1、第二章单元质量评估(一)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1以下命题中,不正确的个数为(C)“|a|b|ab|”是“a,b共线”的充要条件;若ab,则存在唯一的实数,使得ab;若ab0,bc0,则ac;若a,b,c为空间的一个基底,则ab,bc,ca构成空间的另一个基底;|(ab)c|a|b|c|.A2 B3 C4 D5解析:中为充分不必要条件;中b0;显然不成立,只有命题正确2已知向量a,b是平面内两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,则“ca0,且cb0”是“l”的(B)A充分不必要条件 B必要不
2、充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:若l平面,则ca,ca0,cb,cb0;反之,若ab,则ca,cb,并不能保证l平面.3已知A(1,2,1)关于面xOy的对称点为B,而B关于x轴的对称点为C,则等于(B)A(0,4,2) B(0,4,2) C(0,4,0) D(2,0,2)解析:B(1,2,1),C(1,2,1),(0,4,2)4.如图,在四面体ABCD中,已知b,a,c,则(A)Aabc Babc Cabc D.abc解析:()abc,故选A.5已知A(2,5,1),B(2,2,4),C(1,4,1),则与的夹角为(C)A30 B45 C60 D90解析:(0,3,3),(1
3、,1,0),|3,|,3,cos,.,60.6设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足0,0,0,则BCD是(B)A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定解析:在BCD中,()()20,B为锐角,同理,C,D均为锐角,BCD为锐角三角形7空间四边形ABCD中,每条边长及两对角线长都是a,E、F分别是AD、AC的中点,则等于(A)A.a2 B.a2 C.a2 D.a2解析:设a,b,c,则|a|b|c|a,且abbccaa2,而(cb),bc,(cb)(bc)(bc|c|2|b|2bc)(a2a2a2a2)a2.8如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是A
4、D上一点,当BFPE时,AFFD的值为(B)A.12 B11C31 D21解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PAa,则B(1,0,0),E,P(0,0,a)设点F的坐标为(0,y,0),则(1,y,0),BFPE,0,解得y,即点F的坐标为,F为AD的中点,AFFD11,故选B.9有4个命题:若pxayb,则p与a,b共面; 若p与a,b共面,则pxayb;若xy,则P,M,A,B共面; 若P,M,A,B共面,则xy.其中真命题的个数是(B)A1 B2 C3 D4解析:需添加条件a,b不共线;需添加M,A,B不共线10在正三棱柱ABCA1B1C1中,若|AB|2,|AA1|
5、1,则点A到平面A1BC的距离为(B)A. B. C. D.解析:(方法1)以A为原点,AC,AA1分别为y轴、z轴建立坐标系Axyz.则A1(0,0,1),C(0,2,0),B(,1,0)设平面A1BC的法向量n(x,y,z)由得令x1,则n(1,2)设A到平面A1BC的距离为d,则d.(方法2)由|AA1|1,|AB|AC|2,知|A1B|A1C|,又|BC|2,过A1作A1DBC于D,|A1D|2,SA1BC222.设A到平面A1BC的距离为h,由VAA1BCVA1ABC,h214,得h.11在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABD1B1的大小为(C)A30 B60 C120 D
6、150解析:如图,以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz,设正方体的棱长为a,则A(a,a,0),B(a,0,0),D1(0,a,a),B1(a,0,a),(0,a,0),(a,a,a),(0,0,a)设平面ABD1的法向量为n(x,y,z),则n(x,y,z)(0,a,0)ay0,n(x,y,z)(a,a,a)axayax0,a0,y0,xz,令z1,则n(1,0,1),同理可得平面B1BD1的一个法向量为m(1,1,0)cosn,m,而二面角ABD1B1为钝角,故为120.12.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面A1B1C1,BAC90,ABACAA11,D是棱CC1的中点,
7、P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在直线B1P上,则下列结论正确的是(D)A当点Q为线段B1P的中点时,DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ平面A1BDD不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直解析:以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),(1,0,1),(1,2,0),.设平面A1BD的法向量为n(x,y,z),则取z2,则x2,y1,所以平面A1BD的
8、一个法向量为n(2,1,2)假设DQ平面A1BD,且(1,2,0)(,2,0),则,因为也是平面A1BD的法向量,所以n(2,1,2)与(1,12,)共线,于是有成立,但此方程关于无解故不存在点Q,使DQ与平面A1BD垂直,故选D.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填写在题中横线上)13若a(1,1,0),b(1,0,2),则与ab同方向的单位向量是.解析:ab(0,1,2),|ab|,与ab同方向的单位向量是,即14已知空间三点A(0,0,1),B(1,1,1),C(1,2,3),若直线AB上一点M,满足CMAB,则点M的坐标为.解析:设M(x
