1、课时作业(四十)第40讲直线、平面垂直的判定与性质时间：45分钟分值：100分12011青岛一模 已知直线l、m，平面、，且l，m，则是lm的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件2给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是()A和 B和C和 D和3设a，b为两条直线，为两个平面，则下列结论成立的是()A若a，b，且ab，则B若a，b，且ab，
2、则C若a，b，则abD若a，b，则ab42011吉林实验中学模拟 在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45 C60 D9052011宝鸡模拟 设a，b，c是空间不重合的三条直线，是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()A当c时，若c，则B当b时，若b，则C当b，且c是a在内的射影时，若bc，则abD当b，且c时，若c，则bc6四面体ABCD中，ABAC2，DBDC2，BC2AD4，则二面角ABCD的大小是()A30 B45 C60 D13572011全国卷 已知直二面角l，点
3、A，ACl，C为垂足点B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A. B. C. D18若直线l与平面相交，但不垂直，则有()A对任意平面，若l，都有平面平面B存在平面，若l，使得平面平面C对任意平面，若l，都有平面平面D存在平面，若l，使得平面平面9如图K401，在矩形ABCD中，AB4，BC3，E是CD的中点，沿AE将ADE折起，使二面角DAEB为60，则四棱锥DABCE的体积是()图K401A. B.C. D.10结论“过一点作一个平面的垂线只能作一条”是_的(填“正确”或“错误”)11四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形
4、的中心，一个对角面的面积是一个侧面面积的倍，则侧面与底面所成锐二面角等于_122011全国卷 已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_13已知正方体的棱长为1，E，F，G分别是AB，BC，B1C1的中点下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形；P在直线FG上运动时，APDE；Q在直线BC1上运动时，三棱锥AD1QC的体积不变；M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段14(10分)201
5、1江南十校联考 如图K402，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB4，PA3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC平面PDC.(1)求证：AG平面PEC；(2)求AE的长；(3)求二面角EPCA的正弦值图K40215(13分)2011朝阳一模 如图K403，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；(3)求二面角APDC的余弦值图K40316(
6、12分)如图K404，在RtABC中，C30，B90，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，折起后AEF.(1)求证：平面AEF平面BCD；(2)cos为何值时，ABCD.图K404课时作业(四十)【基础热身】1B解析 l，l，又m，故lm.反之当lm时，的位置不确定故选B.2D解析 命题中两条直线可能平行，故得不到两个平面互相平行的结论，命题为假命题；根据两个平面垂直的判定定理，命题是真命题；命题是平面几何里面成立的一个命题，但在空间不成立，如在正方体ABCDA1B1C1D1，ABAD，DD1AD，但AB，DD1并不平行，故命题为假命题；命题中，两平面垂直
7、，如果一个平面内的直线垂直于另一个平面，则这条直线一定和交线垂直，故在一个平面内与交线不垂直的直线一定不会与另一个平面垂直，命题为真命题3D解析 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立正确选项D.4C解析 如图，E为BC中点，设三棱柱的棱长为2，则DE1，
