1、函数值域的求法函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域【例1】求下列函数的值域：(1)y；(2)y；(3)f(x)x.思路点拨：(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解解(1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x0，即x0.所以函数y的定义域为0，)，因此0，所以函数y的值
2、域为0，)(2)法一(分离系数法)：y2.而0，所以22，因此函数y的值域为(，2)(2，)法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x30，即x3，所以函数y的定义域为xR|x3又由y，得x.而分式的分母不能为零，所以2y0，即y2.所以函数y的值域为(，2)(2，)(3)令t，则t0，xt2，yt2t.t0，y，函数f(x)x的值域为.常见的求值域的方法(1)直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数f(x)5x1 (x1，2，3，4)的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x)的值域为6，11，16，21.(2)
3、分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.(3)反解法：例如求函数y的值域.由y解出x得x.由x4，得4，即0，y或y1.故函数y的值域为(，1).(4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.(5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.1(1)函数f(x)则f(x)的最大值与最小值分别为_、_.(2)已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大
4、值为_(1)106(2)1(1)f(x)在1,2和1,1)上分别递增，而且在1,2上，f(x)minf(1)8.在1,1上，f(x)f(1)178，f(x)在1,2上单调递增，f(x)maxf(2)22610，f(x)minf(1)176.(2)f(x)x24xa(x2)2a4，对称轴为x2，在0,1上，f(x)单调递增，f(x)minf(0)a2，f(x)maxf(1)14a431.函数性质的应用函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研
5、究函数的图象是难点【例2】函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f .(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t1)f(t)0.思路点拨：(1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t的不等式求解解(1)由题意，得即f(x)，经检验，符合题意(2)证明：任取x1，x2(1,1)且x1x2，则f(x2)f(x1).1x1x20,1x0,1x0.又1x1x20，f(x2)f(x1)0，故f(x2)f(x1)，f(x)在(1,1)上是增函数(3)原不等式可化为f(t1)f(t)f(t)f(
6、x)在(1,1)上是增函数，1t1t1，解得0t0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)在区间3,3上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由解(1)令xy0，则有f(00)f(0)f(0)，即f(0)2f(0)，所以f(0)0.令yx，则有0f(0)f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)任取3x10.由题意，得f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在3,3上为减函数所以函数f(x)在3,3上有最值，最大值为f(3)f(3)3f(1)6，最小值为f(3)f(3)3f(1)6.函数的图象与数形结合思想函数的图象是函数的重要表示方法
7、，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出这体现了数形结合所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等【例3】(1)若函数yf(x)与yg(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)g(x)的图象可能是_(填序号)(2)若方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是_思路点拨：(1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可(1)(2)1m0，g(x)0，所以f(x)g(x)0，只有
8、符合(2)令f(x)x24|x|5，则f(x)作出f(x)的图象，如图所示由图象可知，当1m5时，f(x)的图象与ym有4个交点，即方程x24|x|5m有4个互不相等的实数根作函数图象的方法方法一：描点法求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图方法二：变换法熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转3对于任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是_2首先应理解题意，“函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f(x)表示x3，x，x24x3中最大的一个如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
