1、第 2 讲空间几何体的表面积和体积面 积体 积圆柱了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)1柱、锥、台和球的侧面积和体积S侧_ 2rhVShr2hS侧12Ch面 积体 积圆锥S 侧rl圆台S 侧(r1r2)l直棱柱S 侧ChVSh正棱锥（续表）V13Sh13r2h13r2l2r2V13(S上S下 S上S下)h13(r21r22r1r2)hV13Sh面 积体 积正棱台球S 球面_（续表）2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和S 侧12(CC)hV13(
2、S 上S 下 S上S下)hV43R34R23等积法的应用(1)等积法：等积法包括等面积法和等体积法(2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值1(2013 年广东)某三棱锥的三视图如图 8-2-1，则该三棱锥的体积是()B图 8-2-1A.16B.13C.23D13已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱PA底面 ABCD，且 PA8，则该四棱锥的体积是_96C 2.设正方体的棱长为2
3、 33，则它的外接球的表面积为()A83 B2C4D.434如图 8-2-2，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为 1，高为 2 的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为_图 8-2-252考点 1 几何体的面积答案：12例 1：(1)(2014 年山东)一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为_解析：设六棱锥的高为 h，体积为 V13Sh2 3，所以136122 3h2 3.解得 h1.设斜高为 h，则 h12 322，则该六棱锥的侧面积为1222612.(2)(2013 年重庆)某几何体的三视图如图 8-2-3，则该几何体的表
4、面积为()图 8-2-3A180B200C220D240解析：几何体为直四棱柱，其高为 10，底面是上底为 2，40.四个侧面的面积和为(2852)10200.所以四棱柱 的表面积为 S40200240.故选 D.答案：D【规律方法】第1小题是求实体的面积；第2小题只是给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面等腰梯形的面积.下底为 8，高为 4 的等腰梯形，所在底面面积为12(28)42【互动探究】1(2013 年陕西)某几何体的三视图如图 8-2-4，则其表面积为_3图 8-2-4解析：综合三视
5、图可知，立体图是一个半径 r1 的半个球体其表面积为124r2r23.考点 2 几何体的体积例 2：(1)(2014 年安徽)一个多面体的三视图如图 8-2-5，则该多面体的体积是()图 8-2-5A.233B.476C6D7解析：由题意，该多面体的直观图是一个正方体 ABCD-ABCD挖去左下角三棱锥 A-EFG 和右上角三棱锥C-EFG.如图 D31，则多面体的体积为 V222图 D31答案：A21312111233.答案：C图 D32(2)(2014 年新课标)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点,则三棱锥 A-B1DC1 的体积为()A3 B
6、.32C1 D.32 解析：如图D32，连接AD，显然AD 面BCC1B1，即AD为三棱锥A-B1DC1的高，11A B DCV 13SB1DC1AD13122 3 31.【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱体、锥体、台体或球体，可直接利用公式求解；若是给出几何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算另外不要忘了锥体体积公式中的13.【互动探究】2(2012 年广东)某几何体的三视图如图 8-2-6，则它的体积为()图 8-2-6A12B45C57D81解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱根据三视图
7、中的数量关系，可得 VV 圆锥V 圆柱1332 523232557.故选 C.答案：C 考点 3 立体几何中的折叠与展开例 3：(2014 年上海)底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC，其表面展开图是三角形 P1P2P3(如图 8-2-7)，求P1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积 V.解：由题意知，在P1P2P3 中，P1AP3A，P1BP2B，P2CP3C，所以 AB，AC，BC 是P1P2P3 的三条 中位线 图 8-2-7因此，P1P2P3 是正三角形，且边长为 4.设顶点 P 在底面 ABC 内的投影为点 O，显然点 O 为正三角形 ABC 的中心，AO23 22122 33，PO
8、222 3322 63，所以 VP-ABC13122 32 632 23.【互动探究】3圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD，求圆柱的侧面上从 A 到 C 的最短距离图 D33解：如图D33，由圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形，可知：圆柱高CD为5 cm，底面半径为2.5 cm，底面周长为 5 cm，则AD为2.5 cm，圆柱侧面上从A到C的最短距离即是矩形ABCD的对角线长为 522.525224(cm)难点突破利用函数的方法解决立体几何问题图 8-2-8例题：如图 8-2-8，等腰三角形 ABC 的底边 AB6 6，高CD3，点 E 是线段 BD 上异于 B，D 的动点，
9、点 F 在边 BC 上，且 EFAB.现沿 EF 将BEF 翻折至PEF，使 PEAE，记 BEx，V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积(1)求 V(x)的表达式；(2)当 x 为何值时，V(x)取得最大值？解：(1)EFAB，BEFPEF90.故 PEEF.又 PEAE，AEEFE，PE平面 ABC，即 PE 为 P-ACFE 的高而 SABC12ABCD126 639 6.易知 EFCD，则BEFBDC.BEBDEFCD，即x3 6EF3.解得 EF 66 x.SBEF12x 66 x 612x2.V(x)139 6 612x2 x 63 x9 112x2(0 x0 时，0 x6，V(
10、x)单调递增；当 V(x)0 时，6x3 6，V(x)单调递减因此，当 x6 时，V(x)取得最大值，且最大值为 12 6.【规律方法】有关立体几何与函数的综合问题，一般是以立体几何为主体，求出有关线段的长度、有关角度的三角函数、有关平面图形或旋转体的面积、几何体的体积，以建立函数关系式，再利用导数或基本不等式求出最值.注意建立函数关系式一定要准确，求函数最值的各种方法都要了解.【互动探究】4如图 8-2-9，在ABC 中，ABC2，ABBC2，P为 AB 上一动点，PDBC，交 AC 于点 D，现将PDA 沿着 PD翻折至PDA，使平面 PDA平面PBCD.(1)当棱锥 A-PBCD 的体积
11、最大时，求 PA 的长；(2)若点 P 为 AB 的中点，E 为 AC的中点，求证：ABDE.图 8-2-9(1)解：设 PAx(0 x2)，则 APPAPDx.APPD，且平面 PDA平面 PBCD，AP平面 PBCD.VA-PBCD13PAS 底面 PBCD13x122212x2 16x(4x2)令 f(x)16x(4x2)，由 f(x)23x220，得 x2 33x2 33，舍去.xf(x)0f(x)极大值x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：0，2 332 332 33，2由上表易知，当 PAx2 33 时，VA-PBCD 取最大值(2)证明：如图 D34，作 AB 的中点 F，连接 EF，FP.由已知，得 EF12BCPD.四边形 PDEF 为平行四边形EDFP.APAPPB，PFAB.ABDE.图 D34
