1、岳阳市2023年1月高一数学期末试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、并集的定义计算可得.【详解】解：由即，解得或，所以或，所以，又，所以.故选：C2. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，.故选：D3. 函数在下列区间中存在零点的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
2、【分析】根据零点存在定理，代入验证，即可得出结果.【详解】因为显然单调递增，又，由零点存在定理可得的零点所在区间为.故选：B4. 已知，则，的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】解：因为，即，所以.故选：A5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象进行如下变换得到（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】B【解析】【分析】先利用辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则判断即可.【详解】解：因为，所以将向左平移个单位得到故选：B6. 已知，则的值为（）A. B. C. 0D
3、. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，所以.故选：B7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为函数为上的增函数，所以，函数在上为增函数，可得，函数在上为增函数，可得，且有，所以，解得.故选：D.8. 已知且恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不
4、等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，则且、均为正数，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，所以，即，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9. 下列函数中满足：，当时，都有的有（）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】依题意只需在上单调递增，再根据基本初等函数的性质及辅助角公式一一判断即可.【详解】解：因为，当时，都有，所以在上单调递增，对于A：，函数在上单调递增，符合题意；对于B：，所以函数上单调递减
5、，在上单调递增，故不符合题意；对于C：，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递减，故不符合题意；对于D：，当时，所以在上单调递增，符合题意.故选：AD10. 下列结论正确的是（）A. 函数是以为最小正周期，且在区间上单调递减函数B. 若是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为C. 函数的单调递减区间为D. 函数的值域为【答案】AC【解析】【分析】根据正弦函数的周期性和单调性可判断A正确；根据正切函数的单调性可判断B，C正确；根据正弦函数的性质可判断D错.【详解】A选项，函数的图象是在的图象基础上，将轴下方的部分翻折到轴上方，因此周期减半，即的最小正周期为；当时，显然单调
6、减；故A正确；B选项，因为是斜三角形的一个内角，所以或；由得，所以或；故B错；C选项，由得，即函数的单调递减区间为，故C正确；D选项，因为，所以，因此，所以，故D错.故选：AC.11. 下列结论中正确的是（）A. 若一元二次不等式的解集是，则的值是B. 若集合，则集合的子集个数为4C. 函数的最小值为D. 函数与函数是同一函数【答案】AB【解析】【分析】对于A：和为方程的两根且，即可得到方程组，解得即可判断A；根据对数函数、指数函数的性质求出集合、，从而求出集合，即可判断B；当时，即可判断C；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.【详解】解：对于A：因为一元二次不等式的解集是，所以和
7、为方程的两根且，所以，解得，所以，故A正确；对于B：，所以，即中含有个元素，则的子集有个，故B正确；对于C：，当时，故C错误；对于D：，令，解得，所以函数的定义域为，函数的定义域为，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D错误；故选：AB12. 已知函数，则下列说法正确的是（）A. ，为奇函数B. ，为偶函数C. ，的值为常数D. ，有最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A、B，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C；对于D，将函数解析式变形为，分和两种情况讨论，即可判断.【详解】解：因为，对于A：若为奇函数，则，即，即，显然方程不恒成立，故不
8、存在，使得为奇函数，故A错误；对于B：若为偶函数，则，即，即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B正确；对于C：当，时为常数函数，故C正确；对于D：的定义域为，所以，当，即时变形为，当时方程有解，当、时方程在上恒成立，当，即时，方程在上有解，所以，即，因为，当、时变形为，解得，当或时，可以求得的两个值，不妨设为和，则，所以解得，所以当时，有最小值，故D正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】求出使解析式有意义的的范围即可.【详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：14. 用一根长度为2023米的铁丝围成
9、一个扇形，则当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为_【答案】2【解析】【分析】设该扇形所在圆的半径为，扇形圆心角为，根据题中条件以及扇形面积公式，表示出扇形面积，结合基本不等式，即可求解.【详解】设该扇形所在圆的半径为，扇形圆心角为，由题意可得，则所以扇形面积为，当且仅当，即时，等号成立，所以当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为2.故答案为：215. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为_【答案】4【解析】【分析】对函数的解析式进行化简，构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可.【详解】解：因为，令，则，所以为奇函数，因此，因此，故答案为：16. 请写出一个函数，使它同时满足下列条件：（1）的最小
10、正周期是4；（2）的最大值为2_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题意知函数振幅为2，符合题意即可.【详解】的最小正周期是4，；的最大值为2，故可取,故答案为：(答案不唯一)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （1）已知实数满足，求的值（2）若，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值；（2）利用指数与对数的换算可得出，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立.【详解】（1）解：，又，所以；（2）证明：设，则且，.18. 已知，求的值【答案】或【解析】【分析】首先根
11、据同角三角函数基本关系求出、，再根据两角差的余弦公式计算可得.【详解】解：，又，当时，；当时，.19. 已知命题：“，不等式成立”是真命题（1）求实数取值的集合；（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）不等式小于零等价于函数值为负值.(2)是的必要不充分条件，找到的包含关系，情况讨论；【小问1详解】令，命题：“，不等式成立”是真命题，则，解得或，即【小问2详解】因为不等式的解集为，且是的必要不充分条件，则是的真子集；当，即时，解集，或，此时；当，即时，解集，满足题设条件；当，即时，解集或，此时或综上可得或20. 已知函数（其中）
12、的最小正周期为（1）求，的单调递增区间；（2）若时，函数有两个零点、，求实数的取值范围【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）根据函数的最小正周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与在上有两个交点，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.【小问1详解】解：函数的最小正周期为且，由，解得，的单调递增区间为和.【小问2详解】解：当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，函数在上有两个零点，即与在上有两个交点，.21. 党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业
13、结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋试
14、求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】（1），（2）的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）【解析】【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出关于的函数解析式；（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【小问1详解】解：由题意可得处理污染项目投放资金百万元，则，【小问2详解】解：由（1）可得，当且仅当，即时等号成立，此时所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）22. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的
15、，使成立，则称函数具有性质（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；（2）若函数的定义域为且且具有性质，求的值；（3）已知，函数的定义域为且具有性质，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围【答案】（1）具有性质，理由见解析（2）15（3）【解析】【分析】（1）取，即可得到，再根据的性质即可判断；（2）首先将函数配成顶点式，即可判断函数的单调性，依题意可得，从而得到，再根据、的取值情况得到方程组，解得即可；（3）根据复合函数的单调性可得在上单调递增，即可得到，从而求出的值，依题意可得对任意的恒成立，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.【小问1详解】解：对于函数的定义域内任意的，取，则，结合的图象可知对内任意的，是唯一存在的，所以函数具有性质.【小问2详解】解：因为，且，所以在上是增函数，又函数具有性质，所以，即，因为，所以且，又，所以，解得，所以【小问3详解】解：因为，所以，且在定义域上单调递增，又因为，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为具有性质，从而，即，所以，解得或（舍去），因为存在实数，使得对任意的，不等式都成立，所以，因为在上单调递增，所以即对任意的恒成立所以或，解得或，综上可得实数的取值范围是
