1、2012版高三数学一轮精品复习学案：第三章三角函数、解三角形32解三角形【高考新动向】一、正弦定理和余弦定理1、考纲点击掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2、热点提示（1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；（2）常与三角形等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等；（3）在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。二、应用举例1、考纲点击能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2、热点提示（1）对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点；（3）在选
2、择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题。【考纲全景透析】一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形形式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=;a:b:c=sinA: sinB: sinC;解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注：在ABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（sinAsinBabAB）2、在在ABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：3、三角形中的一些常用结论在ABC中，
3、设角A、B、C的对边长度分别为（1）三角形内角和定理A+B+C=（2）三角形中的诱导公式Sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,（3）三角形中的边角关系三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（4）三个重要结论ABCsinAsinBsinC;sinA:sinB:sinC=a:b:c. 二、应用举例1、实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）
4、注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；北偏本即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，为坡比）2、ABC的面积公式（1）；（2）；（3）。【热点难点全析】一、正弦定理和余弦定理（一）正弦定理、余弦定理的简单应用相关链接1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要
5、是根据图形或由“大边对大角”作出判断；2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷；3、三角形中常见的结论（1）A+B+C=；（2）在三角形中大边对大角，反之亦然；（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（4）三角形内的诱导公式 （5）在ABC中，tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC.例题解析例1在ABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC解答：由已知得acb,A为最大角。由余弦定理得：。又。方法一：由正弦定理得，因此最大角A为，。方法二：。C为三角形的内角，C为锐角。sinC=,所
6、以最大角为，sinC=。例2在ABC中，（1）若b=,c=1,B=450o,求a及C的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C。思路解析：（1）可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解；（2）题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解。解答：（1）方法一：由由正弦定理得，所以sinC=.因为cb,所以CB,故C一定是锐角，所以C=，所以A=，所以，所以方法二：根据得，解得。解角C方法同上。（2）因为，所以，解得c=8.（二）三角形形状的
7、判定相关链接依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=这个结论。注：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。例题解析例在ABC中，若试判断ABC的形状思路解析：三角形形状的判断方法是首先边化角或角化边，再整理化简即可判断.解答：方法一：由得，2A=2B或2A+2B=,即A=B或A
8、BC是等腰三角形或直角三角形方法二：由已知得，即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)，(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，a=b或a2+b2=c2,ABC是等腰三角形或直角三角形（三）正、余弦定理在几何中的应用相关链接正、余弦定理在几何中的应用（1）首先根据已知量和未知量确定未知量所在的三角形；（2）其次确定与未知量相关联的量；（3）最后把要求解的问题转化到由已知条件可直接求解的量上来。例题解析例1如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD=10，AB=14，BDA=600，BCD=1350，求BD及BC的长。解答：在BAD
9、中，由余弦定理，得， 例2如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=5，AC=9，BCA=300，ADB=450，求BD的长。思路解析：由于AB=5，ADB=450，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解，关键是确定BAD的正弦值。在ABC中，AB=5，AC=9，ACB=300，因此可用正弦定理求出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可。解答：在ABC中，AB=5，AC=9，BCA=300，由正弦定理，得注：（1）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理运用，有时还需要交替使用；（2）条件中如果出现平方关系多考虑余弦定理，出现一次式，一般要考虑正弦定理
