1、第十五篇 不等式选讲(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：；.(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：；.(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识能力解读知能解读（一）不等式的基本性质参见第十一编知能解读（二）基本不等式1常数不等式定理1：如果那么，当且仅当时，等号成立定理2（基本不等式）：如果，那么，当且仅当时，等号成立如果都是正数，我们就称为的算术平均，为的几何平均于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均注意：要注意定理1和定理2的条件分别为“”和“”.等号取到的条件
2、，当且仅当时取“=”是指：一方面是当时，取到“=”；另一方面，取到 “=”时，必有要注意它们的变形结论的运用例如：；等.定理3：如果，那么，当且仅当时，等号成立这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.2一般结论(1)对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立(2)设，则.（当且仅当时取等号）.知能解读（三）绝对值三角不等式定理1：如果是实数，则，当且仅当时，等号成立.定理2：如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立说明绝对值三角不等式定理的理解(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大（小）值时(2)该定理可以推广为，也可
3、强化为，它们经常用于含绝对值的不等式的证明(3)当时，；当时，知能解读（四）绝对值不等式的解法1含绝对值的不等式与的解集不等式2和型不等式的解法将看成个整体，；.说明形如，型不等式的简单解法是等价命题法，即(1)当时，或.(2)当时，无解，(3)当时，无解，对任意，恒成立3和型不等式的解法(1)零点分段讨论法设数轴上与对应的点分别是，以为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上将原绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集说明含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不合绝对值符号的不等式（组），一般步骤是：(1)令每个绝对值符
4、号内的代数式为零，求出相应的根；(2)将这些根按从小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式（组），解这些不等式（组），求出解集；(4)取各个不等式（组）的解集的并集求得原不等式的解集.(2)利用的几何意义与分别表示数轴上与对应的点到与对应的点的距离之和与距离之差(3)（构造函数法）数形结合法通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象（有时需要考查函数的单调性）是解题关键知能解读（五）证明不等式的基本方法1比较法（1）作差比较法理论依据：把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小关系；.用作差比较法证明不等式
5、的一般步骤a.作差：将不等式左、右两边的式子看成一个整体进行作差；b.变形：把差式进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的乘积，或变形为一个或几个平方的和等；c.判号：根据已知条件，结合上述变形结果，判断差式的符号；d.结论：肯定所求证的不等式成立(2)作商比较法理论依据：把不等式两边相除，转化为考察所得的商式与1的大小关系.，；，；，.用作商比较法证明不等式的一般步骤a.作商：将不等式左、右两边的式子作商；b.变形：化简商式得到最简形式；c.判断：判断商与1的大小关系，就是判断商是大于1、小于1还是等于1；d.结论：肯定所求证的不等式成立，说明(1)当被证的不等式（或变形后）两边都是
6、正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法，此时要注意说明分母的符号(2)当被证的不等式两端是整式、多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法2综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.3分析法从待证结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立4反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公式、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，
7、从而证明原命题成立.5数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当取第一个值时命题成立；(2)在假设当(，且)时命题成立的前提下，推出当时命题也成立，那么可以断定，这个命题对于不小于的所有正整数都成立6放缩法(1)证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的(2)放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：不等式的传递性.等量加不等量为不等量同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较缩小分母或扩大分子，分式值增大；缩小分子或扩大分母，分式值减小在恒等式中舍掉或加进一些项.应用函数的性质（如单调性、有界性）等进行放缩.应用基本不等式进行放缩利用绝对
8、值不等式的性质说明在不等式的证明中几乎处处存在“放”和“缩”，“放”和“缩”均有一个度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目的条件和结论分析得出的，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩要便于求和知能解读（六）柯西不等式1定理1（二维形式的柯西不等式）若都是实数，则，当且仅当时，等号成立2定理2(柯西不等式的向量形式)设是两个向量,则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.3定理3（二维形式的三角不等式）设，那么.4一般形式的柯西不等式定理：设是实数，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.知能解读（七）排序不等式1.设为两组实数，是数组的任意一个排列，我们把叫做数组
