1、章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线3x2y29的焦距为()A B2C2 D4D方程化为标准方程为1，a23，b29，c2a2b212，c2，2c42抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A B C1 DB抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x21的渐近线xy0的距离为，故选B3已知椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为()A B C
2、D2A由题意可得2|F1F2|AF1|F1B|，即4cacac2a，故e4双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A B C DA抛物线的焦点为(1,0)，由题意知2即m，则n1，从而mn5已知F1，F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率e，则椭圆的方程是()A1 B1C1 D1D由椭圆的定义知|AF1|BF1|AB|4a16，a4又e，c2，b242(2)24，椭圆的方程为16过抛物线y28x的焦点，作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的弦长为()A8 B16 C32 D64B抛物线中2p8，
3、p4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45的直线方程为yx2，由得x212x40，则x1x212(x1，x2为直线与抛物线两个交点的横坐标)从而弦长为x1x2p124167已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A1 B1C1 D1D由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得2由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得由解得a2，b，所以双曲线的方程为18已知定点A(2,0)，它与抛物线y2x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()Ay22(x1) By24(x1)Cy2x1 Dy2(x1)D设P(x0，
4、y0)，M(x，y)，则所以由于yx0，所以4y22x2，即y2(x1)9已知是ABC的一个内角，且sin cos ，则方程x2sin y2cos 1表示()A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆Dsin cos ，sin cos 为ABC的一个内角，sin 0，cos cos 0，0，方程x2sin y2cos 1是焦点在y轴上的椭圆10设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A或 B或2C或2 D或A设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲
5、线为椭圆，则由椭圆的定义，得e；若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，得e综上，所求的离心率为或故选A11已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax21(x1) Bx21(x0) Dx21(x1)A设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422，点P的轨迹是以M(3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a1，c3，b28故双曲线的方程是x21(x1)12已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，双
6、曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A1 B1C1 D1D因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2双曲线的渐近线方程为yx，代入椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb所以yb，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆C的方程为1，选D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为_因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与
7、x轴垂直，且点P的坐标为，所以|PF2|，则|PF1|2a|PF2|，14如图所示，已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作ABl于B，|AK|AF|，则AFK的面积为_8由题意知抛物线的焦点为F(2，0)，准线l为x2，K(2,0)，设A(x0，y0)(y00)，过点A作ABl于B，B(2，y0)，|AF|AB|x0(2)x02，|BK|2|AK|2|AB|2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面积为|KF|y0|44815如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上，则抛物线E的方程为
8、_x24y依题意知，|OB|8，BOy30设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012因为点B(4，12)在抛物线E：x22py(p0)上，所以(4)22p12，解得p2故抛物线E的方程为x24y16如图所示，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_1如图，连接AF1，由F2AB是等边三角形，知AF2F130易知AF1F2为直角三角形，则|AF1|F1F2|c，|AF2|c，2a(1)c，从而双曲线的离心率e1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答
9、应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知直线yx4被抛物线y22mx(m0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程解设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由得x22(4m)x160，所以x1x22(4m)，x1x216，所以弦长为2由26解得m1或m9经检验，m1或m9均符合题意所以所求抛物线的标准方程为y22x或y218x18(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求|PF1|PF2|的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值解(1)|PF1|PF2|100(当且仅当|PF1|PF
10、2|时取等号)，|PF1|PF2|的最大值为100(2)S|PF1|PF2|sin 60，|PF1|PF2|，由题意知：3|PF1|PF2|4004c2由得c6，b819(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切(1)求圆C的方程；(2)若椭圆1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2试探究在圆C上是否存在点P，使得PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由解(1)依题意，设圆的方程为(xa)2y216(a0)圆与y轴相切，a4，圆的方程为(x4)2y216(2)椭圆1的离心率为，e，解得b29c4，F1(4,0
11、)，F2(4,0)，F2(4,0)恰为圆心C，()过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2(图略)，则P1F2F1P2F2F190，符合题意；()过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，连接CP3，CP4(图略)，则F1P3F2F1P4F290，符合题意综上，圆C上存在4个点P，使得PF1F2为直角三角形20(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解(1)由题意，得，又点(2，)在C上，所以1，两方程联立，可
12、解得a28，b24所以C的方程为1(2)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb所以直线OM的斜率kOM，所以kOMk故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值21(本小题满分12分)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p所以抛物线
13、C的方程为y2x抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10，则x1x2，x1x2因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点22(本小题满分12分)从椭圆1(ab0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM(1)求椭圆的离心率；(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求F1QF2的取值范围解(1)依题意知F1点坐标为(c,0)，设M点坐标为(c，y)若A点坐标为(a,0)，则B点坐标为(0，b)，则直线AB的斜率k则有，y又点M在椭圆1上，1由得，即椭圆的离心率为(2)设|QF1|m，|QF2|n，F1QF2，则mn2a，|F1F2|2c在F1QF2中，cos 110当且仅当mn时，等号成立，0cos 1，即F1QF2的取值范围是
