1、第2课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性1.周期函数(1)周期函数.条件对于函数f(x)，存在一个非零常数T当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)最小正周期.条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)C，对于任意非零常数T，都有f(xT)f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期(2)对于函数yAsin(x)B，yAcos(x)B，可以利用公式T求最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期
2、性和奇偶性函数ysin xycos x周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么这个函数的周期为T.()(2)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，有f(xT)f(x)，那么这个
3、函数的周期为T.()(3)函数ysin x，x(，是奇函数()答案：(1)(2)(3)2下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos 4x解析：对于A，T4，对于B，T，对于C，T8，对于D，T.答案：D3函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：由于xR，且f(x)sin xsin(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.答案：A4下列函数中是偶函数的是()Aysin 2x Bysin xCysin|x| Dysin x1解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(x)sin|x|sin|x|
4、f(x)，ysin|x|是偶函数答案：C类型一求三角函数的周期例1(1)下列函数中，不是周期函数的是()A.y|cos x|Bycos|x|Cy|sin x|Dysin|x|(2)函数y2sin的周期为_【解析】(1)画出ysin|x|的图象，易知ysin|x|不是周期函数(2)方法一因为2sin2sin，即2sin2sin.所以y2sin的最小正周期是6.方法二函数的周期T6.【答案】(1)D(2)6(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断(2)利用周期的定义，需要满足f(xT)f(x) ；也可利用公式T计算周期方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足
5、f(xT)f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数(2)公式法：对形如yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，是常数，且A0)，可利用T来求(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法跟踪训练1求下列函数的周期(1)y2sin 2x；(2)ycos.解析：(1)方法一因为2sin(2x2)2sin 2x，即2sin 2(x)2sin 2x.由周期函数的定义，可知原函数的周期为.方法二T.(2)方法一因为coscos，即coscos.由周期函数的定义，可知原函数的周期为4.方法二T4(1)利用周期的定义求函数周期(2)利用公式T求函数周
6、期类型二正、余弦函数的奇偶性问题例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos；(2)f(x)sin(cos x)【解析】(1)函数的定义域为R.且f(x)cossin 2x.因为f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以函数f(x)cos是奇函数(2)函数的定义域为R.且f(x)sincos(x)sin(cos x)f(x)，所以函数f(x)sin(cos x)是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数跟踪训练2判断下列函数的奇偶性：
7、(1)f(x)|sin x|cos x；(2)f(x).解析：(1)函数的定义域为R，又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以f(x)是偶函数(2)由1cos x0且cos x10，得cos x1，从而x2k，kZ，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数(1)利用定义法判断函数的奇偶性(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x的值以及x的值，最后判断函数的奇偶性类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f的值【解析】因为f(x)的最小正周期
8、是，所以fff，因为f(x)是R上的偶函数，所以ffsin.利用周期性ff f，再利用奇偶性ff，最后代入求值方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，再利用公式求解(2)判断函数yAsin(x)或yAcos(x)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为yAsin x(A0)或yAcos x(A0)其中的一个跟踪训练3若本例中函数的最小正周期变为，其他条件不变，求f的值解析：因为f(x)的最小正周期是，所以ffffsin利用周期性fff代入求值1.4.1-2.2基础巩固(25分钟，60分)一
9、、选择题(每小题5分，共25分)1函数y5cos(3x1)的最小正周期为()A. B3C. D.解析：该函数的最小正周期T.答案：C2函数f(x)sin 2x的奇偶性为()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：因为f(x)的定义域是R，且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，所以函数f(x)为奇函数答案：A3函数f(x)sin是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析：f(x)sinsinsincos 2 010x，f(x)定义域为R，且f(x)cos(2 010x)cos 2 010xf(x)，所以函数f(x)为偶函数答案：B4函数f(
10、x)xsin()A是奇函数 B是非奇非偶函数C是偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)xsinxcos x，所以f(x)(x)cos(x)xcos xf(x)，所以函数f(x)为奇函数答案：A5下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()Aycos|2x| By|sin x|Cysin Dycos解析：ycos|2x|是偶函数；y|sin x|是偶函数；ysincos 2x是偶函数；ycossin 2x是奇函数，且其最小正周期T.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6f(x)sin xcos x是_(填“奇”或“偶”)函数解析：x
11、R时，f(x)sin(x)cos(x)sin xcos xf(x)，即f(x)是奇函数答案：奇7函数ycos的最小正周期是_解析：ycos，T24.答案：48函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)3，则f(8)_.解析：f(x)的周期为2，f(x2)f(x)，f(8)f(232)f(2)3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9求下列函数的最小正周期：(1)ycos；(2)y|sin|.解析：(1)利用公式T，可得函数ycos的最小正周期为T.(2)易知函数ysin的最小正周期为T4，而函数y的图象是由函数ysin的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y的最
12、小正周期为2.10判断下列函数的奇偶性(1)f(x)cos 2x；(2)f(x)sin；(3)f(x)xcos x.解析：(1)因为xR，f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，所以f(x)cos 2x是偶函数(2)因为xR，f(x)sincos，所以f(x)coscosf(x)，所以函数f(x)sin是偶函数(3)因为xR，f(x)xcos(x)xcos xf(x)，所以f(x)xcos x是奇函数能力提升(20分钟，40分)11下列说法中正确的是()A当x时，sinsin x，所以不是f(x)sin x的周期B当x时，sinsin x，所以是f(x)sin x的一个周期C因为sin(x
13、)sin x，所以是ysin x的一个周期D因为cossin x，所以是ycos x的一个周期解析：若T是f(x)的周期，则对于f(x)的定义域内任意x都有f(xT)f(x)成立，B，C，D错误答案：A12若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)则f_.解析：fffsin.答案：13已知函数ycos x|cos x|.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期解析：(1)ycos x|cos x|函数图象如图所示(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2.14已知f(x)是R上的奇函数，且f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；(2)当0x1时，f(x)x，求f(7.5)的值解析：(1)证明：f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数(2)由(1)可知f(x4)f(x)，所以f(7.5)f(3.54)f(3.5)f(0.54)f(0.5)f(0.5)0.5.
