1、2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析命题热点三 立体几何与空间向量 （理科）高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等.在高考试卷中，一般有12个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.（文科）高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在高考试卷中，一般有12个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题
2、.预测1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于A B2C D6解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于2，高是1，所以其侧面积等于，故选D. 动向解读：三视图是高考的热点内容，几乎每年必考，除了考查对简单几何体的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算，在由三视图中给出的数据得出原几何体的有关数据时，要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质.预测2. 如图4，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，,于点 (1) 求证：； (2) 求直线与平面所成的角的余弦值.(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识, 考查数形结
3、合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明： 平面，平面,.，平面,平面,平面.平面， 3分, ,平面,平面,平面.平面,. 6分（2）解法1：由（1）知，又， 则是的中点,在Rt中,得，在Rt中,得, .设点到平面的距离为，由， 8分得.解得， 10分设直线与平面所成的角为，则， 12分 . 直线与平面所成的角的余弦值为. 14分解法2： 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，. . 8分设平面的一个法向量为，由可得：令，得. 10分设直线与平面所成的角为，则. 12分.直线与平面所成的角的余弦值为. 14分预测3.（理科）正的边长为4，是边上
4、的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论解：法一：（I）如图：在ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF/AB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF （II）ADCD，BDCD，ADB是二面角ACDB的平面角，ADBD，AD平面BCD，取CD的中点M，这时EMAD，EM平面BCD，过M作MNDF于点N，连结EN，则ENDF，MNE是二面角EDFC的平面角.在RtEMN中，EM=1，MN=，tanMNE=，cosMNE=.（）在线段BC上存在点P，使APDE，证
5、明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQCD与点Q，PQ平面ACD 在等边ADE中，DAQ=30AQDEAPDE.法二：（）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，.平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，则 即，所以二面角EDFC的余弦值为；（）设，又，把，所以在线段BC上存在点P使APDE.预测4. 如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。（）求证：；（）求正方形ABCD的边长；（）求直线与平面所成角的正弦值。解：（1） AE是圆柱的母线底
6、面BEFC, 1分又面BEFC 2分又ABCD是正方形 又面ABE 3分又面ABE 4分（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC 四边形EFBC为矩形 BF为圆柱下底面的直径 1分 设正方形ABCD的边长为，则AD=EF=AB=在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE2= AB2，得BE2=2-4 在直角中BF=6，EF=，且BE2+EF2= BF2，的BE2=36-2 2分解得=，即正方形ABCD的边长为 3分（3）解法一：如图以F为原点建立空间直角坐标系,则A（，0，2）,B（，4，0）,E（，0，0）,（，0， 2）,（，4，0）, （，0，0） 1分设面AEF的法向量为（，），
7、则 3分令，则即（，） 4分设直线与平面所成角的大小为，则 6分所以直线与平面所成角的正弦值为。 7分解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系,则A（0，0，2）,B（4，0，0）,F（0，0）,（-4，0）, （0，-2）,（0，0） 1分设面AEF的法向量为（，），则 3分令，则即（，） 4分设直线与平面所成角的大小为，则 6分所以直线与平面所成角的正弦值为。 7分ABCDDEFGA1B1C1D1预测5. 如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点，过、E、F作平面交于G.（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）求正方体被平面所截得的几何体的体积.（）证明：在正方体中，平面平面 平面平
8、面，平面平面ABCDDEFGA1B1C1xyz .-3分 （）解：如图，以D为原点分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则有D1（0，0，2），E（2，1，2），F（0，2，1）， 设平面的法向量为 则由，和，得， 取，得， -6分又平面的法向量为（0，0，2）故； 截面与底面所成二面角的余弦值为. -9分（）解：设所求几何体的体积为V， ， ， ，-11分故V棱台 V=V正方体-V棱台. -14分预测6. 如图，在长方体中，且（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由解：
9、（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而，即（分）（II）由（）及得，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（分）（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即 ，即，解得 所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分 （14分）预测7. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形()求此几何体的体积；()求异面直线与所成角的余弦值；()探究在上是否存在点Q，使得，并说明理由解：（）由该几何体的三视图可知垂直于底面，且，此几何
10、体的体积为； 5分 解法一：（）过点作交于，连接，则或其补角即为异面直线与所成角，在中，；即异面直线与所成角的余弦值为。9分（）在上存在点Q，使得；取中点，过点作于点，则点为所求点；连接、，在和中，以为圆心，为直径的圆与相切，切点为，连接、，可得；，； 14分解法二：（）同上。（）以为原点，以、所在直线为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，得，又异面直线与所成角为锐角，可得异面直线与所成角的余弦值为。（）设存在满足题设的点，其坐标为，则， ；点在上，存在使得，即，化简得， ，代入得，得，；满足题设的点存在，其坐标为。预测8. 一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成，点、在圆的圆周上，其正（主）视
11、图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中，（1）求证：；（2）求二面角的平面角的大小AODEEA侧（左）视图A1D1AD11A11EBCOD图3（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力）方法1：（1）证明：因为，所以，即 又因为，所以平面因为，所以4分（2）解：因为点、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径 设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，AD11A11EBCOD6分解得所以，7分过点作于点，连接，由（1）知，所以平面因为平面，所以所以为二面角的平面角9分由（1
12、）知，平面，平面，所以，即为直角三角形在中，则 由，解得 因为13分所以所以二面角的平面角大小为14分方法2：（1）证明：因为点、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，AD11A11EBCOD2分解得所以，3分以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，5分AD11A11EBCODxyz因为，所以所以9分（2）解：设是平面的法向量，因为，所以即 取，则是平面的一个法向量11分由（1）知，又，所以平面所以是平面的一个法向量12分因为，所以而等于二面角的平面角，所以二面角的平面角大小为14分方法3：（1）证明：因为，
13、所以，即又因为，所以平面因为，所以4分（2）解：因为点、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，AD11A11EBCOD6分解得所以，7分AD11A11EBCODxyz以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，9分设是平面的法向量，则即 取，则是平面的一个法向量11分由（1）知，又，所以平面所以是平面的一个法向量12分因为，所以而等于二面角的平面角，所以二面角的平面角大小为14分动向解读：本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，这是每年高考的必考内容，也是高考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间中两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算.这类考题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
