1、第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示【知识梳理】1.函数与映射的概念 函数映射两集合 A,BA,B是两个_A,B是两个_非空数集 非空集合 函数映射对应关系 f:AB按照某种确定的 对应关系f,对于 集合A中的_一 个数x,在集合B中 都有_的 数f(x)和它对应按照某一个确定的对 应关系f,对于集合A中 的_一个元素x,在 集合B中都有_ 的元素y与之对应任意 唯一确定 任意 唯一确定 函数映射名称那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),xA对应f:AB是一个映射2.函数的三要素 函数由_、_和_三个要素构成,
2、对 函数y=f(x),xA,其中 定义域:自变量x的取值范围;值域:函数值的集合_.定义域 对应法则 值域 f(x)|xA 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有:_、_、_.4.分段函数 若函数在定义域的不同子集上,因_不同而分 别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.解析法 列表法 图象法 对应关系【特别提醒】1.判断函数相同的依据(1)两个函数的定义域相同.(2)对应关系相同.2.分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.3.判断函数图象的常用结论 与x轴垂直的直线和一个
3、函数的图象至多有1个交点.【小题快练】链接教材 练一练 1.(必修1P17例1(1)改编)函数f(x)=的定义域为()A.0,2)B.(2,+)C.0,2)(2,+)D.(-,2)(2,+)x121x2【解析】选C.由题意得 解得x0且x2.x210,x20,2.(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练 时离家距离(y)与行走时间(x)之间的函 数关系的图象.若用黑点表示张大爷家 的位置,则张大爷散步行走的路线可能是()【解析】选D.由y与x的关系知,在中间时间段y值不变,只有D符合题意.感悟考题 试一试 3.(2015陕西高考)设f(x)=则f(f(-2)=()x1x,x0,2,x0,113
4、A.1 B.C.D.422【解析】选C.f(x)=则f(f(-2)=f(2-2)=x1x,x0,2,x0,1111f()114422 4.(2016临沂模拟)函数f(x)=的定义 域是 .【解析】要使函数有意义,需满足 解得-13或2x3,即函数f(x)的定义域为(2,3)(3,4.2x5x60 x3，(2)因为0 x3,所以-1x2-18,所以f(x)的定义域为-1,8.答案:-1,8【规律方法】函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式:构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)抽象函数:若已知函数f(x)的定义域为a,b,
5、其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出;若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.易错提醒:1.不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.2.定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“”连接.【变式训练】1.(2016临川模拟)已知函数y=f(x+1)的定义域是-2,3,则y=f(2x-1)的定义域是()A.-3,7 B.-1,4 C.-5,5 D.0,【解析】选D.由x-2,3得x+1-1,4,由2x-1-1,4,解得x0,.52522.(2016济宁模拟)函数f(x)=的定义域为
6、 .【解析】要使函数有意义,应满足:解得00,得0 x-11,所以1x0,解得x0,解得x-1,所以N=(-1,+),所以MN=(-1,1),A,B错;=1,+),C正确;=(-,-1,D错.RMRN3.函数f(x)=的定义域为_.【解析】要使函数f(x)有意义，必须使 解得 所以函数f(x)的定义域为 答案：2x2xlg(xx)2x2x0,xx0,xx1,1x.21x|x.21x|x2 考向二 求函数的解析式【典例2】(1)已知 则f(x)=.(2)函数f(x)满足方程2f(x)+=2x,xR且x0.则 f(x)=.【解题导引】(1)利用换元法,即设 求解.(2)利用解方程组法,将x换成 求
7、解.f(x1)x2 x，1f()xtx11x【规范解答】(1)设t=+1,则x=(t-1)2(t1),代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1(x1).答案:x2-1(x1)x【一题多解】因为 所以 即f(x)=x2-1(x1).答案：x2-1(x1)22x2 x(x)2 x1 1(x1)1 ，2f(x1)(x1)1(x11)，(2)因为2f(x)+=2x，将x换成 ，则 换成x，得 +f(x)=由消去 得3f(x)=所以f(x)=(xR且x0).答案：(xR且x0)1f()x1x1x12f()x2.x1f()x，24x.x42
