1、浙江省嘉兴外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x1Bx|x2Cx|0x2Dx|1x22（5分）若a、b是任意实数，且ab，则（）Aa2b2BClg（ab）0D3（5分）已知等差数列an中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A100B210C380D4004（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A2B3C4D95（5分）“x3”是x24“的（）A充分不必要条件B充分必要条件
2、C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A1B2C1D7（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A若m，则mB若=m，=n，mn，则C若，则D若m，m，则8（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A9B10C11D129（5分）设tan、tan是方程x2+3x+4=0的两根，且，则+的值为（）ABCD10（5分）若点O和点F分别为椭圆=1的中心和上焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D8二填空题：本大题有7小题
3、，每小题4分，共28分11（4分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于12（4分）双曲线=1的渐近线方程为13（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为14（4分）直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长等于15（4分）若sin（）=，（，），则cos（+）=16（4分）已知x，yR+，且满足，则xy的最大值为17（4分）已知向量=（sinB，1cosB），向量=（2，0），且与的夹角为，其中A、B、C是ABC的内角，则角B=三、解答题（共5题，18-20题每题14分，21-22每题15分，共72分）18（14分）已知函数，（1）求
4、函数y=f（x）的最小正周期；（2）若，求的值19（14分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点（1）求证：EF平面ABC1D1（2）求直线EF与平面B1FC所成角的正弦值20（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标21（15分）已知函数f（x）=3x22x，数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，Tn是数列bn的前n项和，求Tn22（15分）设点P（x，y）（x0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（
5、其中O为坐标原点），点P到定点M（，0）的距离比点P到x轴的距离大（1）求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且=0，点O到直线l的距离为，求直线l的方程浙江省嘉兴外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合A=x|x0，B=x|1x2，则AB=（）Ax|x1Bx|x2Cx|0x2Dx|1x2考点：并集及其运算 分析：根据并集的求法，做出数轴，求解即可解答：解：根据题意，作图可得，则AB=x|x1，故选A点评
6、：本题考查集合的运算，要结合数轴发现集合间的关系，进而求解2（5分）若a、b是任意实数，且ab，则（）Aa2b2BClg（ab）0D考点：不等式比较大小 专题：综合题分析：由题意可知ab，对于选项A、B、C举出反例判定即可解答：解：a、b是任意实数，且ab，如果a=0，b=2，显然A不正确；如果a=0，b=2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=，显然C，lg0，不正确；满足指数函数的性质，正确故选D点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题3（5分）已知等差数列an中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A100B210C380D400考点：等差数列的通
7、项公式 分析：由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果解答：解：d=，a1=3，S10=103+frac10942=210，故选B点评：若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解4（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A2B3C4D9考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y的最小值解答：解：设变量x、y满足约束条件，
8、在坐标系中画出可行域ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3，故选B点评：在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解5（5分）“x3”是x24“的（）A充分不必要条件B充分必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：求解x24，得出x2或x2，运用充分必要条件的定义可判断解答：解：x24，x2或x2，根据充分必要条件的定义可判断：“x3”是x24“的充分不必要条件，故选：A点评：本题考查了充分必
9、要条件的定义，简单的不等式的解法，属于容易题6（5分）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（）A1B2C1D考点：正弦定理的应用；余弦定理的应用 专题：计算题分析：方法一：可根据余弦定理直接求，但要注意边一定大于0；方法二：可根据正弦定理求出sinB，进而求出c，要注意判断角的范围解答：解：解法一：（余弦定理）由a2=b2+c22bccosA得：3=1+c22c1cos=1+c2c，c2c2=0，c=2或1（舍）解法二：（正弦定理）由=，得：=，sinB=，ba，B=，从而C=，c2=a2+b2=4，c=2点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用在解
10、三角形时一般就用这两个定理，要熟练掌握7（5分）若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A若m，则mB若=m，=n，mn，则C若，则D若m，m，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：阅读型分析：对于选项A直线m可能与平面斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可解答：解：对于选项D，若m，则过直线m的平面与平面相交得交线n，由线面平行的性质定理可得mn，又m，故n，且n，故由面面垂直的判定定理可得故选D点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定
11、定理，同时考查了推理能力，属于基础题8（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A9B10C11D12考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=412+122+213=12故选D点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题9（5分）设tan、tan是方程x2+3x+4=0的两根，且，则+的值为（）ABCD考点：两角和与差的正切函数 分析：先求出tan+tan、tantan的值确定tan、tan的符号，进而可以缩小和的范
12、围，再根据两角和的正切公式和求出tan（+）的值得到答案解答：解：tan、tan是方程x2+3x+4=0的两根tan+tan=3，tantan=4tan0、tan0，（，0），（，0）+（，0）tan（+）=+=故选A点评：本题主要考查正切函数的两角和的公式属基础题但要注意角的范围10（5分）若点O和点F分别为椭圆=1的中心和上焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D8考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的参数方程与数量积运算性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性即可得出解答：解：由椭圆=1可得a=2，b2=3，=1点O和点F分别为椭圆=1
13、的中心和上焦点，O（0，0），F（0，1）设P，0，2）则=3cos2+4sin22sin=（sin1）2+26当且仅当sin=1时取等号的最大值为6故选：C点评：本题考查了椭圆的参数方程与数量积运算性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分11（4分）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于4考点：平行向量与共线向量 分析：三点共线即两向量共线，用向量共线公式得方程解之解答：解：=（a2，2），=（2，2），依题意，向量与共线，故有2（a2）4=0，得a=4故答案为4点评：考查两向量共线
