1、 2013届高三数学章末综合测试题（13）立体几何（1）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为() A7 B6 C5 D3 解析A依题意，设圆台上、下底面半径分别为r、3r，则有(r3r)384，解得r7.2如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则()AEF与GH平行BEF与GH异面CEF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上DEF与GH的交点M一定在直线
2、AC上 解析D依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E、F、G、H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，所以点M一定在AC上3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k() A1 B C D 解析Dk abk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2) (3,2，2)，两向量垂直，3(k1)2k220，k.4已知直线m、n和平面，在下列给
3、定的四个结论中，mn的一个必要但不充分条件是()Am，n Bm，nCm，n Dm、n与所成的角相等 解析D对于选项A，当m，n时，直线m、n可以是平行、相交或异面；而当mn时，m、n与的关系不确定，故选项A是mn的既不充分也不必要条件；选项B是mn的充分不必要条件；选项C是mn的既不充分也不必要条件；对于选项D，由mn可以得到m、n与所成的角相等，但是m、n与所成的角相等得不到mn.故选项D符合题意5已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是() A28836 B60 C28872 D28818解析A依题意得，该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合
4、体，其中长方体的长、宽、高分别为8、6、6，半个圆柱相应的圆柱底面半径为3、高为8，因此该几何体的体积等于86632828836，故选A.6l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 解析B在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错7将一个边长为a的正方体，
5、切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A6a2 B12a2C18a2D24a2 解析B依题意，小正方体的棱长为，所以27个小正方体的表面积总和为276218a2，故表面积增加量为18a26a212a2.8在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B. C. D. 解析D如图，连接A1C1，B1D1，交于点O1，由长方体的性质易知C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角BC2，CC11，BC1，又C1O1A1C1，在RtBO1C1中，sin C1BO1.9已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把，中的任意两
6、个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有命题中，真命题有()A0个 B1个 C2个 D3个 解析C若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab”，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab”，此命题为真命题10如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB10，AD5，AA14.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C.若V1V2V3131，则截面A1EFD1的面积为() A4 B8 C20 D16
7、解析C由V1V3，可得AEB1E1，设AEx，则(10x)4513，得x4，则A1E4，所以截面A1EFD1的面积为20.11如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为() A30 B45 C60 D90解析C还原正方体，如下图所示，连接AB，BC，AC，可得ABC是正三角形，则ABC60.故选C.12连接球面上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M；弦AB、CD可能相交于点N；MN的最大值为5；MN的最
8、小值为1.其中真命题的个数是 ()A1 B2 C3 D4 解析C易求得M、N到球心O的距离分别为OM3，ON2，若两弦交于M，则ONMN，在RtONM中，有ONOM，符合题意，故正确若两弦交于N，同推得，OMON，矛盾，故错当M、O、N共线，M、N在O同侧，则MN取最小值1；M、N在O两侧，则MN取最大值5，故正确二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13. 如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_时，就有MN平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确
9、的一个条件即可，不必考虑全部可能情况) 解析FHDD1，HNBD，平面FHN平面B1BDD1，只要MFH，则MN平面FHN，MN平面B1BDD1.(答案不唯一)【答案】M位于线段FH上14已知、是两个不同的平面，m、n是平面及平面之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn，m，n，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_. 解析同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行【答案】15已知命题：“若xy，yz，则xz”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形有可能是：都是直线；都是平面；x，y是直线，z是平面；x，z是平面，y
10、是直线上述判断中，正确的有_(请将你认为正确的序号都填上) 解析当字母x，y，z都表示直线时，命题成立；当字母x，y，z都表示平面时，命题也成立；当x，z表示平面，y表示直线时，由相关的判定定理知命题也成立；当x，y表示直线，z表示平面时，xz不一定成立，还有可能xz或x与z相交，故正确，不正确【答案】16如图，二面角l的大小是60，线段AB，Bl，AB与l所成的角为30，则AB与平面所成的角的正弦值是_ 解析如图，作AO于O，ACl于C，连接OB、OC，则OCl.设AB与所成角为，则ABO，由图得sin sin 30sin 60.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明
