1、专题15 导数大题专项练习一、巩固基础知识1已知函数。(1)求的极值；(2)求在区间上的最小值。【解析】(1)，令，则或，当或时，故在区间或上单调递增，当时，故在区间上单调递减，故函数的极大值为，极小值是；(2)，由(1)知，比较可知四个数中的最小值为在区间上的最小值，为。2函数的图像在点处的切线斜率为。(1)求、的值；(2)证明：对任意正实数恒成立。【解析】(1)解：由题设可知的定义域为，在点处切线的斜率为，则，(2)证明：由(1)知()，设，则，当时，当时，在上单调递增，在上单调递减。在处有最大值，即，原命题得证。3设函数。(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间与极值；(3)若方程
2、有实数解，求实数的范围。【解析】(1)的定义域为，又，曲线在处的切线方程为，即；(2)，令，得，列表如下：极小值的单调递减区间是，单调递增区间是，；(3)在上左减右增，且在处取极小值，无极大值，则，又可化简为，可看作与图象交点，则。4已知函数。(1)若在区间上是增函数，求实数的取值范围；(2)若是的极值点，求在上的最大值和最小值。【解析】(1)，在区间上是增函数，则在恒成立，即在恒成立，在为增函数，则，；(2)，是的极值点，解得，或，列表如下：增函数减函数增函数，。二、扩展思维视野5已知函数()。(1)若，求在上的最小值和最大值；(2)若在上是增函数，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为
3、，由得，解得，令，即，解得或，极小值在上的最小值是，最大值是；(2)由题意得：在区间上恒成立，又当时，是增函数，其最小值为，即实数的取值范围是。6已知函数()。(1)若，函数在区间上的最小值为，求的值；(2)设，若函数有极值，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，若，则恒成立，在上单调递增，函数在区间上的最小值为，则；(2)由题意得：()，的定义域为，则，而，当且仅当时取等号，分两种情况：当时，对任意，恒成立，此时无极值，当时，令，方程有两根，有两个根，当时，在区间上单调递减，当或时，在区间和上单调递增，从而在处取极大值，在处取极小值，综上，若函数有极值，则实数的取值范围为。7设函数()
4、在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线。(1)求、的值；(2)若函数，讨论的单调性。【解析】(1)的定义域为，又在处取极值，故，由曲线在点处的切线垂直于直线相互垂直可知，该切线斜率为，即，有，；(2)由(1)知，()，的定义域为，()，令，则，当即时，对都有恒成立，则在内单调递增，当即时，方程有两个不同的实根：，则在和上单调递增，在是上单调递减。三、提升综合素质8已知。(1)求函数在区间上的值域；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，令得，则在区间上单调递减，令得，则在区间上单调递增，而，则，故在区间上的值域为；(2)，即，即，令()，则只需证明，则，对于时，恒成
5、立，在上单调递减，当时，在上单调递减，则，满足，当时，则，则存在使得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增减，又，不满足，综上可得，故实数的取值范围为。9已知函数()。(1)设函数，求函数的单调区间；(2)若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围。【解析】(1)，定义域为，当，即时，令，；令，当，即时，恒成立，综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；(2)由题意可知在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值，由第(1)问可知：当，即时，在上单调递减，又，当，即时，在上单调递增，当，即时，此时不存在使成立，综上可得所求的范围是：或。10已知函数。(1)若函数在处的切线的斜率为，求的值；(2)若，求的取值范围。【解析】(1)的定义域为，则，解得；(2)由可得：，令，则的定义域为，令，的定义域为，恒成立，在上单调递增，又，且， 存在，使得，即，在上单调递减，在上单调递增，为的极小值，也是最小值，令，两边同时取对数得：，又由得，则，则，即，即，故，解得，的取值范围是。
