1、第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第一课时用空间向量解决平行关系课时跟踪检测一、选择题1给定下列命题：若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，且向量a与平面共面，则an0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确命题的个数是()A1B2C3 D4解析：正确中由n1n2.答案：C2已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B1,3，C1，3， D1,3，解析：对于B，1,4，则n(3,1,2)1,4，0，n，则点P1,
2、3，在平面内答案：B3若空间中A(1,2,3)，B(1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的关系为()A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定解析：(2，2,2)，(1,1，1)故2.所以，即AB与CD平行答案：A4直线l的方向向量为a，平面内两共点向量为，下列关系中能表示l的是()Aa BakCa D以上均可能解析：A，B，C均能表示l或l.答案：D5已知直线l过点P(1,0，1)，平行于向量a(2,1,1)，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是()A(1，4,2) BC. D(0，1,1)解析：解法一：由已知，得(0,2,4)，设平面的法向量
3、为n(x，y，z)，则有即把四个选项代入验证知，D项(0，1,1)不满足解法二：因为A，B，C中各向量平行，故选D.答案：D6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定解析：分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C1xyz，如图所示A1MANa，M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.是平面BB1C1C的一个法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.答案：B二、填空题7已知平面与平面的法向量
4、分别为a(1,1,2)，b(x，2,3)，若，则x_.解析：a(1,1,2)，b(x，2,3)，又，1x1(2)230，x4.答案：48已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD平面ABC，则实数x的值是_解析：易求得，平面ABC的一个法向量为u(0,0,1)，而(1,1，x)，当AD平面ABC时，u0.1010x0.x0.答案：09已知向量a(1,3,5)，b(2,4,6)，若n与x轴垂直，且an12，nb14，则n_.解析：设n(x，y，z)，由题意，得得n(0，1,3)答案：(0，1,3)三、解答题10(2019黑龙江实验中学期末)四边形ABCD为
5、正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：平面PQC平面DCQ；(2)证明：PC平面BAQ.证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，为x轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz.(1)依题意，有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)，所以0，0，即PQDQ，PQDC，且DQDCD.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC平面DCQ.(2)根据题意，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，故有0，0，所以为平面BAQ的一个法向量又因为(0，2,1)，且0，即DAPC，且PC平面BAQ，故
6、有PC平面BAQ.11在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面CB1D1.证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1.则A1(1,0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1,0)，(0,1，1)，设平面A1DB的法向量为n1(x1，y1，z1)，则令z11，得x11，y11.平面A1DB的一个法向量为n1(1,1,1)设平面CB1D1的法向量为n2(x2，y2，z2)，则令y21，得x21，z21，n2(1,1
7、,1)n1n2，即n1n2，平面A1BD平面CB1D1.12(2019大庆中学高三模拟)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC13，CD2，且C1CBC1CD60.(1)设a，b，c，试用a，b，c表示；(2)已知O为四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，求CO的长解：(1)由a，b，c，得abc，所以abc.(2)O为四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点由已知条件，得|a|b|2，|c|3，ab0，a，c60，b，c60.由(1)得，abc，则|22(abc)2a2b2c22ab2bc2ac2222320223cos 60223cos 6029.所以A1C的长为，所以CO的长为.13(2019天津和平区期末)对于任意空间向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：ab；若a1a2a31，则a为单位向量；aba1b1a2b2a3b30.其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析：由ab，反之不一定成立，故不正确；若a1a2a31，则|a|，故不正确；正确答案：B
