1、第三章单元质量评估(一)一、选择题(每小题5分，共60分)1已知集合Px|x22x0，Qx|1N BMN CM0，MN.3直线3x2y50把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是(A)A(3,4) B(3，4) C(0，3) D(3,2)解析：当xy0时，3x2y550，所以原点一侧的平面区域对应的不等式是3x2y50，可以验证仅有点(3,4)的坐标满足3x2y50，故选A.4若x0，y0，且1，则xy有(C)A最大值64 B最小值 C最小值64 D最小值解析：x0，y0，1，12.8，当且仅当x4，y16时取等号xy64.5若关于x的不等式mx28mx280的解集是x|7x0.即m
2、4.6函数f(x)x3在(，2上(D)A无最大值，有最小值7 B无最大值，有最小值1C有最大值7，有最小值1 D有最大值1，无最小值解析：x2，f(x)x3(x)32 31，当且仅当x，即x2时，等号成立f(x)有最大值1，无最小值7不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则a的取值范围是(B)A(，2 B(2,2 C(2,2) D(，2)解析：当a20时，a2，不等式显然恒成立当a20时，需解得2a2.综上可知，20，b0，则不等式ab等价于(C)Ax0或0x Bx0或0xCx Dx解析：不等式可化为即所以x.9已知ABCD的三个顶点为A(1,2)，B(3,4)，C(4，2)，
3、点(x，y)在ABCD的内部，则z2x5y的取值范围是(B)A(14,16) B(14,20) C(12,18) D(12,20)解析：如右图，当直线y过(3,4)时，z最小，zmin14，当直线y过(0，4)时，z最大，zmax20，因此z的取值范围是(14,20)10已知点O为直角坐标系原点，P，Q的坐标均满足不等式组则cosPOQ取最小值时的POQ的大小为(D)A. B C2 D.解析：作出不等式组的线性规划区域，如右图，可求得A(1,7)，B(1，)，C(4,3)，由图知POQ为锐角，由余弦函数的单调性知，当POQ最大时，cosPOQ取最小值，即POQAOC时满足条件由距离公式计算，可
4、得OA250，OC225，AC225，由余弦定理得cosAOC，AOC.11已知x，y，z(0，)，且满足x2y3z0，则的最小值为(A)A3 B6 C9 D12解析：由题意知y.所以3(当且仅当x29z2时等号成立)，所以的最小值为3.12设O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)若点N(x，y)满足不等式组则使得取得最大值时点N有(D)A1个 B2个 C3个 D无数个解析：作出可行域为如图所示的ABC，令z2xy.其斜率k2kBC，z2xy与线段BC所在的直线重合时取得最大值满足条件的点N有无数个二、填空题(每小题5分，共20分)13已知a2x2x，bx21，则a，b中较大的是a.解析：因为a
5、bx2x120，所以a，b中较大的是a.14已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为18.解析：log2alog2blog2(ab)log2alog2b1，ab2，且a0，b0.3a9b3a32b222218，当且仅当a2b，即a2，b1时等号成立3a9b的最小值为18.15已知实数x，y满足则目标函数zx2y的最小值是9.解析：x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，平移直线yxz，可知当直线过点A(3,6)时，目标函数zx2y取得最小值9.16设ab2，b0，则当a2时，取得最小值解析：由于ab2，所以，由于b0，|a|0，所以21，因此当a0时，的最小值是1；当a0时，的最小值是1
6、.故的最小值为，此时即a2.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(本小题10分)设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小解：5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy，且z1时取等号18(本小题12分)解不等式组解：解得2x1.不等式组的解集为x|2x0，得x3，函数的定义域为(，1)(3，)log3(x24x3)1且ylog3x为增函数，0x24x33，0x1或3x4，不等式的解集为x|0x1或30,0x0，得x30.xyx23(0x30)，令x2t(2t32)，则由函数f(t)t的性质可知，当2t32时，f(t)f(32)33，x2330，即xy1的解集；(2)若对于任意x1，)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a时，不等式f(x)1为x22x0，即2x24x10，解得x1.所以不等式f(x)1的解集为.(2)若对于任意x1，)，f(x)0恒成立，即x22xa0恒成立，即ax22x恒成立，只需a(x22x)max.因为x22x(x1)21，所以当x1时，x22x取得最大值为3，所以a3.所以实数a的取值范围是(3，)
