1、3.1.1倾斜角与斜率知识导图学法指导1.倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度2求直线斜率的方法有：定义法、公式法等3用正切函数(ktan)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系并熟记4由两点坐标计算直线的斜率，为求直线的方程奠定基础高考导航1.已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分2过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识相结合，各种题型均有出现，分值46分.知识点一直线的倾斜角1直线l的倾斜角的概念一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直
2、线l向上方向2倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0.因此，直线的倾斜角的取值范围为0，180)1.倾斜角定义中含有三个条件：x轴正方向；直线向上的方向；小于180 的非负角2平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等知识点二直线的斜率1定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率2记法：斜率常用k表示，即ktan_.3斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角009090900不存在k04.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式k.直线都
3、有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90 时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率()(2)倾斜角为135的直线的斜率为1.()(3)若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan.()(4)直线斜率的取值范围是(，)()答案：(1)(2)(3)(4)22019山东省枣庄市校级月考给出下列结论：任意一条直线有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为30；倾斜角为0的直线只有一条，即x轴；若直线的倾斜角为，则sin(0,1)；若是直线l的倾斜角，且sin，则45.其中
4、正确结论的个数是()A1 B2C3 D4解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此正确，错误中当0时，sin0，故错误，中有可能为135，故错误答案：A3已知直线l的倾斜角为30，则直线l的斜率为()A. B.C1 D.解析：由题意可知，直线l的斜率ktan30.答案：A42019泰州校级月考经过点(0,2)和点(3,0)的直线的斜率为()A. B.C D解析：斜率k.答案：C类型一求直线的倾斜角 例1求图中各直线的倾斜角【解析】(1)如图(1)，可知OAB为直线l1的倾斜角易知ABO30，OAB60，即直线l1的倾斜角为60.(2)如
5、图(2)，可知xAB为直线l2的倾斜角，易知OBA45，OAB45，xAB135，即直线l2的倾斜角为135.(3)如图(3)，可知OAC为直线l3的倾斜角，易知ABO60，BAO30，OAC150，即直线l3的倾斜角为150.求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的定义及倾斜角的范围方法归纳根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜角画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论时的分类主要有0、锐角、直角和钝角四类跟踪训练1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为.如果
6、将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A45 B135C135 D当0 135时，倾斜角为45；当135180时，倾斜角为135解析：根据题意，画出图形，如图所示A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意通过图形可知：当0135时，l1的倾斜角为45；当1351，10，0，即0，5m.故m的取值范围为.直接依据斜率公式建立不等式，然后求解不等式，即可得到所求的结果.基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为()A3B2C2 D不存在解析：由题意可得AB的斜率为k2.答案：B2以下两点
7、确定的直线的斜率不存在的是()A(4,1)与(4，1) B(0,1)与(1,0)C(1,4)与(1,4) D(4,1)与(4，1)解析：选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在答案：D32019孝感检测已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A090 B90180C90180 D0180解析：直线倾斜角的取值范围是0180，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.答案：C4直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为()A1 B.C. D解析：tan，0180，30，2
8、60，ktan2.故选B.答案：B5过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4解析：kMN1，m1.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是_解析：当0k时，因为tan00，tan30，所以030.答案：0，30)7已知A(2，3)，B(4,3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为_解析：因为A、B、C三点在同一条直线上，所以有kABkAC，即，解得m12.答案：128若ab0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜
9、角的取值范围为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(2,3)，D(2，1)；(3)P(3,1)，Q(3,10)解析：(1)存在直线AB的斜率kAB1，即tan1，又0180，所以倾斜角45.(2) 存在直线CD的斜率kCD1，即tan1，又0180，所以倾斜角135.(3)不存在因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角90.10如图，直线l2的倾斜角2120，直线l1的倾斜角为1，直线l1l2，求直线l1的斜率解析：由平面几何知识可得2190，所以1290120
10、9030，所以直线l1的斜率为ktan30.能力提升(20分钟，40分)11给出下列说法：若是直线l的倾斜角，则0180；若k是直线的斜率，则kR；任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中说法正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：显然正确，错误答案：C12若经过点P(1a,1a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_解析：因为直线的倾斜角为钝角，所以1a3，即a2.且0，整理得0时，a10.解得2a1.当a20，此时无解综上可得2a1.答案：(2,1)13已知直线l的倾斜角的取值范围为45135，求直线l的斜率的取值范围解析：当90时，l的斜率不存在；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k.当4590时，ktan1，)；当90135时，ktan(，1斜率k(，11，)14求证：A(1，1)，B(2，7)，C(0，3)三点共线解析：A(1，1)，B(2，7)，C(0，3)，kAB2，kAC2.kABkAC.直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，直线AB与直线AC为同一直线故A，B，C三点共线.
