1、单元综合测试三(本册测试题)时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1圆x2y22x4y0的圆心坐标和半径分别是(D)A(1，2)，5 B(1，2)，C(1,2)，5 D(1,2)，解析：圆的方程化为标准方程为(x1)2(y2)25，其圆心是(1,2)，半径为.2点A在z轴上，它到点(2，1)的距离是，则点A的坐标是(C)A(0,0，1) B(0,1,1)C(0,0,1) D(0,0,13)解析：由点A在z轴上，可设A(0,0，z)，点A到点(2，1)的距离是，(20)2(0)2(1z)213，解得z1，故A的坐标为(0,0,1)故选C.3圆台侧
2、面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍求两底面的面积之和是(C)A3a2 B4a2C5a2 D6a2解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，ASO30，在RtSAO中，sin30，SA2r.在RtSAO中，sin30，SA4r.SASAAA，即4r2r2a，ra.SS1S2r2(2r)25r25a2.4一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积是(B)A.B4C12 D.解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，有一侧棱垂直于底面，该侧棱长为2，因此外接球
3、的直径为2，r，Vr34.5若点P(2，1)为圆C(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是(A)Axy30 B2xy30Cxy10 D2xy50解析：圆心为C(1,0)，则ABCP，kCP1，kAB1，直线AB的方程是y1x2，即xy30.6若直线l过点A(3,4)，且点B(3,2)到直线l的距离最远，则直线l的方程为(D)A3xy50 B3xy50C3xy130 D3xy130解析：当lAB时，符合要求kAB，l的斜率为3，直线l的方程为y43(x3)，即3xy130.7点(a1,2a)在圆(x1)2y21的内部，则a的取值范围为(B)A|a| B|a|C|a|1 Da解析：点(
4、a1,2a)在圆内部，(a11)2(2a)21，|a|0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(D)A. B.C2 D2解析：圆心C(0,1)到l的距离d .四边形面积的最小值为2(1)2，k24，即k2.又k0，k2.10如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是(A)A线段B1CB线段BC1CBB1中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段解析：DD1平面ABCD，DD1AC，又ACBD，BD平面BB1D1D，D1D平面BB1
5、D1D，AC平面BDD1，ACBD1.同理BD1B1C.又B1CACC，B1C平面AB1C，AC平面AB1C，BD1平面AB1C.而APBD1，AP平面AB1C.又P平面BB1C1C，点P的轨迹为平面AB1C与平面BB1C1C的交线B1C.故选A.第卷(非选择题，共100分)二、填空题(每小题5分，共25分)11顺次连接A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y轴旋转一周，所得旋转体的体积是.解析：所得旋转体为上底、下底面半径分别为3,5，高为4的圆台，去掉一个半径为1，高为4的圆柱V台(925)4，V柱4，则VV台V柱.12经过两条直线2xy20和3x4y20的
6、交点，且垂直于直线3x2y40的直线方程为2x3y20.解析：由方程组得交点A(2,2)因为所求直线垂直于直线3x2y40，故所求直线的斜率k.由点斜式得所求直线方程为y2(x2)，即2x3y20.13在ABC中，高AD与BE所在直线的方程分别是x5y30和xy10，AB边所在直线的方程是x3y10，则ABC的顶点坐标分别是A(2,1)，B(1,0)，C(2,5)解析：高AD与边AB所在直线的交点即为顶点A，联立得A(2,1)高BE与边AB所在直线的交点即为顶点B，联立得B(1,0)因为直线AC过点A，且与直线BE垂直，所以直线AC的方程为y1x2，即yx3，同理，直线BC的方程为y5(x1)
7、，联立两直线方程得C(2,5)14已知在矩形ABCD中，AB3，BCa，若PA平面ABCD，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的点E有两个时，a的取值范围是(6，)解析：如图所示，连接AE，要使PEDE，由于DEPA，则需DEAE.在矩形ABCD中，AED90，满足条件的E点有两个，以AD为直径的圆与BC相交圆心到直线BC的距离dR，即36.15从原点O引圆(xm)2(y2)2m21的切线ykx，当m变化时，切点P的轨迹方程是x2y23.解析：设切点P(x，y)，圆心C(m,2)，则在直角三角形OPC中，由勾股定理可得m24m21x2y2，切点P的轨迹方程为x2y23.三、解答题(本题共
8、6小题，共75分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16(本题满分12分)求倾斜角为直线yx1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程(1)经过点(4,1)；(2)在y轴上的截距为10.解：因为直线yx1的斜率为，所以该直线的倾斜角为120.由题意知所求直线的倾斜角为60，斜率k.(1)因为直线过点(4,1)，所以由直线的点斜式方程得y1(x4)，即xy140.(2)因为直线在y轴上的截距为10，所以由直线的斜截式方程得yx10.即xy100.17(本题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等
9、腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由题设可知，该几何体是一个高h4的四棱锥，其底面是长和宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图所示(1)该几何体的体积VS底h68464.(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为h15，左、右侧面底边上的高为h24，故该几何体的侧面积为S24024.18(本题满分12分)已知直线l经过点P(3,4)(1)若直线l的倾斜角为(90)，且直线l经过另外一点(，)，求此时直线l的方程；(2)若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程解：(1
10、)直线l的斜率为ktan，解得tan.所以直线l的斜率为，直线l的方程为yx.(2)由题意知，直线l的斜率必存在，且不为零，则设l：y4k(x3)，分别令x，y等于零得到x轴上的截距为3，y轴上的截距为3k4，由|3|3k4|，得33k4，解得k1，或k；或者33k4，解得k1或k；经检验k不合题意，舍去综上k的值为1，直线l的方程为yx1或yx7.19(本题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC1，PC2，PDCD2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明：平面PDC平面ABCD.解：(1)在四棱锥PABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以A
11、DBC且ADBC，又因为ADPD，故PAD为异面直线PA与BC所成的角在RtPDA中，tanPAD2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPDD，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC平面ABCD.20(本题满分13分)如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线yx分别相切于C，D两点(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度解：(1)点M的坐标为(，1)，M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，
12、则圆M的方程为(x)2(y1)21.设圆N的半径为r，连接MA，NC，OM，如图，则MAx轴，NCx轴，由题意知：M，N点都在COD的角平分线上，O，M，N三点共线由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3，则OC3，则圆N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y(x)，即xy0，圆心N到该直线的距离d，则弦长为2.21(本题满分14分)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)求证：PA平面MBD；(3)试问：
13、在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解：(1)Q为AD的中点，PAD为正三角形，PQAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ平面ABCD.AD4，PQ2，四棱锥PABCD的体积VS正方形ABCDPQ422.(2)证明：连接AC交BD于点O，连接MO，如图所示由正方形ABCD知O为AC的中点M为PC的中点，MOPA.MO平面MBD，PA平面MBD，PA平面MBD.(3)存在点N，当N为AB的中点时，平面PQB平面PNC.证明如下：如图，连接BQ，CN，PN.四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，BQNC.由(1)知，PQ平面ABCD，NC平面ABCD，PQNC.又BQPQQ，NC平面PQB.NC平面PCN，平面PCN平面PQB.
