1、1参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数，并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数2普通方程相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0叫做曲线的普通方程1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程中的参数t一定有实际意义()(2)曲线的参数方程一定是唯一的()(3)(1，2)在曲线(t0)上()(4)若(2，a)在曲线(tR)上，则a4()答案(1)参数是联系变量x，y的桥梁，可以是一个有物理意
2、义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数(2)同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样如(tR)和(mR)都表示直线x2y1(3)曲线(t0)，(1，2)不在此曲线上(4)2做一做(1)已知曲线C的参数方程是(t为参数)，则点M(0，1)_(填“在”或“不在”)此曲线上答案在解析把点M(0，1)的坐标代入参数方程得解得t0点M(0，1)在此曲线上(2)已知点M(2，2)在曲线C：(t为参数)上，则其对应的参数t的值为_答案1解析由t2知t1(3)满足条件的t的每一个值所确定的点M(x，y)在怎样的曲线上？上式能否称为该曲线的参数方程？解由得xy3所以点M在直线xy30上而直线x
3、y30上任一点(x，y)可由tx2得到y1t，即因此，该式为直线xy30的参数方程 探究判断点与曲线的位置关系例1已知曲线C的参数方程是(t为参数)(1)判断点M1(0，1)和M2(4，10)与曲线C的位置关系；(2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值解(1)把点M1的坐标代入参数方程得t0即点M1在曲线C上把点M2的坐标代入参数方程得方程组无解即点M2不在曲线C上(2)点M(2，a)在曲线C上，t1，a31212即a的值为2已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上【跟踪训练1】已
4、知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，aR)点M(5，4)在该曲线上，求常数a解点M(5，4)在曲线C上，解得a的值为1探究求曲线的参数方程例2如图，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程解解法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q如图所示，则RtOABRtQBP取OBt，t为参数(0ta)|OA|，|BQ|点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0ta)解法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示取QBP，为参数，则ABO在RtOAB中，|OB|acosasin在RtQBP中
5、，|BQ|acos，|PQ|asin点P在第一象限的轨迹的参数方程为求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图 第二步，选择适当的参数 第三步，建立点的坐标与参数的函数关系式【跟踪训练2】已知弹道曲线的参数方程为(t为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度解(1)令y0，则2tsingt20，解之得t炮弹从发射到落地所需要的时间为(2)y2tsingt2gt2tggg2，当t时，y取最大值即炮弹在运动中达到的最大高度为1曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x，y间的间接联系在具体问题中的参数可能有
6、相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值2求曲线参数方程的主要步骤第一步，建立直角坐标系，设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)第二步，选择适当的参数参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略 1方程(
7、是参数)所表示曲线经过下列点中的()A(1，1) BC D答案C解析将点的坐标代入方程：解的值若有解，则该点在曲线上2若点P(3，b)在曲线(t为参数)上，则b的值为()A5 B3 C5或3 D5或3答案D解析由点P在曲线上，得13，所以t2当t2时，yb5；当t2时，yb33曲线(t为参数)与x轴的交点坐标是()A(1，4) B，0C(1，3) D，0，0答案B解析令y0，得t将t代入x1t2，得x所以曲线与x轴的交点坐标为，04曲线(x1)2y24上的点可以表示为()A(1cos，sin) B(1sin，cos)C(12cos，2sin) D(12cos，2sin)答案D解析可设曲线x的点
8、可表示为(12cos，2sin)5曲线(t为参数)与圆x2y24的交点坐标为_答案(1，)解析由题意得12(sint1)24，(sint1)23，sint1又sint10，sint1，交点坐标为(1，)A级：基础巩固练 一、选择题1下列方程可以作为x轴的参数方程是()A BC D答案D解析x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为02若点P(4，a)在曲线(t为参数)上，则a等于()A4 B4 C8 D1答案B解析根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得3在方程(为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为()A(2，7) BC D(1，0)答案C解析将点的坐标代入参数方程，若能求出，则点在曲线上，经检验，知
9、C满足条件4参数方程(t为参数)所表示的曲线是()A一条射线 B两条射线C一条直线 D两条直线答案B解析因为xt(，22，)，即x2或x2，故是两条射线5曲线(t为参数)与坐标轴的交点是()A； B；C(0，4)；(8，0) D；(8，0)答案B解析当x0时，t，而y12t，即y，得与y轴的交点为；当y0时，t，而x25t，即x，得与x轴的交点为6直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是()A|t1| B2|t1| C|t1| D|t1|答案C解析P1(at1，bt1)，P(a，b)，|P1P|t1|二、填空题7由方程x2y24tx2ty
10、3t240(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为_答案(t为参数)解析由x2y24tx2ty3t240得，(x2t)2(yt)242t2设圆心坐标为(x，y)，则(t为参数)8动点M作等速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1，1)，则点M的参数方程为_答案(t为参数)解析设M(x，y)，则在x轴上的位移为x19t，在y轴上的位移为y112t参数方程为(t为参数)9若曲线(为参数)经过点，则a_答案解析将点代入曲线方程得cos，a2sin2三、解答题10已知动圆x2y22axcos2bysin0(a，b是正常数，且ab，为参数)，求圆心的轨迹
11、方程解设P(x，y)为所求轨迹上任一点由x2y22axcos2bysin0得，(xacos)2(ybsin)2a2cos2b2sin2这就是所求圆心的轨迹方程11求过M(0，1)作椭圆x21的弦的中点的轨迹的参数方程解设过M(0，1)的弦所在的直线方程为ykx1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)，设中点P(x，y)则有x，y，由得x1x2，y1y2(k为参数)这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹的参数方程B级：能力提升练一个大风车的半径为8 m，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2 m(如图所示)，风车翼片的一个端点为P，求：(1)点P的参数方程；(2)点P到地面的距离h(m)与时间t(分钟)之间的函数关系(用弧度制求解)解首先考虑建立直角坐标系，以最低点的切线作为x轴，最低点作为坐标原点，如图建立直角坐标系(1)设P(x，y)的初始位置在最低点，PO1O，那么风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t)，y(t)来刻画在RtO1PQ中，sin，cos所以x(t)8sin，y(t)8cos8而，所以t，所以即点P的参数方程为(t为参数，t0)(2)因为y(t)8cost8，h(t)y(t)2，所以h(t)8cost10(t0)