11、、证明过程或演算步骤)17(10分)如图所示，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线BD把ABD折起，使点A在平面BCD上的射影E落在BC上(1)求证：平面ACD平面ABC; (2)求三棱锥ABCD的体积 解析(1)AE平面BCD，AECD.又BCCD，且AEBCE，CD平面ABC.又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)由(1)知，CD平面ABC，又AB平面ABC，CDAB.又ABAD，CDADD，AB平面ACD.VABCDVBACDSACDAB.又在ACD中，ACCD，ADBC4，ABCD3，AC.VABCD33.18(12分)如图，四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，A
12、B2BF，DE平面ABCD，G为EF的中点(1)求证：CF平面ADE；(2)求证：平面ABG平面CDG；(3)求二面角CFGB的余弦值 解析(1)BFDE，BCAD，BFBCB，DEADD，平面CBF平面ADE.又CF平面CBF，CF平面ADE.(2)如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接GM、GN、MN、AC、BD，设AC、MN、BD交于O，连接GO.四边形ABCD为正方形，四边形BDEF为矩形，AB2BF，DE平面ABCD，G为EF的中点，则GO平面ABCD，GOMN，GNMG.又GNDC，ABDC，GNAB.又ABMGM，GN平面GAB.又GN平面CDG，平面ABG平面CDG.(3)由
13、已知易得CGFG，由(2)知GOEF，CGO为二面角CFGB的平面角，cos CGO.19(12分)(2011南昌二模)如图所示的多面体ABCA1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1BB1CC1，AA1平面ABC，AA1BB12CC14.(1)若O是AB的中点，求证：OC1A1B1；(2)求平面AB1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值 解析(1)设线段A1B1的中点为E，连接OE，C1E.由AA1平面ABC得AA1AB，又BB1AA1且AA1BB1，所以AA1B1B是矩形又点O是线段AB的中点，所以OEAA1，所以OEA1B1.由AA1平面ABC得AA1AC，A1ABC.又
14、BB1AA1CC1，所以BB1BC，CC1AC，CC1BC，且ACBC4，AA1BB14，CC12，所以A1C1B1C1，所以C1EA1B1.又C1EOEE，所以A1B1平面OC1E，因为OC1平面OC1E，所以OC1A1B1.(2)如图，以O为原点，所在方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，则A(0,2,0)，A1(4,2,0)，B1(4，2,0)，C1(2,0,2)，设平面AB1C1的法向量为n1(x1，y1，z1)，则有令x11，则n1(1,1,0)设平面A1B1C1的法向量为n2(x2，y2，z2)，则有令z21，则n2(，0,1)所以cosn1，n2，所以平面AB
15、1C1与平面A1B1C1所成的角的余弦值是.20(12分)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB1上一点(1)求证：B1D1平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D. 解析(1)由直四棱柱概念，得BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD.而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，B1D1平面A1BD.(2)BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BDAC，且BDBB1B，AC平面BB1D1D.而MD平面BB1D1D，MDAC.(3)当点M为棱BB1的中点时，取DC的中点
16、N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示N是DC的中点，BDBC，BNDC.又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD平面DCC1D1，BN平面DCC1D1.又可证得，O是NN1的中点，BM綊ON，即四边形BMON是平行四边形，BNOM，OM平面CC1D1D，OM平面DMC1，平面DMC1平面CC1D1D.21(12分)如图所示，在直角梯形ABCP中，BCAP，ABBC，CDAP，ADDCPD2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将PDC折起，使平面PDC平面ABCD.(1)求证：PA平面EFG；(2)求二面角GEFD的大小 解析(1)P
17、EEC，PFFD，EFCD.又CDAB，EFAB，EF平面PAB.同理，EG平面PAB.又EFEGE，平面PAB平面EFG，而PA在平面PAB内，PA平面EFG.(2)如图，以D为坐标原点，DA，DC，DF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，G(1,2,0)，易知(2,0,0)为平面EFD的一个法向量设平面EFG的一个法向量为n(x，y，z)，又(0，1，0)，(1,1，1)，由得即取x1，得n(1,0,1)设所求二面角为，cos ，45，即二面角GEFD的平面角的大小为45.22(12分)在侧棱垂直于底
18、面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD60，A1AAB，E为BB1延长线上的一点，D1E面D1AC.(1)求二面角EACD1的大小；(2)在D1E上是否存在一点P，使A1P平面EAC？若存在，求D1PPE的值；若不存在，说明理由 解析设AC与BD交于O，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB2，则A(，0,0)，B(0,1,0)，C(，0,0)，D(0，1,0)，D1(0，1,2)，A1(，0,2)(1)设E(0,1,2h)，则(0,2，h)，(2，0,0)，(，1，2)，D1E平面D1AC，D1EAC，D1ED1A，0，0，22h0，h1，即E(0,1,3)，(0,2,1)，(，1,3)设平面EAC的法向量为m(x，y，z)，则m，m，令z1，得m(0,3，1)，cosm，二面角EACD1的大小为45.(2)设()，则，(，1,0).A1P平面EAC，m，m0，03(1)0，.存在点P使A1P平面EAC，此时D1PPE32.