10、；（3）在三角形中求角，往往选择先求该角的余弦值，然后利用余弦函数在（0，）上的单调性求角；（4）正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视。二、应用举例（一）与距离有关的问题相关链接1、一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。2、解斜三角形应用题常有以下几种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中
11、，可用正弦定理或余弦定理解之；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形或多个三角形，这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解；（3）实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理。例题解析例1如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km.（1）求证：AB=BD.（2）求BD.思路解析：（1）由已知角度不难求得BCD，且易得AC，DC关系，利用三角形全等可得AB=BD.（2
12、）求BD只需将其转化在某一三角形中利用已知条件即可求.解答：（1）在ACD中，DAC=30，ADC=60-DAC=30，所以CD=AC=0.1 km.又BCD=180-60-60=60，ACBDCB所以BD=BA.（2）在ABC中，即例2如图，公路MN和PQ在P处交汇，且QPN=300，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受影响？请说明理由。如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少？解答：作ABMN，B为垂足，在RtABP中，ABP=900，APB=300，AP=
13、160，AB=。点A到直线MN的距离小于100米，所以这所中学会受到噪声的影响。如图所示，若以A为圆心，100米为半径画圆，那么圆A和直线MN有两个交点，设交点分别为C、D，连接AC和AD，则AC=AD=100米，根据勾股定理和垂径定理得：CB=DB=米，CD=120米，学校受噪声影响的时间为t=3600=24秒（二）与高度有关的问题相关链接1、在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2、准确理解题意，分清已知与所求，画出示意图；3、运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用。例题解析例1测量河对岸的塔高AB时
14、，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD=75，BDC=60，CD=s，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，求塔高AB.思路解析：在BCD中求得CB，在ACB中，求出AB.解答：在BCD中，CBD=180-75-60=45，由正弦定理得在RtABC中，AB=BCtanACB= 例2某人在山顶观察地面上相距2500m的A、B两个目标，测得A在南偏本570，俯角为300，同时测得B在南偏东780，俯角是450，求山高（设A、B与山底在同一平面上，计算结果精确到0.1m）.解答:画出示意图(如图所示):设山高PQ=h,则APQ、BPQ均为直角三角形，在图（1）中，PAQ=300，P
15、BQ=450。AQ=PQ=h。在图（2）中，AQB=570+780=1350，AB=2500m，所以由余弦定理得：即所以山高约984.4m.（三）与角度有关的问题相关链接1、测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义；2、在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点。例题解析例在海岸A处，发现北偏东450方向，距A处n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏本750的方向，距离A处2n mile的C处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船。此时，走私船正以10n
16、mile/h的速度从B处向北偏东300方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路解析：本例考查正弦、余弦定理的建模应用。如图所示：注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD。解答：设缉私船用 h在D处追上走私船，则有CD=10，BD=10，在ABC中，AB=，AC=2，BAC=1200，由余弦定理，得，BC=，且sinABC=ABC=450,BC与正北方向垂直。CBD=900+300=1200，在BCD中，由正弦定理，得BCD=300。即缉私船沿东偏北300方向最快追上走私船。（四）与三角形面积有关的问题例在ABC中，内角A、B
17、、C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=。（1）若ABC的面积等于，求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积。思路解析：（1）利用余弦定理与已知条件确定a,b的一个关系式利用三角形的面积确定a,b的另一个关系式联立方程组求a,b；（2）化简已知条件求a,b求解答：（1）由余弦定理及已知条件得联立方程组得：（2）注：（1）对于面积公式S=absinC=acsinB=bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式；（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，实施边角转化；（3）正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还
18、需要交替使用。【高考零距离】1. （2012广东高考文科6）在中，若=60, B=45，BC=3，则AC=A4 B 2 C. D 【解题指南】 已知两角一边解三角形，显然适合采用正弦定理，但在由正弦值求角时，要注意解的个数的判断。【解析】选B. 在中,由正弦定理知2. （2012江苏高考数学科15）（本小题满分14分）在中，已知（1）求证：；（2）若求A的值【解题指南】（1）注意向量积公式的应用，和正弦定理的利用（边角转化）（2）先利用求出再利用两角和的正切公式构造与有关的方程。【解析】（1）由得即为由正弦定理得两边同除得。即成立。（2）因所以C为锐角，所以由（1），且得即即所以或。因由内角和
19、为知两角均为锐角，故应舍去。所以所以3. （2012安徽高考文科16）(本小题满分12分) 设的内角所对边的长分别为，且有。（）求角A的大小；（) 若，为的中点，求的长。【解题指南】（1）将代入化简得到，从而求出；（2）根据余弦定理即可求出.【解析】（）（II）在中，4. （2012山东高考文科17）在ABC中，内角所对的边分别为，已知.()求证：成等比数列；()若，求的面积S.【解题指南】 （1）先利用切化弦，将已知式子化简，再利用和角公式，三角形内角和定理，正弦定理化成；（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形面积公式求得.【解析】(I)由已知得：，再由正弦定理可得：，所以成等比数列.(I