9、和的乱序和，其中按相反顺序相乘所得积的和称为反序和，按相同顺序相乘所得积的和称为顺序和.不等式成立，即反序和乱序和顺序和2.定理（排序不等式，又称排序原理）：设为两组实数，是的任一排列，则，当且仅当或时，反序和等于顺序和解题方法荟萃数学思想方法思想方法（一）分类讨论思想利用作差法或作商法比较两式的大小时，如果作差或作商化简所得式子的符号无法确定，那么就要根据该式的特征进行分类讨论，以确定该式的符号分类讨论思想是一种非常重要的数学思想.点评本题中需对的大小分情况进行讨论思想方法（二）含绝对值不等式的解法1解含有绝对值不等式的基本思路绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，因此如何去掉绝对
10、值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解这类问题的关键.常采取划分区间逐段讨论的方法去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达式的几何意义转化为图象或曲线来解决.2几种主要的基本类型(l)；(2)或；(3)；(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用零点分段讨论法去掉绝对值符号求解(5)含两个或两个以上绝对值符号的不等式也可以用图象法求解.点评这三种方法是解型不等式常用的方法，解法1中关键是找到特殊点，解法2中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，解法3则要准确画出函数图象，并准确找出零点.思想方法（三）放缩法在数学归纳法中的应用1.放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明
11、不等式，即要证，只需先证明，且.2.利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的放大或缩小要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎添或减是放缩法的基本策略.3.不等式的证明方法很多，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清是什么，还要搞清干什么只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径.思想方法(四)用数学归纳法证明的基本技巧用数学归纳法证明不等式关键在第二步，即：已知，求证：.对这个条件不等
12、式的证明，应注意灵活运用上述证明不等式的一般方法，对于较简单的命题，其基本格式为：具体证题过程中要注意以下四点：(1)瞄准当时的递推目标，有目的地放缩、分析；(2)活用起点的位置；(3)先作等价变换；(4)会寻找过渡命题在由时结论成立推证时结论也成立的过程中，如果不会从问题的条件或结论出发，寻找出原题未明确给出的某些结论，且这些结论又正是从时结论成立推证时结论也成立所必需的，证题思路就会受阻.点评(1)证明第一步时，对一定要弄清左边是多少项.(2)在从到时，一定要搞清多了哪些项，少了哪些项，想方设法补成时的形式，用时结论成立证明时结论也成立.思想方法（五）不等式证明的其他方法1换元法(1)将所
13、证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法（又称代换法）.(2)换元法的主要方法及适用范围三角换元法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示时，可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题.注意：根据具体问题，常用的三角换元技巧有：若，则可设；若，则可设；对于，由于，可设，或.2判别式法(1)含有两个或两个以上字母的不等式，在使用公式进行比较无效时，若能整理成一边为零，而另一边为某个字母的二次式，就可考虑使用判别式法(2)判别式法的依据：在二次函数中，当时，
14、则恒成立；，则恒成立.当时，则恒成立；，则恒成立.3构造法构造函数，或几何图形，或方程等，利用函数的单调性、几何图形以及几何中的相关知识、方程的有关理论，使问题顺利地得到解决.解题规律技巧规律技巧（一）绝对值三角不等式定理的应用1.对绝对值三角不等式定理中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时2.对于或型的函数最值的求法利用绝对值三角不等式更简捷、方便，有时需将所求绝对值通过配凑的方法，用已知绝对值表示出来规律技巧(二)食绝对值不等式的恒成立问题不等式成立问题(1)恒成立问题.若在区间上恒成立，则在区间上的最小值大于；若在区间上恒成立，则在区间上的最大值小于.(2)能成立问题若
15、在区间上能成立，则在区间上的最大值大于；若在区间上能成立，则在区间上的最小值小于.(3)恰成立问题若不等式在区间上恰成立，等价于以的解集为；若不等式在区间上恰成立，等价于的解集为.规律技巧（三）绝对值不等式中的参数问题求解绝对值不等式的参数问题，关键是根据条件将不等式等价转化为关于参数的不等式（或等式），进而求其取值范围（或值）.点评知识：绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，待定系数法能力：将不等式分段处理考查简单的分类讨论能力，同时，不等式的求解又考查了运算求解能力试题难度：中.规律技巧（四）柯西不等式的应用1用柯西不等式证明不等式点评凡是所证的不等式中没有等号的，应利用等号成立的条件加以
16、说明2利用柯西不等式求最值(1)应用柯西不等式求最值的关键是构造两组数或两个向量使之符合柯西不等式的形式，另外，还要注意其变形形式的应用(2)柯西不等式和基本不等式在形式上有相似之处也有不同之处，在应用时应根据式子的特点，恰当选择解题途径.3利用柯西不等式求参数的值解决含参变量的柯西不等式的恒成立问题，同解决一般不等式的恒成立问题思路一样，都是分离变量后，求不等式一边的代数式的最大值或最小值.规律技巧（五）排序不等式的应用应用排序不等式需要正确使用“反序和乱序和顺序和”，把问题化归为反序和、乱序和、顺序和问题求解.易混易错辨析易混易错（一）利用基本不等式求最值时，忽略一正、二定、三相等”致误点
