1、2013版高考数学一轮复习精品学案：第三章 三角函数、解三角形知识特点1、三角函数是主要的初等函数之一，是描述周期现象的重要函数模型，这与向量、不等式、解析几何、立体几何、函数等知识有着密切的联系，在实际问题中也有着十分广泛应用，是继续深造学习知识的必备基础，因而是高考对基础知识技能考查的主要内容之一。在本章的复习中，要注重基础知识的落实，体现三角函数的基础性。2、三角恒等变换是一种重要的数学能力，对于三角恒等变换这一单元来说，公式较多、方法灵活多变，一定要文章公式成立的条件，要在灵、活、巧上下功夫。3、解三角形在新课标中要求有所提高，除了掌握正、余弦定理外，还要注意解三角形的有关知识，同时该
2、部分知识与平面向量密切相关，易在其知识交汇处命题。重点关注1、三角函数的图象是三角函数关系的直观表现形式，三角函数的性质可以直接从图象上显现出来，因此掌握最基本的三角函数的形状和位置特征，会用五点法作出的简图，并能由已知的这类图象求出函数的解析式、周期、值域、单调区间等是学好本部分内容的关键。2、三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示三角函数值来获得函数的性质，同时能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法。3、三角恒等变换是三角函
3、数的基础，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉，要注意对公式的正用、逆用、变形运用的训练，以增强变换意识。同时，要归纳解题思路及规律，复习时选题不要太难，有特别技巧的题也尽量少做。4、解三角形的有关试题大多属于中、低档题，主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用能力、三角恒等变换的能力、运算能力及转化思想。解三角开常常作为解题工具用于几何中的计算或证明。5、思想方法的应用数形结合的思想：利用三角的图象或单位圆解决有关问题既简捷又直观，是这部分习题中经常使用的一种方法。特殊方法的运用：本部分选择题、填空题出现的几率较
4、大，因此在复习中要注意解选择题、填空题的一些特殊方法，如特殊值法、代入验证法、待定系数法、排除法等的运用。另外对有些具体问题还需掌握和运用一些基本结论。地位与作用近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟
5、练地运用数形结合的思想方法从新课改各省份的高考信息统计中可以看出，命题呈现以下特点：1、考查题型以选择、填空为主，分值约占10%、17%，基本属于容易题和中档题。2、重点考查三角函数的图象和性质、两角和与差的三角函数公式和倍角公式、正弦定理及余弦定理等，其中对倍角公式灵活运用的考查，是高考的热点，在与解三角形有关的问题中，常与平面向量结合，注重在知识交汇处命题。3、预计本章在今后的高考中，仍将以三角函数为载体，考查函数的性质及灵活运用知识的能力。31三角函数【高考新动向】一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、考纲点击（1）了解任意角的概念；（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；（3
6、）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（4）理解同角三角函数的基本关系式：2、热点提示（1）三角函数的定义及应用是本节的考查重点,注意三角函数值符号的确定。（2）同角三角函数间的关系，可单独考查，也可能与其他知识结合起来考查。（3）主要以选择题、填空题的形式考查。二、三角函数的诱导公式1、考纲点击能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式。2、热点提示（1）利用诱导公式求值或化简三角函数是考查重点。（2）同角三角函数关系式用来化简，求值是高考热点。（3）主要以选择题、填空题的形式考查。三、三角函数的图象与性质1、考纲点击（1）能画出y=sinx, y=cosx, y
7、=tanx的图象，了解三角函数的周期性；（2）理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性。2、热点提示（1）三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点；（2）三角函数的对称性也是高考的一个热点；（3）主要以选择题、填空题的形式考查。四、函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用1、考纲点击（1）了解函数y=Asin(x+)的物理意义；能画出函数y=Asin(x+)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响；（2）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。2
8、、热点提示（1）用“五点作图法”作函数y=Asin(x+)的图象；（2）图象的变换规律：平移和伸缩变换在主、客观题中均考查；（3）结合三角恒等变换考查y=Asin(x+)性质及简单应用是考查的热点。五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、考纲点击（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。2、热点提示（1）利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考点；（3）对asinx+bcosx的化简是高考每