8、x33x42x33x【母题变式】1.若本例题(2)条件变为2f(x)+f(-x)=2x,求f(x).【解析】因为2f(x)+f(-x)=2x,将x换成-x得2f(-x)+f(x)=-2x,由消去f(-x),得3f(x)=6x,所以f(x)=2x.2.若本例题(2)条件变为f(x)是一次函数,且2f(x)+f(x+1)=2x,求f(x).【解析】因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=kx+b(k0),由2f(x)+f(x+1)=2x得,2(kx+b)+k(x+1)+b=2x,即3kx+k+3b=2x,因此 解得 所以f(x)=3k2,k3b0,2k,32b.9 22x.39【易错警示】解答本例
9、题(1)会出现以下错误:题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围,从而造成求出的函数定义域扩大而致误.【规律方法】求函数解析式常用的四种方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.(3)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元 法,此时要注意新元的取值范围.(4)解方程组法:已知关于f(x)与 或f(-x)的解析式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通 过解方程组求出f(x).1f()x【变式训练】已
10、知 =lg x，则f(x)=_.【解析】令 得 代入得f(t)=又因为x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)=答案：2f(1)x 21tx 2xt1，2lg t1，2lgx1.x12lg(x1)x1【加固训练】1.已知 则f(x)=_.【解析】因为 且 2或 -2，所以f(x)=x2-2(x2或x-2).答案：x2-2(x2或x-2)2211f(x)xxx，222111f(x)x(x)2xxx，1xx1xx2.已知函数f(x)的定义域为(0，+)，且f(x)=则f(x)=_.【解析】在f(x)=中，用 代替x，得 将 代入f(x)=中，可求得f(x)=答案：12f()x1x，12f()x
11、1x1x 11f()2f x1xx，2f x1f()1xx12f()x1x21x.3321x33考向三 分段函数的应用 【考情快递】命题方向命题视角分段函数的 求值问题主要考查根据解析式求值或已知函数值求参数,属容易题分段函数的方程、不等式问题以分段函数为载体,利用函数的图象和性质考查函数零点、不等式问题【考题例析】命题方向1:分段函数的求值问题【典例3】(2015全国卷)设函数f(x)=f(-2)+f(log212)=()A.3 B.6 C.9 D.12(真题溯源:本题源自A版必修1P45B组T4)2x 11 log(2x),x1,2,x1,【解题导引】直接代入相应解析式求解即可.【规范解答
12、】选C.由已知得f(-2)=1+log24=3,又log2121,所以f(log212)=故f(-2)+f(log212)=9.22log 12 1log 6226 ，命题方向2:分段函数的方程、不等式问题【典例4】(2016泰安模拟)设函数f(x)=若f(-2)=f(0),f(-1)=-3,则方程f(x)=x的解集为 .2xbxc x0,2 x0,【解题导引】由条件f(-2)=f(0)及f(-1)=-3求出f(x)的解析式,但在解方程f(x)=x时应分x0和x0两种情况讨论.【规范解答】当x0时,f(x)=x2+bx+c,因为f(-2)=f(0),f(-1)=-3,所以 解得 故f(x)=当
13、x0时,由f(x)=x,得x2+2x-2=x,解得x=-2或x=1(10,舍去).22(2)2bcc,(1)bc3,b2,c2,2x2x2(x0),2(x0).当x0时,由f(x)=x,得x=2.所以方程f(x)=x的解集为-2,2.答案:-2,2【技法感悟】1.分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值:先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.2.分段函数的方程、不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后
14、将讨论结果并起来.【题组通关】1.(2015山东高考)设函数f(x)=若 则b=()x3xb,x1,2,x1.5f(f()46，731A.1 B.C.D.842【解析】选D.当 即 时，得 当 即 时，解得 舍去.故 注:本题也可以将 逐一代入验算.55f()b162，3b25 b2555f(f()f(b)24b2622，1b2；55f()b162，3b2555f(f()f(b)3(b)b4622，73b82，1b.27 3 1b1,8 4 22.(2015全国卷)已知函数f(x)=且f(a)=-3，则f(6-a)=()x 1222,x1,logx1,x1,7531A.B.C.D.4444【解
15、析】选A.若a1,则2a-1-2=-3,整理得2a-1=-1,由于2x0,所以2a-1=-1无解,若a1,则-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=7.43.(2016德州模拟)已知函数f(x)=若f(-a)+f(a)0,则实数a的取值范围是()A.-1,1 B.-2,0 C.0,2 D.-2,2 22x2x,x0,x2x,x0.【解析】选D.依题意可知 或 解得a-2,2.22a0,(a)2(a)a2a0 22a0,(a)2(a)a2a0,4.(2016青岛模拟)设函数f(x)=则满足f(x)2的x的集合是 .【解析】依题意得 解得0 x1或x1,所以x0.答案:x|x0 1 x22,x1,1 log x,x1,1 x2x1,x1,1 log x2,22 或
