1、1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性学 习 目 标核 心 素 养(教师独具)1.理解周期函数的定义(难点)2.知道正弦函数、余弦函数的最小正周期(重点)3.会求函数ysin(x)和ycos(x)的周期(重点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、周期函数的定义1周期函数的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周
2、期3正弦函数、余弦函数的周期：正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.思考1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由提示由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sin x故正弦函数、余弦函数也具有周期性思考2：所有的周期函数都有最小正周期吗？提示并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在
3、最小正周期二、正、余弦函数的周期函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期：一般地，函数yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.思考3：6是函数ysin x(xR)的一个周期吗？提示是1思考辨析(1)周期函数都一定有最小正周期()(2)周期函数的周期只有唯一一个()(3)周期函数的周期可以有无数多个()答案(1)(2)(3)2函数ysin的周期是_2T2.3函数f(x)2cos(4x30)的周期是_T.求三角函数的周期【例1】求下列函数的最小正周期(1)f(x)2sin；(2)f(x)2cos；(3)y|sin x|；(4)f(x)2cos(a0)思路点拨：
4、利用周期函数的定义或直接利用周期公式求解解(1)T6，最小正周期为6.(2)T，最小正周期为.(3)由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为.验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的最小正周期是.(4)T，最小正周期为.利用公式求yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期时，要注意的正负，公式可记为已知f(x)cos的最小正周期为，则_.10由题意可知，10.周期性的应用探究问题1若函数f(x)满足f(xa)(f(x)0，a0)，则f(x)是否是周期函数？若是，求其最小正周期提示：f(x2a)f(xa)af(x)，T2a，即f(
5、x)是周期函数，且最小正周期为2a.2若f(x)满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期函数吗？若是，求其最小正周期提示：f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，f(x)的周期为2a.【例2】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值思路点拨：解f(x)的最小正周期是，fff.f(x)是R上的偶函数，ffsin，f.1(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f的值解f(x)的最小正周期为，fff，f(x)是R上的奇函数，ffsin ，f.2(变结论)本例条件不变，求f的值解f(x)的
6、最小正周期为，fff，f(x)是R上的偶函数，ffsin .f.函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.教师独具1本节课重点是理解三角函数的周期性，难点是求正弦函数、余弦函数的周期本节课重点掌握求三角函数周期的方法2(1)定义法，即利用周期函数的定义求解(2)公式法，对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解.1函数y3sin的最小正周期为()A.B.C D2CT.2若函数ycos(0)的最小正周期是，则_.2T，2.0，2.3若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)2，则f(4)_.2f(4)f(22)f(2)2.4若f(x)是以为周期的奇函数，且f1，求f的值解f(x)是以为周期的奇函数，fffffff，又f1，ff1.