9、年必考内容；（4）在选择、填空、解答题中都可以考查。六、简单的三角恒等变换1、考纲点击（1）会用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。（2）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。2、热点提示（1）灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容；（2）常与一些实际问题、函数等结合命题；（3）高考主要以以解答题的形式考查。【考纲全景透析】一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、任意角（1）角概
10、念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角。（2）终边相同的角终边与角相同的角可写成+k360o(kZ)。（3）象限角及其集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角的集合|2k2k+,kZ第二象限角的集合|2k+2k+,kZ第三象限角的集合|2k+2k+,kZ第四象限角的集合|2k+0, 0）x0.+）AT=x+2、用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示x+02xy=Asin(x+)0A0-A0注：在上表的三行中，找五个点时，首先确定第一行的数据，即先使x+=0，2然后求出x的值。
11、3、函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(x+)的图象的步骤五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sin=, cos=3、形如asin+bcos的化简asin+bcos=sin(+).其中cos=,sin=六、简单的三角恒等变换1、用cos表示sin2,cos2,tan2sin2=;cos2=;tan2=注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。2、用cos表示sin,cos,tansin=cos=tan= 3、用sin,cos表示tantan=【热点难点全析】一、任意角和弧度制及
12、任意角的三角函数1、三角函数的定义相关链接（1）已知角终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的值。注：若角的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。例题解析例已知角的终边落在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值。思路解析：本题求的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角的终边上任意一点P（4t,-3t）(t0)，求出r，由定义得出结论。解答：角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点
13、P（4t,-3t）(t0)，则x=4t,y=-3t.,r=5|t|,当t0时，r=5t,sin=,，；当t0时，r=-5t，sin=，。综上可知，sin= ，；或sin= ,.2、象限角、三角函数值符号的判断相关链接（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。例题解析例（1）如果点P（sincos,2cos）位于第三象限，试判断角所在的象限；（2）若是第二象限角，则的符号是什么？思路解析：（1）由点P所在的象限，知道sincos，2
14、cos的符号，从而可求sin与cos的符号；（2）由是第二象限角，可求cos，sin2的范围，进而把cos，sin2看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos),cos(sin2)的符号可定。解答：（1）因为点P（sincos,2cos）位于第三象限，所以sincos0，2cos0，即所以为第二象限角。（2）2k+2k+(kZ),-1cos0,4k+24k+2,-1sin20.sin(cos)0,0,的符号是负号。3、已知所在象限，求所在象限相关链接（1）由所在象限，确定所在象限的方法由的范围，求出的范围；通过分类讨论把角写成+k3600的形式，然后判断所在象限。（
15、2）由所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限二等分，得8个区域；标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，（如图所示）；确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求。（3）由所在象限，确定所在象限，也可用如下方法判断：画出区域：将坐标系每个象限三等分，得到12个区域；标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上，（如图所示）：确定区域：找出与角所在象限标号一致的区域，即为所求。例题解析例若是第二象限角，试分别确定2、的终边所在位置思路分析：写出的范围求出2、的范围分类讨论求出2、终边所在位置。解答：是第二象限角，900+k36001800+k3600(
16、kZ),(1)1800+2k360023600+2k3600(kZ),故2是第三或第四象限角，或2的终边在y轴的非正半轴上。（2）450+k1800900+k1800(kZ),当k=2n(nZ)时，450+n3600900+n3600(kZ),当k=2n+1(nZ)时, 2250+n36002700+n3600(kZ),是第一或第三象限角。（3）300+k1200600+k1200(kZ),当k=3n(kZ)时，300+n3600600+k3600(kZ),当k=3n+1 (kZ)时, 1500+n36001800+k3600(kZ),当k=3n+2(kZ)时, 2700+n36000,cos
