1、【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习 考前三个月 压轴大题突破练4 函数与导数（二 ）理1.已知函数f(x)exa(x1)在xln 2处的切线的斜率为1.(其中e2.718 28)(1)求a的值及f(x)的最小值；(2)当x0时，f(x)mx2恒成立，求m的取值范围；(3)求证： .3.已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立.4.已知函数f(x)ln(xa)，g(x)ln x.(1)已知f(x)在e，)上是单调函数，
2、求a的取值范围；(2)已知m，n，满足nm0，且g()，试比较与的大小；(3)已知a2，是否存在正数k，使得关于x的方程f(x)kg(x)在e，)上有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.答案精析压轴大题突破练41.(1)解f(x)exa，由已知得f(ln 2)2a1，a1，此时f(x)exx1，f(x)ex1，当0ex1，即x0时，f(x)1，即x0时，f(x)0，当x0时，f(x)取得极小值即为最小值，f(x)minf(0)0.(2)解记g(x)exx1mx2，g(x)ex12mx，设h(x)g(x)ex12mx，则h(x)ex2m.当m时，h(x)0(x0)
3、，h(x)h(0)0，g(x)0，g(x)g(0)0，m时满足题意.当m时，令h(x)0，得xln 2m0，当x0，ln 2m)时，h(x)0，h(x)在此区间上是减函数，g(x)h(x)h(0)0，g(x)在此区间上是减函数，g(ln 2m)g(0)0不合题意.综上得m的取值范围为.(3)证明记k(x)，则k(x)，令k(x)0，得x.不难知当x时，k(x)有最大值，且最大值为.， (n2)， ，又11，即0), 由f(x)0，又x0，所以x1.所以f(x)的单调递减区间为(1，).(2)解令g(x)f(x)(1)x2ax1ln xax2(1a)x1，所以g(x)ax(1a).当a0时，因为
4、x0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上是递增函数，又因为g(1)ln 1a12(1a)1a20，所以关于x的不等式f(x)x2ax1不能恒成立.当a0时，g(x)，令g(x)0，得x.所以当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，h(2)ln 20，因为h(a)在a(0，)是减函数.所以当a2时，h(a)0，因此x1x2成立.3.(1)解由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增.当0tt2，即0t时，f(x)minf()；当t0)，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(
5、x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)证明问题等价于证明xln x(x(0，).由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到.从而对一切x(0，)，都有ln x成立.4.解(1)f(x)ln(xa)，f(x).f(x)在e，)上单调，或或当xe时，x2xe2e，e1)，则h(x)10，h(x)1时，2ln xx，令x，得2ln，ln nln m.(3)假设方程f(x)kg(x)存在满足条件的两个实数根x1，x2，且x2x1e，则，即，.x2x1e，1，而，方程不存在满足条件的两根.
