1、13两条直线的位置关系14两条直线的交点填一填1.两直线平行、垂直与斜率的关系两条不重合直线l1与l2的倾斜角分别为1，2，当斜率存在时，设直线方程为l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(b1b2)，则位置关系平行垂直斜率存在斜率不存在斜率存在一条斜率不存在前提条件12901290|21|9010290对应关系l1l2k1k2l1l2两直线斜率都不存在l1l2k1k21l1斜率为0，l2斜率不存在图示2.两条直线的交点两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是两条直线的交
2、点，因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解.判一判1.两条不重合直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等()2斜率相等的两条直线一定平行()3若两条直线垂直，则它们的斜率之积为1.()4若k1k21，则两直线必不垂直()5如果两直线垂直，则这两条直线的倾斜角可能相等()6两条直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点坐标就是方程组的实数解()7若方程组无解，则两直线没有交点，两直线平行()8直线x2与y3没有交点()想一想1.如果两条直线平行，则这两条直线的斜率一定相等吗？若两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线都与x轴垂直吗？提示：在两条直线的斜率都存在的情况下，斜率一定相
3、等；当两条直线的斜率都不存在时，这两条直线都垂直于x轴2判断两条直线是否平行的步骤是什么？提示：3使用斜率公式判定两直线垂直的步骤是什么？提示：(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式(3)求值：计算斜率的值，进行判断尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论4两条直线相交的判定方法是什么？提示：(1)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交(2)两直线斜率都存在且斜率不等(3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在思考感悟：练一练1.直线2x3y80和直线xy10的交点坐标是()A(2，1
4、)B(1，2)C(1,2) D(2,1)答案：B2直线3x2ym0和(m21)x3y3m0的位置关系是()A平行 B相交C重合 D不确定答案：B3下列直线中与直线xy10平行的是()Axy10 Bxy10Caxaya0 Dxy10或axaya0答案：B4直线ykx与直线y2x1垂直，则k_.答案：5若直线l1：2xmy10与直线l2：y3x1平行，则m_.答案：知识点一两条直线平行、垂直的判定1.判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由(1)l1：3x5y60，l2：6x10y30；(2)l1：3x6y140，l2：2xy20；(3)l1：x2，l2：x4；(4)l1：y3，l2：x1.解析：
5、(1)l1：yx，l2：yx.则k1，b1，k2，b2.k1k2，b1b2，l1l2.(2)l1：yx，l2：y2x2.则k1，k22，k1k21，l1l2.(3)直线l1，l2的斜率均不存在，且24，l1l2.(4) 直线l1的斜率k10，直线l2斜率不存在，l1l2.2若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，则给出下面四个结论：ABCD，ABCD，ACBD，ACBD.其中正确结论的序号是_解析：因为kAB，kCD，kAC，kBD4，所以kABkCD，kACkBD1，所以ABCD，ACBD.答案：知识点二平行与垂直的综合应用3.已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k
6、的方程2k23kb0的两根，若l1l2，则b_；若l1l2，则b_.解析：若l1l2，则k1k21，即1，b2；若l1l2，则k1k2，(3)242(b)0，b.答案：24已知点A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若ABBC，求实数m的值解析：(1)因为A，B，C三点共线，且xBxC，则该直线斜率存在，则kBCkAB，即，解得m1或1或1.(2)由已知，得kBC，且xAxBm2.当m20，即m2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC0，于是ABBC；当m20，即m2时，kAB，由kABkBC1，得1.解得m3.综上，可得实数m的值为2或
7、3.知识点三求两条直线的交点5.判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点(1)l1：3xy40，l2：x3y20；(2)l1：3x5y100，l2：9x15y300；(3)l1：2x6y10，l2：yx2.解析：(1)解方程组得所以这两条直线相交且垂直，交点是.(2)解方程组可知，方程能化为方程，所以此方程组有无数多个解，所以这两条直线重合(3)l2的方程即x3y60，解方程组可知方程组无解，所以这两条直线平行6若直线2x3yk0与直线xky120的交点在y轴上，则k的值为()A24B6C6 D24解析：方法一联立方程得消去y得x.由题意知0，解得k6.方法二显然k0，在2x3yk0中，令
8、x0，得y，在xky120中，令x0，得y，由题意可得，解得k6.答案：C知识点四过两直线交点的直线系方程的应用7.过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A19x9y0 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0解析：方法一由得则所求直线方程为yxx，即3x19y0.方法二设直线方程为x3y4(2xy5)0，即(12)x(3)y450，又直线过点(0,0)，所以(12)0(3)0450，解得，故所求直线方程为3x19y0.答案：D8无论m、n取何实数，直线(3mn)x(m2n)yn0都过一定点P，则P点坐标为()A(1,3) B.C. D.解析：直线(3mn)
9、x(m2n)yn0整理为m(3xy)n(x2y1)0，解方程组得交点坐标为.因此无论m，n取何实数直线必经过点.答案：D综合知识两条直线的位置关系及交点9.已知mR，试求方程(m2)x(m3)y40所表示的直线恒过的定点P.解析：方法一当m2时，方程变为5y40；当m3时，方程变为5x40，解方程组得因此直线所经过的定点坐标为.经检验直线恒过该定点P.方法二原方程可化为mx2xmy3y40，即2x3y4m(xy)0，它表示过直线2x3y40与直线xy0的交点的直线系(不包括直线xy0)无论m取何值，它都过这两条直线的交点由解得所以直线必经过定点.10已知直线l1经过点A(3，m)，B(m1,2