17、0,sin- cos=,由得tan=（2）tan=注：（1）对于sin+cos，sincos，sin-cos这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求。转化的公式为(sincos)2=12 sincos;（2）关于sin，cos的齐次式，往往化为关于tanx的式子。5、扇形的弧长、面积公式的应用例已知一扇形的圆心角是，所在圆半径是R。若=600，R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。若扇形的周长是一定值C（C0），当是多少弧度时，该扇形有最大面积？思路分析：（1）利用弧长、面积公式求解；（2）把扇形面积用表示出来，或用弧长表示出来，然后求出函数的最值。解答：（1）设弧长为，弓
18、形面积为，（2）方法一：扇形周长C=2R+=2R+R,R=当且仅当，即=2（=-2舍去）时，扇形面积有最大值。方法二：由已知2R+=C,当时，此时当=2弧度时，扇形面积有最大值。注：合理选择变量，把扇形面积表示出来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不同的方法求最值，这是解决问题的关键。二、三角函数的诱导公式1、三角函数式的化简相关链接（1），的三角函数值是化简的主要工具。使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：等。注：若出现时，要分为奇数和偶数讨论。（3）诱导公式的应用原则是：负化正，
19、大化小，化到锐角为终了。特殊角能求值则求值；（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。例题解析例化简：思路分析：化简时注意观察题设中的角出现了，需讨论是奇数还是偶数。解答：当时，当时综上，原式=-12、三角函数的求值相关链接（1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；（2）已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值。例题解析例已知，求的值。思路解析：化简已知条件化简所求三角函数式，用已知表示代入已知求解解答：，3、诱导公式在
20、三角形中的应用例1在ABC中，若sin(2-A)=sin(-)，cosA=cos(-)求ABC的三内角。思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出cosA的值，再利用A+B+C=进行计算。解答：由已知得，化简得即（1）当时，又A、B是三角形内角，A=，B=，C=（2）当，又A、B是三角形内角，A=，B=，不合题意。综上知，A=，B=，C=注：在ABC中常用的变形结论有：A+B+C=，2A+2B+2C=2，sin(A+B)=sin(-C)=sinC;cos(A+B)=cos(-C)=-cosC;tan(A+B)=tan(-C)=-tanC;sin(2A+2B)=sin(2-
21、2C)=-sin2C;cos(2A+2B)= cos(2-2C)=cos2C;tan(2A+2B)=tan(2-2C)=-tan2C;sin()=sin()=cos;cos()=cos()=sin.以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。例2是否存在（，），（0，），使等式sin(3-)=cos(-), cos(-)= cos(+)同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由。思路分析：要想求出，的值，必须知道，的某一个三角函数值，因此，解决本题的关键是由两个等式消去或的同名三角函数值。解答：假设存在，使得等式成立，即有化简得，继续化简可得，。又=或=。将=代入得cos=.又（0，），=，
22、代入可知符合。将=代入得cos=.又（0，），=代入可知不符合。综上可知，存在=，=满足条件。注：已知角的三角函数值求角的一般步骤是：（1）由三角函数值的符号确定角所丰的象限；（2）据角所在的象限求出角的最小正角；（3）最后利用终边相同的角写出角的一般表达式。三、三角函数的图象与性质1、与三角函数有关的函数的定义域相关链接（1）与三角函数有关的函数的定义域与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围；求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。（2）用三角函数线解sinxa(cosxa)的方法找出使sinx=a(cosx=a)的两个x值的终边
23、所丰位置；根据变化趋势，确定不等式的解集。（3）用三角函数的图象解sinxa(cosxa，tanxa)的方法作直线y=a，在三角函数的图象了找出一个周期内（不一定是0，2）在直线y=a上方的图象；确定sinx=a(cosx=a，tanx=a)的x值，写出解集。注：关于正切函数的不等式tanxa（tanxcosx的x的集合，可用图象或三角函数线解决；（2）第（2）小题实际就是求使成立的x的值，可用图象或三角函数线解决。解答：（1）要使函数有意义，必须使sinx-cosx0方法一：利用图象。在同一坐标系中画出0，2上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示：在0，2内，满足sinx=cosx的x
24、 为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为方法二、利用三角函数线，如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx,即MNOM，则。定义域为方法三：sinx-cosx=sin(x-)0,将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2k x-+2k,解得2k+x0,0)的函数的单调区间，基本思路是把x+看作一个整体，由求得函数的增区间，由求得函数的减区间。（3）形如y=Asin(-x+)(A0,0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y=-Asin(x-)，由得到函数的减区间，由得到函数的增区间。注：对于函数y=Acos(x+),y=Atan(x+)产单调
