1、专题四 开放探索问题 1.主要类型:(1)条件开放探索问题(2)结论开放探索问题(3)条件和结论双重探索问题 2.规律方法(1)开放探索性问题是指试题的命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的题型,既是中考的热点题型,也是中考命题中具有挑战性试题.(2)问题一般没有明确的条件或结论,没有固定的形式和方法,需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法.这类题主要考查学生分析问题、解决问题的能力和创新意识.3.渗透的思想:数形结合、转化思想、分类讨论等.类型一 条件开放探索【考点解读】1.考查范畴:条件开放探索问题包括补充条件型、
2、探索条件型和条件变化型.2.考查角度:已知题目的结论,但是缺少确定的条件,而满足结论的条件往往不是唯一的.【典例探究】【典例1】(2019周口二模)如图,在RtABC中,B=90,AB=6,CD平分ACB交AB于点D,点O在AC上,以CO为半径的圆经过点D,AE切O于点E.(1)求证:AD=AE.(2)填空:当ACB=_时,四边形ADOE是正方形;当BC=_时,四边形ADCE是菱形.【思路点拨】(1)由CD是角平分线得出ACD=DCB,根据OC=OD可知ODC=OCD,进而得出ODC=DCB,则ODBC,证出AB是圆的切线,利用切线长定理判断出AE=AD.(2)当四边形ADOE是正方形时,利用
3、正方形的性质解答即可;当四边形ADCE是菱形时,利用菱形的性质解答即可.【自主解答】略【规律方法】解决条件开放类问题的方法 从所给的结论出发,设想出合乎要求的一些条件,逐一列出,运用所学的定理,进行逻辑推理,从而找出满足结论的条件.【题组过关】1.如图,在ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:EBO=DCO;BE=CD;OB=OC.(1)上述三个条件中,由哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形?(用序号写出所有成立的情形)(2)请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.【解析】(1);.(2)选证明如下:如图,在BOE和COD中,EBO=DCO,EOB=DO
4、C,BE=CD,BOE COD(AAS).BO=CO.OBC=OCB.EBO+OBC=DCO+OCB.即ABC=ACB.AB=AC.ABC是等腰三角形.选证明如下:如图,在BOC中,OB=OC,1=2.EBO=DCO,EBO+1=DCO+2.即ABC=ACB.AB=AC.ABC是等腰三角形.2.(2019衡阳中考)如图,在等边ABC中,AB=6 cm,动点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设运动时间为t(s),过点P作PEAC于E,连接PQ交AC边于D.以CQ,CE为边作平行四边形
5、CQFE.世纪金榜导学号(1)当t为何值时,BPQ为直角三角形?(2)是否存在某一时刻t,使点F在ABC的平分线上?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.(3)求DE的长.(4)取线段BC的中点M,连接PM,将BPM沿直线PM翻折,得BPM,连接AB,当t为何值时,AB的值最小?并 求出最小值.略 类型二 结论开放探索【考点解读】1.考查范畴:结论开放型问题主要有两种:一是判断结论是否成立,二是判断猜想结论.2.考查角度:设计例题,通过已知条件进行逻辑推理,判断结论是否成立或猜想结论.【典例探究】典例2(2019绍兴中考)如图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC
6、的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中,当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长.当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90,点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时AD2C=135,CD2=60,求BD2的长.【思路点拨】(1)分两种情形分别求解即可.显然MAD不能为直角.当AMD为直角时,根据AM2=AD2-DM2,计算即可,当ADM为直角时,根据AM2=AD2+DM2,计算即可.(2)连接CD1.首先利用勾股定理求出CD1,再利用全等三角形