10、)，直线l2经过点C(1,2)，D(2，m2)(1)当m6时，试判断直线l1与l2的位置关系；(2)若l1l2，试求m的值解析：(1)当m6时，A(3,6)，B(5,2)，C(1,2)，D(2,8)kl12，kl22，故kl1kl2此时，直线l1的方程为：y62(x3)，经验证点C不在直线l1上，从而l1l2.(2)kl2，l2的斜率存在若l1l2，当kl20时，m0，则A(3,0)，B(1,2)，此时直线l2的斜率存在，不符合题意，舍去；当kl20时，kl1，故1，解得m3或m4.综上：m3或m4.基础达标一、选择题1下列说法正确的是()A若直线l1，l2的斜率相等，则l1l2B若直线的斜率
11、kl1kl21，则l1l2C若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1l2D若直线l1，l2的斜率存在但不相等，则l1与l2不平行解析：直线l1，l2的斜率相等时，l1和l2可能重合，故A错；若kl1kl21，则l1l2，故B错；直线l1，l2的斜率都不存在时，l1，l2可能重合，故C错；故选D.答案：D2过点A(4，a)，B(5，b)的直线与直线l平行，又直线l的斜率为1，则a与b满足()Aba1Bab1Cba1 Dba1解析：依题意，kAB1，所以ba1，故选A.答案：A3过直线2xy40与xy50的交点，且垂直于直线x2y0的直线的方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy8
12、0解析：设过直线交点的方程为2xy4(xy5)0，即(2)x(1)y450，其斜率为k，与直线x2y0垂直，1，直线方程为2xy80，故选A.答案：A4无论k为何值，直线(k2)x(1k)y4k50都过一个定点，则定点坐标为()A(1,3) B(1,3)C(3,1) D(3，1)解析：直线方程可化为(2xy5)k(xy4)0，由直线系方程知，此直线系过两直线的交点由解得交点为(3，1)故选D.答案：D5直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()A2 B3C2或3 D2或3解析：直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.答案：C6两条直线l1：ax(
13、1a)y3，l2：(a1)x(32a)y2互相垂直，则a的值是()A3 B1C1或3 D0或3解析：因为两条直线l1：ax(1a)y3，l2：(a1)x(32a)y2互相垂直，所以a(a1)(1a)(32a)0，解得a1或a3.所以a的值是1或3.故选C.答案：C7已知ABC的三个顶点坐标分别为A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，则其形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D无法判断解析：kAB，kBC2，kABkBC1，ABBC，故选A.答案：A二、填空题8已知直线l经过点P(2,5)，且与直线4x3y20平行，则直线l的方程为_解析：设直线l的方程为：4x3ym0，把点P(
14、2,5)代入可得：815m0，解得m7.所以直线l的方程为4x3y70.答案：4x3y709直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(1，y)，若l1l2，则x_，y_.解析：因为l1l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为，所以，所以x1，y7.答案：1710直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则a等于_解析：显然当a0时，l1与l2不平行当a0时，由l1l2可得，即a22a30，解得a1或a3.a3时，l1：x3y60，l2：x3y60，l1与l2重合，不符合题意，舍去，经检验知a1时l1l2.答案：111若直线ykx3与直线yx5的交点在第一象限
15、，则k的取值范围是_解析：表示出交点，横纵坐标均大于0.答案：(0,1)12不论k为何实数，直线(2k1)x(k3)y(k11)0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_解析：直线(2k1)x(k3)y(k11)0，即k(2xy1)(x3y11)0，根据k的任意性可得解得所以不论k取什么实数，直线(2k1)x(k3)y(k11)0都经过一个定点(2,3)答案：(2,3)三、解答题13已知ABC的顶点坐标为A(5，1)，B(1,1)，C(2，m)，若ABC为直角三角形，试求m的值解析：kAB，kAC，kBCm1.若ABAC，则有1，所以m7；若ABBC，则有(m1)1，所以m3；若ACBC，则有(m1
16、)1，所以m2.综上可知，所求m的值为7，2,3.14已知ABC的顶点坐标A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求顶点C的坐标，及直线BC的方程解析：因为ACBH，所以由kBH得kAC2，因此AC方程为y12(x5)，化简得2xy110，与2xy50联立，可解得C坐标为(4,3)，因为B在高BH上，所以设B坐标为(2y5，y)，则AB中点M的坐标为，而M在直线2xy50上，所以2(y5)50，解得y3，因此B(1，3)，所以，由两点式可得BC方程为化简得6x5y90.能力提升15.已知直线l1：ax3y10，l2：x(a2)ya0，
17、求满足下列条件的a的值；(1)l1l2；(2)l1l2；(3)当a取何值时，直线l2不过第四象限？解析：由题意可知A1a，B13，C11；A21，B2a2，C2a.(1)当l1l2时，即解得a3.所以，当a3时，l1l2.(2)当l1l2时，A1A2B1B2a13(a2)0，即4a60，解得a.所以，当a时，l1l2.(3)当a2时，直线l2的方程可转化为yx.由于直线l2不过第四象限，则解得0a2，当a2时，直线l2的方程为x2，不过第四象限，符合题意综上所述，a的取值范围是0,216已知在平行四边形ABCD中， A(1,2)，B(2,1)，中心E(3,3)(1)判断平行四边形ABCD是否为正方形；(2)点P(x，y)在平行四边形ABCD的边界及内部运动，求的取值范围解析：(1)因为平行四边形的对称线互相平分，所以由中点坐标公式得C(5,4)，D(4,5)所以kAB1，kBC1.所以kABkBC1，所以ABBC，即平行四边形ABCD为矩形又|AB|，|BC|3，所以|AB|BC|，即平行四边形ABCD不是正方形(2)因为点P在矩形ABCD的边界及内部运动，所以的几何意义为直线OP的斜率作出大致图像，如图所示，由图可知kOBkOPkOA，因为kOB，kOA2，所以kOP2，所以的取值范围为.
