1、专题限时集训(十一)立体几何 1.(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解：(1)连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C又因为N为A1D的中点，所以NDA1D由题设知A1B1 DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dx
2、yz，则A(2，0，0)，A1(2，0，4)，M(1，2)，N(1，0，2)，(0，0，4)，(1，2)，(1，0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1，0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2，0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.2(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. 图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的二面角B
3、CGA的大小解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，BEBCB，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC，垂足为H.因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC60，可求得BH1，EH.以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，)，(1，0，)，(2，1，0)设平面ACGD的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n
4、(3，6，)又平面BCGE的法向量可取为m(0，1，0)，所以cosn，m.因此二面角BCGA的大小为30.3(2020全国卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值解(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MNCC1.又由已知得AA1CC1，故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形，
5、所以B1C1A1N.又B1C1MN，故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)由已知得AMBC以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB2，AM.连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM，E.由(1)知平面A1AMN平面ABC作NQAM，垂足为Q，则NQ平面ABC设Q(a，0，0)，则NQ，B1，故，|.又n(0，1，0)是平面A1AMN的法向量，故sincosn，.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.4(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证
6、明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解(1)证明：因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连接OB因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB由OPOB，OPAC，OBACO，得PO平面ABC(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，(0，2，2)取平面PAC的一个法向量(2，0，0)设M(a，2a，0)(0a2)，则(a，4
7、a，0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由n0，n0得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|，所以，解得a4(舍去)，或a，所以n.又(0，2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.1(2020济宁模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为的菱形，BCD60，AC与BD交于点O，平面FBC平面ABCD，EFAB，FBFC，EF.(1)求证：OE平面ABCD；(2)若FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角QBCA的余弦值解(1)证明：取BC的中点H，连接OH，FH，因为FBFC，所以FHBC因为平面FBC平面ABCD
8、，平面FBC平面ABCDBC，FH平面FBC，所以FH平面ABCD因为H，O分别为BC，AC的中点，所以OHAB且OHAB又EFAB，EFAB，所以EFOH，所以四边形OEFH为平行四边形，所以OEFH，所以OE平面ABCD(2)因为菱形ABCD中，BCD60，AB，所以OAOC2，在等边三角形FBC中，BC，所以FH2，所以OEFH2.易知OA，OB，OE两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，则A(2，0，0)，B，C(2，0，0)，E(0，0，2)，Q(1，0，1)，所以，(3，0，1)设平面BCQ的法向量为m(x，y，z
9、)，则得取x1，可得m(1，3)易知平面ABC的一个法向量为n(0，0，1)，则cosm，n，易知二面角QBCA为锐二面角，所以二面角QBCA的余弦值为.2(2020陕西百校联盟第一次模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，APAB1，F，E分别是PB，PC的中点(1)证明：PBED；(2)求平面ADEF与平面PCD所成锐二面角的值解(1)证明：PA平面ABCD，PAAD又ADAB，ABPAA，AB平面PAB，PA平面PAB，AD平面PAB，又PB平面PAB，ADPB等腰三角形PAB中，F为PB的中点，PBAF，又ADAFA，AD平面ADEF，AF平面ADE
10、F，PB平面ADEF，又ED平面ADEF，PBED(2)易知AB，AD，AP两两互相垂直，故以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，(1，0，0)，(1，1，1)由(1)知(1，0，1)为平面ADEF的一个法向量设平面PCD的法向量为n(x1，y1，z1)，则即可取n(0，1，1)cos，n，平面ADEF与平面PCD所成的锐二面角为60.3(2020石家庄模拟)如图，四棱锥SABCD中，四边形ABCD为矩形，AB2，BCSCSD2，BCSD(1)求证：SC平面SAD；(2)
11、设，求平面SEC与平面SBC所成的二面角的正弦值解(1)BCSD，BCCD，SDCDD，BC平面SDC，AD平面SDC，SCAD又在SDC中，SCSD2，DCAB2，故SC2SD2DC2，SCSD，又ADSDD，SC平面SAD(2)作SOCD于O，BC平面SDC，平面ABCD平面SDC，故SO平面ABCD以点O为坐标原点，的方向分别为y轴，z轴的正方向，平面ABCD内，过点O垂直于OC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系则S(0，0，)，C(0，0)，A(2，0)，B(2，0)设E(2，y，0)，y(y)，y，即E.(0，)，(2，0，0)，设平面SEC的法向量为n(x，y，z)，则即不
12、妨取n(2，3，3)设平面SBC的法向量为m(a，b，c)，即不妨取m(0，1，1)cosm，n，故所求二面角的正弦值为.4(2020惠州第二次调研)如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD(1)证明：ABPD；(2)若PAPDAB，APD90，设Q为PB的中点，求直线AQ与平面PBC所成角的余弦值解(1)证明：依题意，ABAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，又PD平面PAD，ABPD(2)法一：向量法在PAD中，取AD中点O，连接PO，PAPD，POAD，PO平面ABCD以O为坐标原点，分别以OA所在的直线为x轴，