25、区间的求法与y=Asin(x+)的单调区间的求法相同。例题解析例（1）求函数的单调递减区间；（2）求的周期及单调区间。思路解析：题目所给解析式中x的系数都为负，把x的系数变为正数，解相应不等式求单调区间。解答：（1）由得，由得又x-,-x,.函数 x-,的单调递减区间为-，。（2）函数的周期T=。由得由得，函数的单调递减区间为。3、三角函数的值域与最值例1已知函数的定义域为，函数的最大值为1，最小值为-5，求a和b的值。思路解析：求出的范围a0时，利用最值求a、b a0，则，解得；若a0,则，解得。综上可知，或，注：解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asin(x+
26、)或y=Acos(x+)的最值，再由方程的思想解决问题。例2求函数的值域思路解析：（1）因xR时，cos-1,1,可利用分离参数法求解；（2）利用cosx的有界性，把cosx用y表示出来解。解答：方法一：函数的定义域为R，y=1+,-1cosx1,当cosx=-1时，2-cosx有最大值3，此时;当cosx=1时，2-cosx有最小值1，此时,函数的值域为，2。方法二：由解出cosx得。-1cosx1,即，也即两边同时平方得，即（y-2）(3y-4)0,函数的值域为，2注：求三角函数的值域主要有三条途径：（1）将sinx或cosx用所求变量y来表示，如sinx=f(y),再由|sinx|1得到
27、一个关于y 的不等式|f(y)|1，从而求得y的取值范围；（2）将y用sinx或cosx来表示，或配方或换元或利用函数的单调性或基本不等式来确定y的取值范围；（3）利用数形结合或不等式法求解。在解答过程中，注意化归思想的应用以及应用过程中的等价转化。四、函数的图象及三角函数模型的简单应用1、函数的图象相关链接 （1）“五点作图法”当画函数在xR上的图象时，一般令即可得到所画图象的特殊点坐标，其中横坐标成等差数列，公差为；当画函数在某个指定区间上的图象时，一般先求出的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表。（2）图象变换法、平移变换沿x轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平
28、移，按“上加下减”法则。、伸缩变换沿x轴伸缩时，横坐标x伸长（01)为原来的倍（纵坐标y不变）;沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长（A1）或缩短（0A0,0,0)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(,-2).(1)求f(x)的解析式；(2)当x,时，求f(x)的值域.思路解析：由与x轴的交点中相邻两交点的距离为可得，从而得T=，即可得.由图象最低点得A及 的值，从而得函数f(x)的解析式，进而得f(x)的值域.解答：(1)由最低点为M(,-2),得A=2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为,得,即T=,=2.由点M(,-2)在图象上得2sin(2+)=-2,即sin(
29、+)=-1,故（2）当2x+= ,即x=时，f(x)取得最大值2;当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为-1,2. 3、函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用相关链接（1）已知函数的图象变换求解析式左右平移变换：把函数y=Asin(x+)的图象向左（右）平移k个单位，得到的图象解析式为y=Asin （xk）+.伸缩变换：把函数y=Asin(x+)的图象上各点的横坐标变为原来的M倍，纵坐标不变，得到的函数的图象解析式为y=Asin（）+。（2）函数y=Asin(x+)的图象的对称问题函数y=Asin(x+)的图象关于直线x=xk（其中xk+=k+,kZ）成轴对称
30、图形，也就是说过波峰或波谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴。函数y=Asin(x+)的图象关于点（xj,0）(其中xj+=k,kZ)成中心对称图形，也就是说函数图象与x轴的交点（平衡位置点）是其对称中心。例题解析例已知函数f(x)=sin(x+)-cos(x+)(00)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为。（1）求f()的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间。思路解析：（1）化简f(x)由奇偶性和周期性求和求f()；（2）变换f(x)的图象得到g(x)
31、的解析式求g(x)的单调减区间。解答：（1）f(x)= sin(x+)-cos(x+)=2sin(x+)- cos(x+)=2sin(x+-).因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此，sin(-x+-)=sin(x+-),即-sinxcos(-)+cosxsin(-)=sinxcos(-)+cosxsin(-),整理得sinxcos(-)=0,因为0.且xR,所以cos(-)=0,又因为0，故-=，所以f(x)=2sin(x+)-2cosx.由题意得，所以=2，故f(x)=2cos2x,因此f()=2cos=.（2）将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x-)的
