1、单元综合测试三(第三章)时间：90分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标可以是(C)A.B(1，3,2)C.D(，3，2)解析：a(1，3,2)2.2如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知a，b，c，则用向量a，b，c表示向量为(D)AabcBabcCabcDabc解析：abc.3已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x等于(B)A4B4C.D6解析：ab(2,1,3x)，(ab)c，(ab)c0，2x2(3x)0，得x4.4若a(1，2)，b(2，1,2)，且
2、a，b的夹角的余弦值为，则等于(C)A2B2C2或D2或解析：ab2463.解得2或.5已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个选项的计算结果(C)A2B2C2D2解析：2a2，A错；2a2，B错；2a2，D错；只有C对6若A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于(C)A19BC. D.解析：(1x,2x3，3x3)，则|，故当x时，|取最小值，故选C.7已知ABCD，ABEF是边长为1的正方形，FA平面ABCD，则异面直线AC与EF所成的角为(B)A30B45C60D90解析：，四边形ABCD，
3、ABEF均为正方形，()21.|cos，|，AC与EF所成角为45.8如图所示，正方体ABCDABCD中，M是AB的中点，则sin，的值为(B)A. B.C. D.解析：以DA，DC，DD所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,0)，M，则(1,1,1)，cos，则sin，.9.如图所示，ABACBD1，AB平面，AC平面，BDAB，BD与平面成30角，则C、D间的距离为(C)A1B2C. D.解析：|2|2|2|2|222211100211cos1202.|.10在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，
4、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)A斜交B平行C垂直D不能确定解析：如下图所示，A1MANa，A1MA1B，ANAC.，共面MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.11在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA平面ABC，且PAAB，则二面角APBC的平面角的正切值为(A)A. B.C. D.解析：设PAAB2，如图建立空间直角坐标系，平面PAB的一个法向量是m(1,0,0)，平面PBC的一个法向量是n(，1,1)则cosm，n.正切值tanm，n.12如图所示，平面PAD平面ABCD，PAD是正三角形，四边形ABCD是矩形，M是AB的中
5、点，PC与平面ABCD成30角，则的值等于(C)A1B2C. D.解析：取AD的中点O，则由OPAD，平面PAD平面ABCD推出OP平面ABCD，从而建立空间直角坐标系Oxyz，OD在x轴上，OP在z轴上，如右图所示，并设AD2a，AB2b，则P(0,0，a)，C(a,2b,0)，(a,2b,0)，(a,2b，a)易得，30，得cos30，解得ba，所以.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13若a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(2a3b)(a2b)200.解析：2a3b2(4，2，4)3(6，3,2)(10,5，14)，a2b(4，2，4)2(6，3,2)(16
6、，8，0)，(2a3b)(a2b)10165(8)140200.14平面的法向量为m(1,0，1)，平面的法向量为n(0，1,1)，则平面与平面所成二面角的大小为60或120.解析：cosm，n，m，n120，即平面与所成二面角的大小为60或120.15.如图所示，在三棱锥PABC中，PAPBPCBC，且BAC90，则PA与底面ABC所成的角为60.解析：由于PAPBPC，故P在底面ABC上的射影为ABC外心，由于ABC为直角三角形，不妨设OBOC，所以OP平面ABC，PAO为所求角，不妨设BC1，则OA，cosPAO，所以PAO60.16如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且
7、AE2EB，G为BC的中点，K为AF的中点沿EF将矩形折成120的二面角AEFB，此时KG的长为.解析：如图所示，过K作KMEF，垂足为M为EF的中点，则向量与的夹角为120，60.又，222211211cos603.|.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)设空间两个不同的单位向量a(x1，y1,0)，b(x2，y2,0)，a，b与向量c(1,1,1)的夹角都等于45.(1)求x1y1和x1y1的值；(2)求a，b的大小解：(1)依题意，有即x1y1，易得x1y1.(2)单位向量a(x1，y1,0)，b(x2，y2,0)与向量c(1,1,1)的夹角都等于
8、45，由有或可取a，b，cosa，b.a，b.18(12分)已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)假设存在点E，设t，则t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时E点坐标为E(，)19(12分)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABC
9、D，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解：如图，连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又ACFGG，可得EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间
10、直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F(1,0，)，C(0，0)，所以(1，)，(1，)故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.20(12分)如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点(1)求证AM平面BDE；(2)求证AM平面BDF.证明：取AC，BD的交点O为原点，OD，OA，OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接OE，则各点的坐标分别为O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,0,0)，C(0，1，0，)，D(1,0,0，)，E(0，1,1)，F(0,1,1)，M(0
11、,0,1)(1)(0，1,1)，(0，1,1)，即AMOE，又AM平面BDE，OE平面BDE，AM平面BDE.(2)(2,0,0)，(1,1,1)，0，0，AMBD，AMDF，AM平面BDF.21(12分)如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PCAC2，ABBC，D是PB上一点，且CD平面PAB.(1)求证：AB平面PCB；(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；(3)求二面角CPAB的余弦值解：(1)证明：PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB.CD平面PAB，AB平面PAB，CDAB.又PCCDC，AB平面PCB.(2)由(1)知AB平面PCB，BC平面PCB，ABBC.PCA
12、C2，ABBC，BC.如图所示，以B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(0，0)，B(0,0,0)，C(，0,0)，P(，0,2)(，2)，(，0,0)， 002，cos，.异面直线AP与BC所成的角为60.(3)设平面PAB的法向量为m(x，y，z)(0，0)，(，2)，由得解得令z1，得x，则平面PAB的一个法向量为m(，0，1)设平面PAC的法向量为n(x，y，z).(0,0，2)，(，0)，由得解得令x1，得y1，则平面PAC的一个法向量为n(1,1,0)cosm，n.二面角CPAB的余弦值为.22(12分)如图(1)所示，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC
13、，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图(2)所示(1)求证A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)证明：ACBC，DEBC，DEAC，DEA1D，DECD，DE平面A1DC，又A1C平面A1DC，DEA1C.又A1CCD，A1C平面BCDE.(2)以C为原点，CB，CD，CA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示，则易得A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(
14、2,2,0)设平面A1BE的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，又(3,0，2)，(1,2,0)，令y1，则x2，z，n(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.(0,1，)，sin|cosn，|，CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面A1DP的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0，又(0,2，2)，(p，2,0)，令x2，则yp，z，m.平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn0，即4pp0，解得p2，与p0,3矛盾线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直