13、过点O且平行于AB的直线为y轴，OP所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设PA2.APD90，AD2.P(0，0，)，B(，2，0)，C(，2，0)，A(，0，0)，Q，(，2，)，(2，0，0)，.设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，则可取n(0，1，)设直线AQ与平面PBC所成的角为，则sin |cos，n|，cos ，直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为.法二：几何法过P作POAD于点O，则O为AD中点，连接BO，过A作PO的平行线，过P作AD的平行线，交点为E，连接BE，过A作AHBE于H，连接QH，取BO为中点M，连接QM，AM.四边形AOPE为矩形，PEAE，AB平面
14、AOPE，ABPE，又AEABA，PE平面ABE，PEAH，又BEAH，PEBEE，AH平面PBE，AQH为AQ与平面PBC所成的角令AOa，则AEa，ABa，BEa，由同一个三角形面积相等可得AHa，QAM为直角三角形，由勾股定理可得AQa，sinAQH .又AQH，cosAQH ，直线AQ与平面PBC所成角的余弦值为.1如图，在直角三角形ABC中，角B为直角，AB2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，设M为CD的中点(1)证明：MF平面BCD；(2)若DEBE，求二面角EMFC的余弦值解(1)证明：取DB的中点N，连接MN，EN(图
15、略)，则MNBC，易知EFBC，四边形EFMN是平行四边形EFBE，EFDE，BEDEE，EF平面BDE.又EN平面BDE，EFEN，MFMN.在DFC中，易知DFFC，又M为CD的中点，MFCD又CDMNM，MF平面BCD(2)易知DE，BE，EF两两垂直，以E为原点，BE，EF，ED所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BC2，则E(0，0，0)，F(0，1，0)，C(2，2，0)，D(0，0，2)，M(1，1，1)，(0，1，0)，(1，0，1)，(2，1，0)设平面EMF的法向量为m(x，y，z)，则取x1，得m(1，0，1)同理，得平面CMF的一个法向量为n(
16、1，2，1)设二面角EMFC的平面角为，由图可知为钝角，则|cos |，二面角EMFC的余弦值为.2如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BCD120，侧面PAB底面ABCD，BAP90，ABACPA2.(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)过AC的平面交PD于点M，若平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分，求二面角PMCA的正弦值解(1)证明：因为BAP90，所以PAAB，又侧面PAB底面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，PA平面PAB，所以PA平面ABCD又BD平面ABCD，所以PABD又BCD120，ABCD为平行四边形，所以ABC60，又ABAC，所以AB
17、C为等边三角形，所以ABCD为菱形，所以BDAC又PAACA，所以BD平面PAC，又BD平面PBD，所以平面PAC平面PBD(2)由平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分，知M为PD的中点取BC的中点N，连接AN，由ABAC知ANBC由(1)知PA平面ABCD，以A为坐标原点，AN，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1)，(0，1，1)，(，1，0)，(0，1，1)，(，1，2)设平面MPC的法向量为1(x1，y1，z1)，则即可取1.设平面MAC的法向量为2(x2，y
18、2，z2)，则即可取2(1，)设二面角PMCA的大小为，则|cos |，则二面角PMCA的正弦值为.3如图，已知矩形ABCD中，AB2AD2，点E是CD的中点，将BEC沿BE折起到BEC的位置，使二面角CBEC是直二面角(1)证明：BC平面AEC；(2)求二面角CABE的余弦值解(1)证明：四边形ABCD是矩形，AB2AD2，点E是CD的中点，ADE，BCE都是等腰直角三角形，AEB90，即AEBE.又二面角CBEC是直二面角，即平面CEB平面ABE，平面CEB平面ABEBE，AE平面ABE，AE平面CEB又BC平面CBE，BCAE.又BCEC，AE，EC平面AEC，AEECE，BC平面AEC
19、.(2)取BE的中点O，连接CO，易知CO平面ABE.过O点作OFAE，交AB于点F.AEEB，OFOB以O为坐标原点，OF，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0，0，0)，A，B，C，.设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则即取y1，则z1，x1，n(1，1，1)为平面ABC的一个法向量CO平面ABE，为平面ABE的一个法向量，cos，n，易知二面角CABE为锐二面角，故二面角CABE的余弦值为.4如图，四棱锥PABCD中，ABDC，ADC，ABADCD2，PDPB，PDBC(1)求证：平面PBC平面PBD；(2)在线段PC上是否存在
20、点M，使得平面ABM与平面PBD所成的锐二面角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解法一：(1)因为ABDC，ABAD2，ADC，所以BD2，BDC.又CD4，所以根据余弦定理得BC2.所以CD2BD2BC2，故BCBD又BCPD，PDBDD，且BD，PD平面PBD，所以BC平面PBD，又BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD(2)由(1)得平面ABCD平面PBD，设E为BD的中点，连接PE，因为PBPD，所以PEBD，PE2.又平面ABCD平面PBD，平面ABCD平面PBDBD，所以PE平面ABCD如图，以A为原点，分别以，的方向和垂直平面ABCD的向量的方向为x，y，z轴正方向，建立
21、空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，4，0)，P(1，1，2)假设存在M(a，b，c)满足要求，设(01)，即，所以M(2，43，2)，易得平面PBD的一个法向量为(2，2，0)(0，2，0)，(2，43，2)，设n(x，y，z)为平面ABM的法向量，则即不妨取n(2，0，2)因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以，解得或2(不合题意舍去)故存在点M满足条件，且.法二：(1)取线段CD的中点F，连接AF交BD于点E，连接BF.因为ABCD，ABADCD2，ADC，所以四边形ADFB为正方形，故BDAF，且E为BD的中点，又F为线段CD的中点，所以EF
22、BC，BCBD又BCPD，PDBDD，且BD，PD平面PBD，所以BC平面PBD，又BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD(2)连接EP，因为PBPD，E为BD的中点，所以PEBD，PE2，又BC平面PBD，所以PE，DE，EF三线两两互相垂直分别以，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Exyz，则E(0，0，0)，A(0，0)，B(，0，0)，C(，2，0)，P(0，0，2)假设存在M满足要求，设(01)，即，易得平面PBD的一个法向量为(0，2，0)(，0)，(，32，2)设n(x，y，z)为平面ABM的法向量，则即不妨取n(，2)因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以，解得或2(不合题意舍去)故存在点M满足条件，且.