9、,y,z),又(1,1,0),(x,y,z1),(x1,y2,z3),由题意得x,y,z1,点M的坐标为.15.如图,已知在60的二面角l中,A,B,ACl于C,BDl于D,并且AC1,BD2,AB5,则CD.解析:ACl,BDl,l为60的二面角,60.,2222222.5212242|cos,220212cos12022.|.16在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是a.解析:以D为原点建立空间直角坐标系,如图则A1(a,0,a),A(a,0,0),M,B(a,a,0),D(0,0,0)设n(x,y,z)为平面MBD的法向量,则而,令y
10、1,则n(1,1,2).(a,0,a),则A1到平面MBD的距离d.三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知空间三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设a,b.(1)求a和b的夹角的余弦值;(2)若向量kab与ka2b互相垂直,求k的值解:(1)a(1,1,2)(2,0,2)(1,1,0),b(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)cos,所以a与b的夹角的余弦值为.(2)因为kab(k,k,0)(1,0,2)(k1,k,2),ka2b(k,k,0)(2,0,4)(k2,k,4),所以(k1,k,2)(k2,k,
11、4)(k1)(k2)k280.即2k2k100,所以k或k2.18.(本小题12分)在四棱锥SABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点证明:EF平面SAD.证明:如图,建立空间直角坐标系设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,.取SD的中点G,则(a,0,),EFAG,AG平面SAD,EF平面SAD.EF平面SAD.19(本小题12分)四面体SABC中,SA,SB,SC两两垂直,SBA45,SBC60,M为AB的中点,求SC与平面ABC所成角的正弦值解:建立如图所示的以S为原点,以SA,SB,SC为x轴,y
12、轴,z轴的空间直角坐标系由已知设|a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),S(0,0,0),M(,0).(0,0,a),(a,0,a),(a,a,0),设平面ABC的法向量n(x,y,z),令z1,n(,1),cos,n,即SC与平面ABC夹角的正弦值为.20(本小题12分)如图(1),在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD,ABBC1,AD2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图(2)(1)证明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解:(1)证明:在题图(1)中,因为ABBC1
13、,AD2,E是AD的中点,BAD,所以BEAC,即在题图(2)中,BEOA1,BEOC,又OA1OCO,从而BE平面A1OC.又BC綊DE,所以四边形BCDE是平行四边形,所以CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1BEC的平面角,所以A1OC.如图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为A1BA1EBCED1,BCED,所以B,E,A1,C,得,(,0,0)设平面A1BC的法向量为n1(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量为n2(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD的夹角为.则得取n1(1
14、,1,1);又得取n2(0,1,1)从而cos|cosn1,n2|,即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.21.(本小题12分)如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,ABC,OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点,N为BC的中点(1)证明:直线MN平面OCD;(2)求异面直线AB与MD的夹角的大小;(3)求点B到平面OCD的距离解:作APCD于点P.如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N.(1)证明:,.设平面OCD的法向量为n(x,y,z),则n0,n0
15、,即取z,解得n(0,4,)n(0,4,)0,MN平面OCD.(2)设AB与MD的夹角为.(1,0,0),cos.AB与MD的夹角为.(3)设点B到平面OCD的距离为d,则d为在向量n(0,4,)上的投影的绝对值由(1,0,2),得d,点B到平面OCD的距离为.22(本小题12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AD1,E为CD的中点(1)求证:B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由(3)若二面角AB1EA1的大小为30,求AB的长解:(1)证明:以A为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐
16、标系(如图)设ABa,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故(0,1,1),(a,0,1),.011(1)10,B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP平面B1AE.此时(0,1,z0)设平面B1AE的法向量为n(x,y,z)则n,n,得取x1,得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE,只要n,有az00,解得z0.又DP平面B1AE,存在点P,使得DP平面B1AE,此时AP.(3)连接A1D,B1C,由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1AD1,得AD1A1D.B1CA1D,AD1B1C.又由(1)知B1EAD1,且B1CB1EB1,AD1平面DCB1A1,是平面A1B1E的一个法向量,此时(0,1,1)设与n所成的角为,则cos.二面角AB1EA1的大小为30,|cos|cos30,即.解得a2,即AB的长为2.