1、单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1双曲线1的焦点到渐近线的距离为(A)A2 B2C. D1解析：双曲线1的焦点为(4,0)或(4,0)渐近线方程为yx或yx.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d2.故选A.2下列曲线中离心率为的是(B)A.1 B.1C.1 D.1解析：选项A中a，b2，c，e排除；选项B中a2，c，则e符合题意；选项C中a2，c，则e不符合题意；选项D中a2，c则e，不符合题意故选B.3以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为(C)A.1B.1C.1或1D以上都不对解析：当顶点为(
2、4,0)时，对于双曲线，a4，c8，b4，则双曲线的标准方程为1；当顶点为(0，3)时，对于双曲线，a3，c6，b3，则双曲线的标准方程为1.4已知椭圆1(ab0)，双曲线1和抛物线y22px(p0)的离心率分别为e1，e2，e3，则(C)Ae1e2e3 Be1e2e3Ce1e2e3 De1e2e3解析：依题意可知e1，e2，e31，e1e21e3.5已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(B)A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中
3、点，|MF2|2.点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由中垂线的性质可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线6已知抛物线y22x，设点A的坐标为(，0)，则抛物线上距点A最近的点P的坐标为(A)A(0,0) B(0,1)C(1,0) D(2,0)解析：设曲线上距点A最近的点P的坐标为(x，y)，则|PA|2(x)2y2(x)22xx2(x)2(x)2.y22x的定义域为0，)，当x0时，|PA|2取得最小值.故此时P的坐标为(0,0)故选A.7已知F1，F2是椭圆的两
4、个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(C)A(0,1) B.C. D.解析：由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，又M总在椭圆内部，则cb，c2b2.又b2a2c2，e2b0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率是(D)A. B.C. D.解析：由于BFx轴，得xBc，yB，设点P(0，t)，由2，得(a，t)2(c，t)即a2c，故.12已知两点M(1，)，N(4， )，给出下列曲线方程：4x2y10; x2y23; y21; y21.在曲线上存在点P满足|MP|NP|的所有曲线方程是(D)A BC D解析：要
5、使这些曲线上存在点P满足|MP|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交MN的中点坐标为( ,0)，MN斜率为.MN的垂直平分线为y2(x)4x2y10与y2(x)，斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知不符合题意；x2y23与y2(x)，联立，消去y得5x212x60，1444560，可知中的曲线与MN的垂直平分线有交点；中的方程与y2(x)，联立，消去y得9x224x160，0可知中的曲线与MN的垂直平分线有交点；中的方程与y2(x)，联立，消去y得7x224x200，0可知中的曲线与MN的垂直平分线有交点，故选D.二、填空题(每小题4分，共16分)13抛物线y24x的焦点到双曲线x
6、21的渐近线的距离是.解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为yx，所以所求距离为.14设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率为或.解析：设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|F1F2|PF2|432，知若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，有e；若圆锥曲线为双曲线，则由双曲线的定义，有e.综上，曲线的离心率为或.15已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以设圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4
7、，)它到中心(0,0)的距离为d.16已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A.若|AB|AB|，则直线AB的斜率为2.解析：设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为.如图，过B作准线l的垂线BB，作AA的垂线BC.|AB|AB|，C是线段AA的中点设|BB|a，则|AA|2a，|AB|AA|BB|3a，coscosBAC，tan2.由抛物线的对称性可知，当点A在第四象限时，tan2.故直线AB的斜率为2.三、解答题(共74分)17(本题满分12分)已知直线yx与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为
8、F1，若2，求椭圆的标准方程解：如图由已知设椭圆的标准方程为1(ab0)，F1(c,0)，F2(c,0)，则M点的横坐标为c.M点的坐标为.，.c2.由已知得c22，c2.又在RtMF1F2中，|F1F2|4，|MF2|，|MF1|3.2a|MF1|MF2|4.a2.b24.所求椭圆的标准方程为1.18(本题满分12分)已知抛物线C：x22py(p0)上一点M(m,4)到焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点M的双曲线1(a0，b0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程解：(1)由抛物线的定义可得45，解得p2，故抛物线C的方程为x24y.(2)把M(m,4)代入x
9、24y，得m4，即M点的坐标为(4,4)又抛物线x24y的焦点为(0,1)，则a1，所以双曲线的方程为y21(b0)，将点M(4,4)代入双曲线的方程，得b2，即b，故双曲线的渐近线方程为yx.19(本题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值解：(1)因为，且c，所以a，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)由题意知P(0，t)(1t1)，由得x，所以圆P的半径为，则
10、有t23(1t2)，解得t，所以点P的坐标是(0，)(3)由(2)知，圆P的方程x2(yt)23(1t2)因为点Q(x，y)在圆P上所以ytt.设tcos，(0，)，则tcossin2sin()当，即t，且x0，y取最大值2.20(本题满分12分)如图，设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点(1)若6，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值解：(1)依题设得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如题图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x
11、2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1.由6知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2.由D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化简得24k225k60，解得k或k.(2)由题设知，|BO|1，|AO|2.由(1)知，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，不妨设y1kx1，y2kx2，由得x20，根据E与F关于原点对称可知y2y10，故四边形AEBF的面积为SSOBESOBFSOAESOAF|OB|(x1)|OB|x2|OA|y2|OA|(y1)|OB|(x2x1)|OA|(y2y1)x22y22.当x22y2时，上式取等号所以S的最大值为2.21(本题满分13分
12、)如图，点P(0，1)是椭圆C1：1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2y24的直径l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程解：(1)由题意得所以椭圆C1的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为ykx1.又圆C2：x2y24，故点O到直线l1的距离d，所以|AB|22.又l2l1，故直线l2的方程为xkyk0.由消去y，整理得(4k2)x28kx0，故x0，所以|PD|
13、.设ABD的面积为S，则S|AB|PD|，所以S，当且仅当k时取等号所以所求直线l1的方程为yx1.22(本题满分13分)如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围解：(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，由消去x得y24sy40，故y1y24，所以B(，)又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为.从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y，所以N(，)设M(m,0)，由A，M，N三点共线得，于是t20，且t21，所以m2.经检验，m2满足题意综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，)