32、图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不为，得到f(-)的图象。所以g(x)= f(-)=2cos2(-)=2cos(),当2k2k+(kZ),即4 k+x4 k+(kZ)时，g(x)单调递减。因此g(x)的单调递减区间为4 k+，4 k+(kZ)。4、函数y=Asin(x+)+b模型的简单应用例如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设B点与地面距离是h （）求h与间的函数关系式；（）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，h与之间的函数关系式,并求缆车
33、到达最高点时用的最少时间是多少？思路分析：（）以圆心为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义求出点的纵坐标，则h与之间的关系可求（）把用t表示出来代入h与的函数关系即可解答：（）以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以x为始边，为终边的角为-,故点的坐标为（4.8cos(-),4.8sin(-)）,h=5.6+4.8sin(-).（）点在圆上转动的角度是，故t秒转过的弧度数为t，h=5.6+4.8sin(t-).t0,+).到达最高点时，h=10.4m，由sin(t-)=1得t-，t=30,缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒注：面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的
34、基本技能.这个过程并不神秘,比如本例题,在读题时把问题提供的” 条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在高考中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题。将实际问题转化为三角函数有关问题应注意以下几点：审题：把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”；描点画图，建立数学模型；求出三角函数解析式；利用函数的性质进行解题。五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、三角函数式的化简、求值相关链接（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合
35、理的拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；（3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值。例题解析例（1）化简（2）求值思路解析：（1）从把角变为入手，合理使用公式；（2）应用公式把非角转化为的角，切化弦。解答：（1）原式=因为00,0, 的形式
36、；（2）求函数g(x)的值域。思路解析：（1）利用平方关系的变形将根式化为有理式；（2）利用三角函数的单调性及借助于三角函数的图象确定值域。解答：2、三角函数的证明相关链接（1）证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异（角、函数、运算的差异），从解决某一差异入手（同时消除其他差异），确定人该等式的哪边证明（也可两边同时化简），当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。（2）证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出引进结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数
37、，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。例题解析例（1）求证：（2）思路解析：（1）观察本题（1）左、右两边式子间的差异，若选择“从左证到右”，则“切化弦”的方法可用；若选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式；（2）本题（2）一个条件等式的证明，应仔细观察条件与结论的差异，从解决差异入手，结论中为+与的函数，而已知是与2+的函数，将、2+用+、表示解决本题的正确方向。解答：（1）方法一：方法二：3、三角函数式的化简及求值相关链接（1）三角函数式的化简、化简的要求能求出值的应求出值；尽量使函数种数最少；尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。
38、、化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂，和差化积、积化和差等。（2）已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：、先化简所求式子；观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）；将已知条件代入所求式子，化简求值。例题解析例已知，求的值思路解析：化简已知条件化简所求式子，用已知表示所求代入已知求解结论。解答：解得=-3或=.注：化简的思路：对于和式，基本思想是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用。另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法。4、三角函数的应用问题例如图，半圆O的直径为
39、2，A为直径延长线上一点，且OA=2，B为半圆周上任意一点，以AB为一边作等边ABC，问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？其最大面积是多少？思路解析：点B的位置可由AOB的大小来确定，取AOB为自变量，则由余弦定理可求AB，从而可求，四边形OACB的面积可表示成AOB的函数，再求这个三角函数的最大值。解答：注：用函数法求平面图形面积的最大值或最小值，常以某个变化的角作为自变量，再将面积S表示成这个角的函数，然后将问题转化为求三角函数的最值，其中自变量的取值范围要根据实际情况而定，求函数的最值可通过三角变换来解决。【高考零距离】1（2012辽宁高考文科6）已知，(0，)，则=(A) 1