20、I)若，则，的面积.5. （2012新课标全国高考文科17）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinCccosA求A若a=2，ABC的面积为，求b,c【解题指南】（1）选择将已知条件c = asinCccosA边化角，求出角A；（2）结合角A的值，选择合适的的面积公式，建立关于的方程组，解得的值。【解】(I)由及正弦定理得 .由于所以.又,故.(II) 的面积,故.而 ,故.解得 .6（2011山东高考理科17）（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（）求的值；（）若cosB=，b=2, 求ABC的面积S.【思路点拨】（1）本题
21、可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知=2.（2）应用余弦定理及第一问结论易知a和c的值，然后利用面积公式求解.【精讲精析】（）在中，由及正弦定理可得，即则，而，则，即.另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得.另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论.由可得即，则，由正弦定理可得.（）由及可得则，S，即.【考点提升训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1.在ABC中，a+b+10c=2(sinA+sinB+10sinC)，A=60，则a=( )（A） （B）2 （C）4 （D）不确定2.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边长，若0，则ABC
22、( )（A）一定是锐角三角形（B）一定是直角三角形（C）一定是钝角三角形（D）是锐角或钝角三角形3.在ABC中，已知a=，b=2，B=45，则角A=( )（A）30或150（B）60或120（C）60（D）304.某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为( )（A）15米 （B）5米 （C）10米 （D）12米5.（2012福州模拟）为测一树的高度，在水平地面上选取A、B两点（点A、B及树的底部在同一直线上），从A、B两点分别测得树尖的仰角为30,45，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为（ ）6.（2012宁
23、德模拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m,ACB=45,CAB=105后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）二、填空题（每小题6分，共18分）7.(2012郑州模拟)锐角ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A,的取值范围是_.8.（2012漳州模拟）在三角形ABC中，若那么C=_.9.如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2011安徽高考）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，
24、1+2cos(B+C)=0，求边BC上的高.11.（2012南平模拟)“神舟八号”飞船返回舱 顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为B，C，D）.当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得飞船于其南偏东60方向，仰角为60，B救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，仰角为30，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向.（1）求B，C两救援中心间的距离；（2）求D救援中心与着陆点A间的距离.【探究创新】（16分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一
25、个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+（其中sin=,090)且与点A相距10海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.答案解析1.【解析】选A.由已知及正弦定理得=2，a=2sinA=2sin60=，故选A.2.【解析】选C.由已知及余弦定理得cosCa,故A=30.4.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.【解析】选C.如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，
26、则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍去).5.【解析】选B.如图，设树高为h，则OBh,OA= AB=OA-OB= =60,6.【解析】选A.在ABC中ABC30,由正弦定理得：AB= m.7.【解析】锐角ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,C=2A,02A,且3A.由正弦定理可得=2cosA,即.答案：()8.【解析】由已知又C为ABC内角，C=答案：9.【解析】在ABD中，设BDx，则BA2BD
27、2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍去).由正弦定理得答案：【方法技巧】三角形中的几何计算问题以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.10.【解析】由1+2cos(B+C)=0和B+C=-A，得1-2cosA=0，cosA=，sinA=，再由正弦定理，得sinB=由ba知BA，所以B不是最大角，B，从而cosB
28、=由上述结果知sinC=sin(A+B)= (+).设边BC上的高为h，则有h=bsinC=11.【解析】（1）由题意知PAAC，PAAB，则PAC，PAB均为直角三角形，在RtPAC中，PA1，PCA60，解得AC在RtPAB中，PA1，PBA30，解得AB=,【探究创新】【解析】(1)AB=40，AC=10，BAC=,sin=,由于040=AQ,所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中，PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45-ABC)=15=37.所以船会进入警戒水域.高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