14、的坐标形式的充要条件12（4分）双曲线=1的渐近线方程为y=x考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的渐近线方程公式即可得到结论解答：解：双曲线的方程=1a2=16，b2=8，即a=4，b=2，则双曲线的渐近线方程为y=x，故答案为：y=x点评：本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决本题的关键比较基础13（4分）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为27考点：球的体积和表面积 专题：计算题；综合题分析：正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积解答：解：正方体的对角线就是球的直径，设其体对角线的长为l，则l
15、=3，故答案为：27点评：本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题14（4分）直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长等于4考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可解答：解：圆x2+y26x8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y26x8y=0所截得的弦长为：2=4故答案为：4点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力15（4分）若sin（）=，（，），则cos（
16、+）=考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：由已知等式求出sin，进而求出cos的值，原式利用诱导公式化简即可求出值解答：解：sin（）=sin=，（，），sin=， cos=，则cos（+）=cos=故答案为：点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键16（4分）已知x，yR+，且满足，则xy的最大值为3考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件出发，求解解答：解：因为x0，y0，所以（当且仅当，即x=，y=2时取等号），于是，xy3故答案为：3点评：本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题
17、17（4分）已知向量=（sinB，1cosB），向量=（2，0），且与的夹角为，其中A、B、C是ABC的内角，则角B=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；解答：解：=（sinB，1cosB），向量=（2，0），=2sinB，又=2cos=，2sinB=，化简得：2cos2BcosB1=0，cosB=1（舍去）或cosB
18、=，又B（0，），B=；故答案为点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，向量的数量积表示向量的夹角，学生做题时注意角度的范围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值三、解答题（共5题，18-20题每题14分，21-22每题15分，共72分）18（14分）已知函数，（1）求函数y=f（x）的最小正周期；（2）若，求的值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的周期性及其求法 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，即可求解函数的周期（2）直接利用已知条件，求出相位的范围，然后求解函数的值解
19、答：解：（1）（3分）=（5分）T=（2）因为，所以（9分），所以，（11分）（14分）点评：本题考查两角和的正弦函数，二倍角公式的应用，三角函数的在的求法，考查计算能力19（14分）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点（1）求证：EF平面ABC1D1（2）求直线EF与平面B1FC所成角的正弦值考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）根据线面平行的判断定理即可证明EF平面ABC1D1（2）根据直线和平面所成角的定义即可求直线EF与平面B1FC所成角的正弦值解答：解：（1）证明：（2）在正方体ABCDA1
20、B1C1D1中，连接AD1，BD1，BC1，则ABC1D1为平行四边形，E，F分别为DD1、DB的中点，EFBD1，BD1平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，EF平面ABC1D1（2）连接AB1，AF，则CF平面BB1D1D，CFBD1，BDCB1，BD1平面AB1C，EFBD1，EF平面AB1C，即直线EF与平面B1FC所成的角为90，即直线EF与平面B1FC所成角的正弦值为sin90=1点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断以及直线和平面所成角的求解，要求熟练掌握相应的判断定理20（14分）设椭圆C：过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截
21、线段的中点坐标考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系 专题：计算题分析：（）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程（）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x23x8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案解答：解：（）根据题意，椭圆过点（0，4），将（0，4）代入C的方程得，即b=4又得=；即，a=5C的方程为（）过点（3，0）且斜率为的直线方程为
22、，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入C的方程，得，即x23x8=0，解得，AB的中点坐标，即中点为点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决21（15分）已知函数f（x）=3x22x，数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，Tn是数列bn的前n项和，求Tn考点：数列的求和；数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用递推关系式求数列的通项公式，注意首相的验证（2）利用（1）的结论，
23、进一步对通项进行恒等变换，利用裂项相消法求数列的和解答：解：（1）函数f（x）=3x22x，数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数f（x）的图象上，则：所以得：an=6n5当n=1时，符合通项则：an=6n5（2）由（1）得：an+1=6n+1设bn=，则：，所以：=点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题型22（15分）设点P（x，y）（x0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（，0）的距离比点P到x轴的距离大（1）求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点
24、，且=0，点O到直线l的距离为，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义 专题：计算题分析：（1）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线（2）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y2=2x可求得A（），B（），不符合=0当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（k0，b0），联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky22y+2b=0，由此能够求出直线l的方程解答：解：（1）由定义法，知点P轨迹方程为y2=2x，表示以原点为顶点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线（6分）（2）当直线
25、l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，联立x=与y2=2x可求得A（），B（），不符合=0 （7分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b（k0，b0），联立y=kx+b与y2=2x，化简得ky22y+2b=0 （9分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=0x1x2+y1y2=0+y1y2=0y1y2+4=0+4=0b+2k=0 （11分）又O到直线l距离为得（12分）联立解得k=1，b=2或k=1，b=2，所以直线l的方程为y=x2或y=x+2（13分）点评：本题考查抛物线的方程的求法和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化
