1、13 函数的基本性质13.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性内 容 标 准学 科 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性2会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性3会求一些具体函数的单调区间.发展逻辑推理应用直观想象提升数学运算01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点 函数的单调性预习教材P2729，思考并完成以下问题观察下列函数图象：(1)从图象上看，自变量 x 增大时，函数 f(x)的值如何变化？(2)甲、乙图中，若 x1x2，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系确定吗？在丙图中，大
2、小能确定吗？提示：甲图中，函数 f(x)的值随 x 增大而增大乙图中，函数 f(x)的值随 x 增大而减小丙图中，在 y 轴左侧函数 f(x)的值随 x 的增大而减小；在 y 轴右侧，函数 f(x)的值随 x 的增大而增大提示：确定不能确定(3)在丙图中，若 x1x2，f(x1)f(x2)，则自变量 x 属于哪个区间？(4)在函数 y1x的图象中，在(，0)上函数是减小的，在(0，)上函数也是减小的，函数在它的定义域上是减小的吗？提示：0，)提示：不是 知识梳理 1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性2函数单调性与单调区间如果函数 yf(x)在区间 D 上是，那么就说函数 yf(x)在这一
3、区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫作 yf(x)的思考：增(减)函数定义中的 x1，x2 有什么特征？提示：定义中的 x1，x2 有以下 3 个特征(1)任意性，即“任意取 x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定 x1x2；(3)属于同一个单调区间增函数或是减函数单调区间自我检测1函数 f(x)的图象如图所示，则()A函数 f(x)在1,2上是增函数B函数 f(x)在1,2上是减函数C函数 f(x)在1,4上是减函数D函数 f(x)在2,4上是增函数解析：在区间1,2上，函数 f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间1,2上，f(x)随着
4、x 的增大而增大，为增函数答案：A2函数 yx2 的单调减区间是()A0，)B(，0C(，0)D(，)解析：画出 yx2 在 R 上的图象，可知函数在0，)上递减答案：A3若函数 f(x)在 R 上是减函数，且 f(a)f(b)，则 a 与 b 的大小关系是_解析：由减函数的定义知 ab.答案：ab探究一 利用图象确定函数的单调区间阅读教材 P29 例 1如图是定义在区间5,5上的函数 yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？题型：由图象确定单调性例 1 作出函数 yx22|x|3 的图象并指出它的单调区间解析 根据绝对值的意义，yx22|x|3x2
5、2x3，xx22x3，x0 x124，xx124，x0作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(，1，0,1上是增函数；函数在区间(1,0)，(1，)上是减函数方法技巧 由图象确定函数单调性的方法及注意事项(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降，则函数递减(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接跟踪探究 1.求 f(x)|x22x3|的单调区间解析：令 g(x)x22x3(x1)24.先作出 g(x)的图象，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分，把它在 x 轴下方的图象翻到 x轴上方就得到 f(x)|x22x3|的图
6、象，如图所示由图象易得：函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1探究二 函数单调性的判定与证明阅读教材 P29 例 2物理学中的玻意耳定律 pkV(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减小时，压强 p 将增大试用函数的单调性证明之题型：证明函数单调性方法步骤：第 1 步，取值；第 2 步，作差；第 3 步，定号；第 4 步，结论例 2 证明函数 f(x)x4x在(2，)上是增函数证明 任取 x1，x2(2，)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1 4x1x2 4x2(x1x2)4x2x1x1x2(x1x2)x1x24x1x2.2x1x2，x1x2
7、4，x1x240，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)函数 f(x)x4x在(2，)上是增函数方法技巧 定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪探究 2.证明函数 f(x)x1x在(0,1)上是减函数.证明：设 x1，x2 是区间(0,1)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1 1x1 x2 1x2(x1x2)1x1 1x2(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)1 1x1x2 x1x21x1x2x1x20 x1x21，x1x20,0 x1x21，则1x1x20，即 f(x1)f(x2)，f(x)x1x在(0,1)上是减函数探究三 函数单调性的应用例 3 已知
8、函数 f(x)x2axb.(1)若函数 f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求 f(x)的解析式(2)若函数 f(x)在区间1,2上不单调，求实数 a 的取值范围.解析(1)f(x)x2axb 过点(1,4)和(2,5)，1ab4，42ab5，解得a2，b5，f(x)x22x5.(2)由 f(x)在区间1,2上不单调可知 1a22，即4ag(5x6)”，求实数 x 的取值范围解析：由 f(x)在区间1,2上单调可知a21 或a22，即 a4 或 a2.解析：g(x)在(，)上是增函数，且 g(2x3)g(5x6)，2x35x6，即 x3.所以实数 x 的取值范围为(，3)方法技巧 函数单
9、调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的课后小结1证明函数的单调性时要注意以下几点(1)用定义证明函数单调性时，易忽视 x1，x2 的任意性(2)要证明 f(x)在a，b上不是单调函数，只要举出一个反例即可(3)函数单调性的证明现在只能用定义证明2判断函数的单调性可用定义法、直接法、图象法3已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如 f(x)在 D 上递增，则 f(x1)f(x2)x1x2.二
10、是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题素养培优1忽视函数定义域致误已知 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，则实数 a 的取值范围是_易错分析：解答本题易忽视函数的定义域对 1a 和 2a1 取值范围的限制，导致扩大实数 a 的取值范围致误自我纠正：由题意可知11a1，12a11，解得 0a1.又 f(x)在(1,1)上是减函数，且 f(1a)f(2a1)，1a2a1，即 a23.由可知，0a23，即所求 a 的取值范围是 0a23.答案：0a232对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误若函数 f(x)x22(a1)x2 的单调递减区间是(，4，求实数 a 的取值范围易错分析：函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x1a，由于函数在区间(，4上单调递减，因此 1a4，解得 a3.自我纠正：函数 f(x)的图象的对称轴为直线 x1a.因为函数的单调递减区间是(，4，所以 1a4，解得 a3.故实数 a 的取值范围是304课时 跟踪训练