40、 (B) (C) (D) 1【解题指南】将等式两边平方，结合二倍角的正弦公式即可解决【解析】选A. 将等式两边平方，得2（2012福建高考文科22）(本小题满分14分) 已知函数，且在上的最大值为，（）求函数的解析式；（）判断函数在内的零点个数，并加以证明本题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识点，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想解：（）由已知得，对于任意，有当时，不合题意；当，时，从而在内单调递减，又在上的图像是连续不断的。故在上的最大值为，不合题意；当，时，从而在内单调递减，又在上的图像是连续不断的。故在上的最大值为，即
41、，解得综上所述，得（）在内有且只有两个零点证明如下：由（）知，从而有，又在上的图像是连续不断的，所以在内至少存在一个零点又由（）知在上单调递增，故在内有且仅有一个零点当时，令，由，且在上的图像是连续不断的，故存在，使得由，知时，有，从而在内单调递减当时，即，从而在内单调递增，故当时，故在上无零点，当时，有，即，从而在内单调递减，又，且在上的图像是连续不断的，从而在内有且仅有一个零点。综上所述，在内有且只有两个零点3（2012天津高考文科7）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是 （ ）(B)1 (D)2【解题指南】依据三角函数的图像和性质验证得出。【解析】选D。函数的图像
42、向右平移个单位长度得到函数，将代入得故得的最小值是24（2012福建高考文科8）函数的图像的一条对称轴是（ ）ABCD【解题指南】高中学习过的函数都有这样的共性，即在对称轴上会取得最值因此把选项代入，哪个能确实最值即是【解析】选C三角函数会在对称轴处取得最值，当代入得，取得函数的最小值，因此，直线是对称轴5（2012山东高考文科8）函数的最大值与最小值之和为 (A)(B)0(C)1(D)【解题指南】本题考查三角函数的性质，可利用整体代入法求出最大值域最小值.【解析】选A.因为，所以，所以，所以，所以.所以函数的最大值与最小值之和为.6（2012广东高考文科16）已知函数（1）求A的值；（2）设
43、求的值.【解题指南】 (1)将x=代入函数f(x)的解析式，建立关于A的方程，解方程即可求解。（2）解本小题的关键是根据和求出的值，然后再给的范围，求出，再利用两角和的余弦公式即可求解。【解析】(1).(2),，又又7（2012江苏高考数学科11）设为锐角，若，则的值为 【解题指南】观察角之间的联系再从倍角公式，和角的变换角度处理。【解析】因为，所以，所以【答案】【考点提升训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1.（2012杭州模拟）如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若AOP=，则点P的坐标是( )(A)(cos,sin)(B)(-cos,sin)(C)(sin,cos)
44、(D)(-sin,cos)2.（2012福州模拟）等于( )(A)sin2-cos2 (B)cos2-sin2(C)(sin2-cos2) (D)sin2+cos23.等于( )（A）1 （B） （C）0 （D）-14.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间（）内的图象是( )5.已知函数f(x)=sin(2x-)，若存在a(0,)，使得f(x+a)=f(x-a)恒成立，则a的值是( )(A) (B) (C) (D)6.（2012合肥模拟）已知角在第一象限且cos=则=( )二、填空题（每小题6分，共18分）7.已知函数f(x)sin(x+)(0)的最小正周期为，则=_8.如
45、果tan、tan是方程x2-3x-3=0的两根，则tan(+)=_.9.（2012潮州模拟）已知角终边上一点P（-4，3），则的值为_.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2012芜湖模拟）已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，（0，），角的终边与单位圆交点的横坐标是角+的终边与单位圆交点的纵坐标是求cos.11.已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为0,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.【探究创新】（16分）函数f(x)(1)若x,，求函数f(x)的最值及对应的x的值.(2)若不等式f(x)-m21在x,上恒成立，求实数m的取值范围.答案解析1.
46、【解析】选A.由三角函数定义知，点P的横坐标x=cos，纵坐标y=sin.2.【解析】选A.原式=|sin2-cos2|,sin20,cos20;cos(-2 200)=cos(-40)=cos400；tan(-10)=tan(3-10)0,则解得若a0,则解得综上可知:a=12-6,b=-23+12或a=-12+6,b=19-12.【探究创新】【解题指南】（1）先利用所学公式把f(x)变换成f(x)=Asin(x+)+b的形式.利用x所给范围，求得最值及对应x的值；（2）利用不等式变换转化成函数恒成立问题求解.【解析】(1)f(x)x,当2x时，即x=时，f (x)max=0,当2x时，即x=时，f(x)min=-(2)方法一：f(x)-m21f(x)-1mf(x)+1(x,),mf(x)max-1且mf(x)min+1,故m的范围为（-1，）.方法二：f(x)-m21m-1f(x)m+1,m-1-且m+10,故-1m,综上m的取值范围是(-1, ).高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