7、的性质证明BD2=CD1即可.【自主解答】略【规律方法】解答结论开放问题的方法(1)给出问题的条件,根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要进行推断,甚至探求条件在变化中的结论.(2)解答此类题要充分利用条件进行大胆而合理地猜想,发现规律,得出结论,主要考查发散性思维和对基本知识的应用能力.【题组过关】1.(2019枣庄中考)如图,在RtABC中,ABC=90,以AB为直径作O,点D为O上一点,且CD=CB,连接DO并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与O的位置关系,并说明理由;(2)若BE=2,DE=4,求圆的半径及AC的长.【解析】
8、(1)CD与O相切,理由如下:连接OC.CB=CD,CO=CO,OB=OD,OCBOCD(SSS),ODC=OBC=90,ODDC,DC是O的切线.(2)设O的半径为r.在RtOBE中,OE2=EB2+OB2,(4-r)2=22+r2,r=1.5,tan E=,CD=BC=3,OBCDEBDE，1.5CD24在RtABC中,AC=圆的半径为1.5,AC的长为 .2222ABBC333 23 22.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1,2,3,4的小球,它们的形状、大小等完全相同.王明先从口袋里随机不放回地取出一个小球,记下数字为x;王红在剩下的三个小球中随机取出一个小球,记下数字y.世纪金榜
9、导学号(1)计算由x,y确定的点(x,y)在函数y=-x+6图象上的概率.(2)王明、王红约定做一个游戏,其规则是:若x,y满足xy6,则王明胜;若x,y满足xy6,则王红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?略 类型三 条件和结论双重探索【考点解读】1.考查范畴:综合开放探索问题往往需要对条件和结论进行双重探索.2.考查角度:通过设置条件不完整、结论不确定的问题,考查逻辑推理能力和探究能力.【典例探究】典例3如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,给出下列三个条件:BE=DF,AF=CE,AEB=CFD.(1)请你从中选择一个适当的条件_ _(
10、填序号),使四边形AECF是平行四边形,并加以证 明;（或，答案不 唯一）(2)任选一个条件能使四边形AECF成为平行四边形的 概率是_.23【思路点拨】(1)选作条件,连接AC,交BD于点O,首先 根据平行四边形的性质可得AO=CO,BO=DO,再加上条件 BE=DF,可得EO=FO,进而可证出四边形AECF是平行四边 形;选作条件,连接AC,交BD于点O,首先证明ABE CDF可得BE=DF,再根据平行四边形的性质可得 AO=CO,BO=DO,再加上条件BE=DF,可得EO=FO,进而可证出四边形AECF是平行四边形.(2)根据概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数所有
11、可能出现的结果数.【规律方法】条件和结论的双重探索型问题解决方法(1)只给出若干个论断,题目条件和结论都不确定,要求根据给出的论断组合成一个真命题,不同的组合方式会产生不同的真命题,具有条件、结论的双开放性,由于可能组合成假命题,因此要掌握常用的几何证明方法和基本性质、定理.(2)对于一些条件不完整,结论不确定的数学问题,要依据题目的要求,通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去编制符合要求的结论.【题组过关】1.观察函数图象,并根据所获得的信息回答问题:(1)折线OAB表示某个实际问题的函数图象,请你编写一道符合图象意义的应用题.(2)根据你所给出的应用题,分别指出x轴,y轴
12、所表示的意义,并写出A,B两点的坐标.(3)求出图象AB的函数解析式,并注明自变量x的取值范围.【解析】答案不唯一.(1)水塔上面的蓄水池深8米,往里蓄满水用5分钟,接着打开底部的排水管放完全部的水用去了10分钟.(2)x轴表示时间(分),y轴表示蓄水池的深度(米).A(5,8),B(15,0).(3)设图象AB的函数解析式为y=kx+b.把A(5,8),B(15,0)代入上式,得 解得 所以图象AB的函数解析式为y=x+12(5x15).85kb,015kb,4k,5b12,452.如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=BC=4,D是AB的中点,E,F分别是AC,BC上的点(点E不与端点A,C重合),且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF.世纪金榜导学号(1)判断四边形EDFG的形状并进行证明.(2)当点E在什么位置时,四边形EDFG的面积最小?并求四边形EDFG面积的最小值.略
