1、第 8 讲抛物线1了解抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2理解数形结合的思想1抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的_准线标准方程图形焦点2抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p0)y22pxy22pxx22pyx22pyFp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2标准方程准线范围x0，yRx0，yRxR，y0 xR，y0对称轴x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)离心率e1（续表）y22pxy22pxx22pyx22pyxp2xp2yp2yp21(2013 年上海)抛物线 y28x 的准线
2、方程是_p_；准线方程为_x22x1解析：p21，p2.2(2013 年北京)若抛物线 y22px 的焦点坐标为(1,0)，则3(教材改编题)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛)物线的标准方程是(Ax212yCy212xBx212yDy212x4设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则抛物线的方程是()CAy28xCy28xBy24xDy24x解析：p23，p6，x212y.A考点 1 抛物线的标准方程例 1：(1)已知抛物线的焦点在 x 轴上，其上一点 P(3，m)到焦点距离为 5，则抛物线的标准方程为()Ay28xCy24xBy28xDy24x解析：已知抛物线焦点在x轴上，其上有一点
3、为P(3，m)，显然开口向左，设y22px，由点P(3，m)到焦点距离为5，所以点P(3，m)到准线距离也为5，即3p25，p4，故标准方程为y28x.答案：B(2)焦点在直线 x 2y 4 0 上的抛物线的标准方程为_，对应的准线方程为_答案：y216x(或 x28y)x4(或 y2)解析：令x0，得y2；令y0，得x4，抛物线的焦点为(4,0)或(0，2)当焦点为(4,0)时，p2 4，p8，此时抛物线方程为y216x.当焦点为(0，2)时，p22，p4，此时抛物线方程为x28y.所求抛物线方程为y216x或x28y，对应的准线方程分别是x4或y2.【规律方法】第(1)题利用抛物线的定义直
4、接得出 p 的值可以减少运算；第(2)题易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解【互动探究】A1(2014年新课标)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|54x0，则x0()A1 B2 C4 D8解析：根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为x 14，则有|AF|x014，即54x0 x014，x01.考点 2 抛物线的几何性质例 2：已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()解析：由抛物线的定义
5、知，点 P 到该抛物线准线的距离等 于点 P 到其焦点的距离，因此点 P 到点(0,2)的距离与点P 到该 抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 的距离之和显然，当 P，F，(0,2)三点共线时，距离之和取得A.172 B3 C.5D.92 最小值，最小值为0122202 172.答案：A【规律方法】求两个距离和的最小值，当两条直线拉直三点共线时和最小，当直接求解怎么做都不可能三点共线时，联想到抛物线的定义，即点 P 到该抛物线准线的距离等于点P到其焦点的距离，进行转换再求解.【互动探究】2.已知直线 l1:4x3y60 和直线 l2：x1,抛物线 y24x 上
6、一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是()A2B3C.115D.3716A解析：直线l2：x1为抛物线y24x的准线由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y24x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin|406|52.故选A.考点 3 直线与抛物线的位置关系例 3：(2015 年广东惠州三模)已知直线 y2 上有一个动点 Q，过点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴，动点 P 在 l1 上，且满足OPOQ(O 为坐标原点)，记点 P
7、 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线，当点(0,2)到直线 l2 的距离最短时，求直线 l2 的方程解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，2)OPOQ，kOPkOQ1.(或者用向量：OP OQ x22y0，且x0得出)当x0时，得yx2x 1.化简，得x22y；当x0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x0.曲线C的方程为x22y(x0)(2)方法一：直线l2与曲线C相切，直线l2的斜率存在设直线l2的方程为ykxb，由ykxb，x22y，得x22kx2b0.直线l2与曲线C相切，4k28b0，即bk22.直线l2的方程为2k
8、x2yk20.点(0,2)到直线l2的距离d|2b|k21 12 k24k2112k213k21 122 k213k21 3.当且仅当 k213k21，即k 2时，等号成立此时b1.直线l2的方程为 2xy10或 2xy10.方法二：由x22y，得yx.直线l2与曲线C相切，设切点M的坐标为(x1，y1)，其中y112x21，直线l2的方程为yy1x1(xx1)，化简，得x1xy12x210.点(0,2)到直线l2的距离d212x21x211 12 x214x21112x2113x211122x2113x211 3.当且仅当 x2113x211，即x1 2时，等号成立直线l2的方程为 2xy1
9、0或 2xy10.方法三：由x22y，得yx.直线l2与曲线C相切，设切点M的坐标为(x2，y2)，其中y212x220，直线l2的方程为yy2x2(xx2)，化简，得x2xyy20.点(0,2)到直线l2的距离d2y2x221 y222y21122y2132y21122 2y2132y21 3.当且仅当2y21 32y21，即y21时，等号成立，此时x2 2.直线l2的方程为 2xy10或 2xy10.【互动探究】3在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y24x 的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点其中点 A 在 x 轴上方若直线 l 的倾斜角为 60，则OAF 的面积为_3
10、解析：由y24x可求得焦点坐标F(1,0)，直线l的倾斜角为60，直线l的斜率为ktan603.利用点斜式得直线方程为y3 x3，将直线和曲线联立方程组，得y 3x 3，y24xA(3,2 3)，B 13，2 33.因此SOAF12OFyA1212 33.思想与方法 利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题 例题：AB 为过抛物线焦点的动弦，P 为 AB 的中点，A，B，P在准线 l 的射影分别是A1，B1，P1.在以下结论中：FA1FB1；AP1BP1；BP1FB1；AP1FA1.其中,正确的个数为()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：如图 7-8-1(1)，AA1 AF，AA1FAFA
11、1，又 AA1F1F，AA1FA1FF1，则AFA1A1FF1.同理BFB1B1FF1，则A1FB190，故FA1FB1.如图7-8-1(2)，PP1AA1BB12AFBF2AB2，即AP1B为直角三角形，故AP1BP1.如图7-8-1(3)，BB1BF，即BB1F为等腰三角形，PP1PB，PP1BPBP1.又BB1P1P，PP1BB1BP1，则PBP1B1BP1，即BP1为角平分线，故BP1FB1.如图7-8-1(4)，同有AP1FA1.综上所述，都正确故选D.(1)(3)(2)(4)图 7-8-1答案：D【规律方法】利用抛物线的定义“P 到该抛物线准线的距 离等于点 P 到其焦点的距离”能得到多个等腰三角形，然后利用平行线的性质，得到多对相等的角，最后充分利用平面几何的性质解题.
