1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。53.2极大值与极小值必备知识自主学习导思1.什么是函数的极小(大)值点？2.什么是函数的极小(大)值？如何求函数的极值？1极大值 微提醒极大值是个局部的概念，是函数在某点处的值与其附近左右两侧的函数值比较的结果2极小值 微提醒函数的极值不是惟一的，极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值3极值点、极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点(2)极小值、极大值统称为极值(1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
2、提示：不一定例如对于函数f(x)x3，虽有f(0)0，但x0并不是f(x)x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件(2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？提示：极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)一个函数在一个区间的端点不能取得极值()(2)一个函数在给定的区间上一定有极值()(3)函数极大值一定比极小值大()提示：(1).函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义(2).在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点(3).极大值不一定比极小值大，极小值
3、也不一定比极大值小2(教材练习改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点【解析】选C.由导数与函数极值的关系知，当f(x0)0时，在x0的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x)在xx0处取得极大值；若在x0的左侧f(x)0，则f(x)在xx0处取得极小值，设yf(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值3函数f(x)x2cos x在上的极大值点为(
4、)A0 B C D【解析】选B.f(x)12sin x令f(x)0，因为x，所以x，当x时f(x)0，当x时，f(x)0.所以x是f(x)在上的极大值点关键能力合作学习类型一求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算)1函数y2x2x3的极值情况是()A有极大值，没有极小值B有极小值，没有极大值C既无极大值也无极小值D既有极大值又有极小值【解析】选D.y2x3x2，令y0，得x1，x20.当x时，y0；当x0；当x0时，y0.故当x时，函数y有极小值；当x0时，函数y有极大值2(多选题)定义在R上的可导函数yf(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A3是f(x)的一个极小值点B2和1都
5、是f(x)的极大值点Cf(x)的单调递增区间是(3，)Df(x)的单调递减区间是(，3)【解析】选ACD.当x3时，f(x)0，x(3，)时，f(x)0，所以3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是(3，)，单调递减区间是(，3).3(多选题)下列四个函数中，在x0处取得极值的函数是()Ayx3 Byx21Cy|x| Dy2x【解析】选BC.对于A，y3x20，所以yx3单调递增，无极值；对于B，y2x，x0时y0，x0时y0，所以x0为极值点；对于C，根据图象，在(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减，所以C符合；对于D，y2x单调递增，无极值函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义
6、域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然【补偿训练】1.当x1时，三次函数有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29x Byx36x29xCyx36x29x Dyx36x29x【解析】选B.因为三次函数过原点，故可设为yx3bx2cx，所以y3x22bxc.又x1，3是y0的两个根，所以 即所以yx36x29x，又y3x212x93(x1)(x3)，且当x1
7、时，y极大值4，当x3时，y极小值0，满足条件2函数f(x)x33x21的极小值点为_【解析】由f(x)3x26x0，解得x0或x2.列表：x(-,0)0(0,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以当x2时，f(x)取得极小值答案：2类型二求含参数的函数的极值(数学抽象、数学运算)【典例】设函数f(x)x33axb(a0).(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点四步内容理解题意条件:函数f(x)=x3-3ax+b(a0)结论:(1)y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)函
8、数f(x)的单调区间与极值点.思路探求(1)根据导数的几何意义及已知条件建立关于a,b的方程组,从而可求出a,b的值;(2)求单调区间时,要注意对参数a的讨论.四步内容书写表达(1)f(x)3x23a，因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得(2)f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点当a0时，令f(x)0，得x1，x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)单调递增f()单调递减f()单调递增因此，函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)，此时x是
9、f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点题后反思利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值已知函数的极值情况求参数时的注意问题(1)待定系数法：根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证1若函数f(x)xa ln x(aR)，求函数f(x)的极值【解析】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)无极值(2)当a0时，令f(x)0，解得xa.当0xa时，f(
10、x)0；当xa时，f(x)0.所以f(x)在xa处取得极小值，且f(a)aa ln a，无极大值综上可知，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aa ln a，无极大值2(2021徐州高二检测) 已知函数f(x)x3(a2)x22ax(aR).(1)若函数f(x)在x2处取得极小值1，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性【解析】(1)因为f(x)在x2时的极小值是1，所以f(2)1，即f(2)23(a2)224a1，解得a1.当a1时，f(x)x3x22x，则f(x)x23x2(x1)(x2).当x(，1)(2，)时，f(x)0，当x(1，2)时，f(x
11、)0.满足函数f(x)在x2处取得极小值故a1.(2)由f(x)x3(a2)x22ax，得f(x)x2(a2)x2a.令f(x)0，得x2或xa.当a2时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增；当a0，解得x2，由f(x)0，解得ax2时，由f(x)0，解得xa，由f(x)0，解得2xa，所以函数f(x)在(，2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减综上：当a2时，函数f(x)在(，)上单调递增；当a2时，函数f(x)在(，2)，(a，)上单调递增，在(2，a)上单调递减类型三函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)角度1已知极值点求参数值【典例】若函数f(x)x3ax2bxa2在x
12、1处取得极值10，则a_，b_【思路导引】先由x1处取得极值10，即f(1)0且f(1)10，进而即可求出a，b的值【解析】f(x)3x22axb，依题意得即解得或但由于当a3，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在R上单调递增，不可能在x1处取得极值，所以不符合题意，应舍去而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，11.答案：411本例条件不变，试求f(x)的极大值【解析】由典例可知f(x)x34x211x16，f(x)3x28x11，显然，当x时，f(x)0，当x时，f(x)3.故实数m的取值范围是(3，).课堂检测素养达标1函数f(x)的极值点为()A0 B1 C
13、0或1 D1【解析】选D.因为f(x)x3x2x2(x1)，由f(x)0得x0或x1.又当x1时f(x)0，0x1时f(x)0，所以1是f(x)的极小值点又x0时f(x)0，故x0不是函数的极值点2(教材练习改编)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列说法正确的是()Axa是函数yf(x)的极小值点B当xa或xb时，函数f(x)的值为0C函数yf(x)关于点(0，c)对称D函数yf(x)在(b，)上单调递增【解析】选D.结合导数与函数单调性的关系可知，A中，在xa附近，f(x)0，故xa不是极小值点；B中，导数为0时，函数值不一定为0；C中，导函数的对称性与原函数的对称性没有关系
14、；D中，当xb时，f(x)0，函数f(x)单调递增3设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点【解析】选D.令yexxex(1x)ex0，得x1.当x1时，y0；当x1时，y0.故当x1时，y取得极小值4已知函数f(x)(x2mxm)ex2m(mR，e是自然对数的底数)在x0处取得极小值，则m_，这时f(x)的极大值是_【解析】由题意知f(x)x2(2m)x2mex.由f(0)2m0，解得m0.则f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，令f(x)0，解得x0或x2，故函数f(x)的单调递增区间是(，2)，(0，)，单调递减区间是(2，0)，所以函数f(x)在x2处取得极大值，且有f(2)4e2.答案：04e25求函数f(x)的极大值【解析】函数定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x，当0x0，当x时，f(x)0，所以f(x)在x处取得极大值f().关闭Word文档返回原板块- 14 - 版权所有高考资源网