8、AE，则tanADE，故所求的角是60.【能力提升】5B解析 当时，平面内的直线不一定垂直于平面.6B解析 AB2，AD2，BD2，AD2BD2AB2，ADB90，ADBD，同理ADDC.BDCDD，AD平面BCD.如图，取BC的中点E，连接AE，DE，根据二面角的平面角的定义，AED即为所求二面角的平面角，各个线段的长度如图，则AED45.7C解析 ，ACl，AC，则平面ABC，在平面内过D作DEBC，则DE平面ABC，DE即为D到平面ABC的距离，在DBC中，运用等面积法得DE，故选C.8B解析 由于直线l与平面斜交，故不是过直线l的任意平面都和平面垂直，选项A中的结论不正确；只要过直线l
9、上一点作平面的垂线m，则直线l，m确定的平面即与平面垂直，故选项B中的结论是正确的；由于直线l与平面存在公共点，故经过直线l的任意平面都与平面存在公共点，此时平面，不可能平行，故选项C、D中的两个结论都不可能成立正确选项B.9A解析 在平面图形中，RtADE斜边上的高是，故折起后棱锥的高是sin60，棱锥的底面积是9，故其体积是9.10正确解析 理由是如果能够作两条，则根据直线与平面垂直的性质定理，这两条直线平行，但根据已知这两条直线又相交，这是不可能的11.解析 如图，根据，得，即为侧面与底面所成锐二面角的正弦值，故侧面与底面所成的锐二面角为.12.解析 法一：在平面BC1内延长FE与CB的
10、延长线相交于G，连接AG，过B作BH垂直于AG于H，连接EH，则EHAG，故BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角设正方体的棱长为a，可得BE，BGa，所以BHa，则tanBHE.法二：设正方体的边长为3，建立以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴的空间直角坐标系，则A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，则(3,0,1)，(0,3，1)，设平面AFE的法向量为n(x，y，z)，则n，n，即3xz0且3yz0，取z3，则x1，y1，所以n(1,1,3)，又平面ABC的法向量为m(0,0,3)，所以面AEF与面ABC所成的二面角的余弦值为cos，sin，所以tan
11、.13解析 如图，三棱锥A1ABC的四个面均为直角三角形，故命题不正确GFDE，AFDE，得DE平面AFG.又AP平面AFG，故APDE，命题正确由于BC1AD1，可得BC1平面ACD1，即点Q到平面ACD1的距离与其位置无关，故三棱锥QACD1的体积不变，即三棱锥AD1QC的体积不变，命题正确空间到两个点的距离相等的点的轨迹是这两点所在线段的中垂面，这个平面和上底面的交线即为所求的轨迹，这个轨迹是线段命题正确14解答 (1)证明：CDAD，CDPA，ADPAA，CD平面PAD，CDAG，又PDAG，AG平面PCD，作EFPC于F，面PEC面PCD，面PEC面PCDPC，EF平面PCD，EFA
12、G，又AG面PEC，EF面PEC，AG平面PEC.(2)由(1)知A、E、F、G四点共面，又AECD，AE平面PCD，AEGF，四边形AEFG为平行四边形，AEGF，PA3，AB4，PD5，AG，又PA2PGPD，PG，又，GF，AE.(3)过E作EOAC于O点，连接OF，易知EO平面PAC，又EFPC，OFPC，EFO即为二面角EPCA的平面角EOAEsin45，又EFAG，sinEFO.15解答 (1)证明：因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.而CD底面ABCD，所以PACD.在底面ABCD中，因为ABCBAD90
13、，ABBCAD，所以ACCDAD，所以ACCD.又因为PAACA，所以CD平面PAC.(2)在PA上存在中点E，使得BE平面PCD，证明如下：设PD的中点是F，连接BE，EF，FC，则EFAD，且EFAD.又BCAD，BCAD，所以BCEF，且BCEF，所以四边形BEFC为平行四边形，所以BECF.因为BE平面PCD，CF平面PCD，所以BE平面PCD.(3)设G为AD中点，连接CG，则CGAD.又因为平面ABCD平面PAD，所以CG平面PAD.过G作GHPD于H，连接CH，由三垂线定理可知CHPD.所以GHC是二面角APDC的平面角设AD2，则PAABCGDG1，DP.在PAD中，所以GH.
14、所以tanGHC，cosGHC.即二面角APDC的余弦值为.【难点突破】16解答 (1)证明：在RtABC中，C30，D为AC的中点，则ABD是等边三角形，又E是BD的中点，故BDAE，BDEF，折起后，AEEFE，BD面AEF，BD面BCD，面AEF面BCD.(2)过A作AP面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD的延长线相交于Q.令AB1，则ABD是边长为1的等边三角形，若ABCD，又APCD，故CD平面ABP，则BQCD.在RtCBQ中，由于C30，故CBQ60.又CBD30，故EBP30.在RtEBP中，PEBEtan30，又AE，故cosAEP，故coscos(AEP)，故当cos时，ABCD.
