矩形，它们的面积之和为25 cm2，AD2 cm，AF3 cm，ADF的面积为 cm2，求:(1)AD与BE所成的角；(2)AD与BE的距离.解：据题意：S矩形ABCDS矩形ABEFADABAFAB(ADAF)AB5AB25.AB5.SADFADAFsinDAF23sinDAF3sinDAFsinDAF DAF45(1)AFBE，DAF为AD与BE所成的角又DAF45，AD与BE所成的角是45.(2)ABAD，ABBE(矩形
12、)AB是AD与BE的公垂线段 又AB5 cmAD与BE间的距离是5 cm.课时小结本节课我们一起讨论了求异面直线所成的角和求异面直线间距离的几个例子，目的是想通过举例，让同学们明确求角的关键是通过平移将两异面直线所成的角转化成相交直线所成的角，求两异面直线间的距离就是求两异面直线公垂线段的长，必要时，两者都要转化到某一三角形中求解.这种转化的思想我们应该重视.化难为易，化繁为简，化生疏为熟悉，化空间问题为平面问题，这种转化的思想无处不在.课后作业补充题：1.A是BCD所在平面外一点，ADBC，E、F分别是AB、CD的中点.(1)若EFAD，求异面直线AD和BC所成的角；(2)若EFAD，求异面
13、直线AD和BC所成的角.解：设G是AC的中点，连结EG、FG.E、F分别是AB、CD的中点.EGBC且EGBC FGAD且FGADADBC，EGFGADGE与GF所成的锐角(或直角)为AB、CD所成的角.(1)若EFAD，则在EFG中有cosEGF0.EGF90，即AD与BC所成的角为90.(2)若EFAD，则在EFG中有cosEGFEGF120，其补角为60AD与BC所成的角为602.正方体ABCDA1B1C1D1中O、M分别是D1B、AA1的中点.(1)求证：MO是AA1和BD1的公垂线；(2)若正方体的棱长为a，求异面直线AA1和BD1的距离.(1)证明：M是AA1的中点MD1MB又O是
14、BD1的中点 MOBD1同理由A1OAO得MOAA1MO是AA1、BD1的公垂线.(2)解：OMaAA1与BD1间的距离是 a.思考与练习1.正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、BB1的中点，求A1E与C1F所成角的余弦值.解：设正方体的棱长为a在A1B1上取一点G，使B1GA1B1，连结FG、C1G，则FGA1E，FGA1E，GFC1即为A1E与C1F所成的角，又C1FGFA1EC1FaC1GcosGFC1故A1E与C1F所成角的余弦值为 .2.如图长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABa，BCb，AA1c(ab)，求异面直线D1B和AC所成角的余弦值.解法一：连结BD交
15、AC于O，取D1D的中点P，连结OP，则OPD1B，且OPD1B.POA就是D1B与AC所成的角，连结APAPAOOPcosPOA. 解法二：如图，在长方体的一旁，补上一个大小完全相同的长方体，则BE ACBD1与BE所成的锐角(或直角)是D1B与AC所成的角.D1B BED1EcosD1BE0D1B与AC所成角的余弦值为.3.空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，且ABCD.求证：MN与AB所成的角等于MN与CD所成的角.证明：连结BD，设P是BD的中点，连MP、NP，M、N分别是AD、BC的中点MPAB且MPAB NPCD且NPCDPMN、PNM分别是MN与AB、CD所成的角
16、.又ABCD，MPNP PMNPNM.即MN与AB所成角等于MN与CD所成的角.4.已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点.(1)求证：B1EDF是菱形；(2)求A1C与DE所成角的余弦值.(1)证明：取AD的中点G，连结A1G、EG，则B1E A1G FDB1EDF是平行四边形.又FB1DFB1EDF是菱形.(2)解：延长AD至M，使DMADBCEC.连结CM，则CMED.A1CM即为A1C与DE所成的角.A1Ca，CMA1McosA1CM.异面直线所成的角异面直线所成的角是非常重要的知识点，是每年高考的必考内容，要求学生牢固掌握两条异面直线所成的角的求法.教学中注意以下几点：1.平移方法一般有：直接平移法、中位线平移法、补形平移法.2.平移直线寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：该平面包含其中一条异面直线，该平面与另一条异面直线相交.3.求角或求角的三角函数值的一般步骤是：找角，求角或求角的三角函数值.