17、评此题易出现如下错误：由，认为最小值是，但此时要满足，故，与矛盾.产生这种错误的原因是忽略了等号成立的条件点评根据此题的解法同样可求函数具有最小值，而无最大值.易混易错（二）解绝对值不等式时，忽略对参数的讨论致误点评本题易忽略对的符号进行讨论，导致错误.易混易错（三）利用重要不等式求最值时拼凑不当致误点评本题学生易出现下述错误.错解1：，.错解2：，当且仅当，即时，.易混易错（四）用放缩法证明不等式时放缩不恰当致误点评(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知备件（条件不等式），进行恰当地放缩，任何不恰当的放缩都会导致推证的失败.(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放
18、缩法证明不等式，就是舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的.易错易混（五）用柯西不等式解题时，不能灵活构造符合条件的两组数而使思路受阻致误点评应用柯西不等式需要构造两组数，同样地，应用向量形式的柯西不等式需要构造两个向量通常我们使构造的向量满足待证不等式一例的形式，再证另一侧.易混易错（六）因对不等式中项的含义理解不准确导致项数计算错误点评此题容易犯两个错误：一是由到项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是共有多少项，实际上从到是自然数递增，项数为.易混易错（七）用数学归纳法证题时，第二步未使用假设时结
19、论成立这个重要条件高考命题研究基本不等式应用较广泛，电是高考的热点之一基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，是不等式变形的一个重要依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，要求掌握定理，井会简单应用.高考中可单独命题，也经常与函数结合考查或在实际应用题中综合考查，三种题型均有涉及本节知识在不等式的证明和求最值等问题中，发挥着重要的作用绝对值三角不等武和台绝对值的不等式的解法及应用是高考的一个必考点，在高考中多以选择题的形式出现，有时也在解答题中出现不等式的证明既是研究不等式的一个重要方面，又是集中体现数学中各种思想方法的重要内容近年来，与证明有关的综合题频繁出
20、现，常常与函数、三角、数列等知识综合，考查逻辑推理能力，不等式证明题历来难度大、综合性强.高考热点（一）基本不等式点评知识：重要不等式、基本不等式的应用，能力：考查转化与化归能力及逻辑推理能力试题难度：中.点评知识：利用重要不等式求最值能力：考查了运算求解能力和创新应用意识试题难度：中.点评知识：对数的运算性质和对数函数的单调性、基本不等式能力：通过对数的运算考查运算求解能力，通过数函数的单调性考查函数思想，通过基本不等式的应用考查推理论证能力，试题难度：中高考热点（二）绝对值不等式点评知识：考查绝对值三角不等式在求解最值时的应用.能力：结合绝对值三角不等式的应用，考查应用意识和创新意识，试题
21、难度：中点评知识：绝对值不等式的解法和三角形面积的求法能力：通过去绝对值符号考查分类讨论的思想，通过三角形面积的计算考查运算求解能力试题难度：中.点评知识：绝对值不等式的解法，能力：考查了运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.试题难度：中.点评知识：绝对值不等式的解法.能力：将绝对值不等式化为不等式组，考查了转化与化归思想，借助解不等式考查了运算求解能力.试题难度：易点评知识：本题考查了含绝对值的不等式、一元二次不等式的解法和分段函数的最值问题.能力：本题把恒成立问题转化为函数的最值问题解决，把含绝对值的函数转化为分段函数求最值，考查了函数思想及转化与化归思想的应用，计算过程中考查了运算求解
22、能力试题难度：难.高考热点（三）不等式的证明点评知识：基本不等式能力：利用基本不等式证明，考查推理论证能力.试题难度：中.点评知识：不等式的证明和充要条件的判定.能力：通过不等式的证明，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法试题难度：中.点评知识：用作差比较法证明不等式.能力：考查推理论证能力.试题难度：易.高考热点（四）柯西不等式与排序不等式点评知识：柯西不等式能力：通过不等式变形与证明考查运算求解能力和推理论证能力试题难度：中点评知识：绝对值不等式、柯西不等式，能力：根据已知不等式的解集列关于的方程组考查方程思想和运算求解能力，构造柯西不等式求解考查转化与化归思想和应用意识试题难度：中点评
23、知识：排序不等式、特值法比较大小.能力：通过比较大小，考查利用不等关系解决实际问题的能力.试题难度：易.附录常用公式定理1绝对值三角不等式(1)性质1：；(2)性质2：；(3)性质3：.2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式与的解集不等式(2)和型不等式的解法；或.(3)和型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用零点分段讨论法求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3常用不等式(1)定理：如果，那么，当且仅当时，等号成立.(2)定理（基本不等式）：如果，那么，当且仅当时，等号成立.也可以表述为：两个正数的算术平均不
24、小于（即大于或等于）它们的几何平均.(3)利用基本不等式求最值对两个正实数：若它们的和是定值，则当且仅当时，它们的积取得最大值；若它们的积是定值，则当且仅当时，它们的和取得最小值.4三个正数的算术几何平均不等式(1)定理：如果，那么，当且仅当时，等号成立.即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立.5证明不等式的方法(1)(2)分析法(3)综合法(4)反证法(5)数学归纳法(6)放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的6柯西不等式(1)若都是实数，则，当且仅当时，等号成立.(2)设是实数，则，当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立7.排序不等式中反序和乱序和顺序和
