1、高考资源网（） 您身边的高考专家11直线的倾斜角和斜率填一填1.直线的倾斜角(1)概念：在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角(2)范围：0a180，当直线l和x轴平行时，倾斜角为0.2直线的斜率(1)概念：斜率k是直线的斜角(90)的正切值，通常把tan_叫作直线的斜率(2)斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角(范围)009090900不存在k0(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(xx2)的直线的斜率公式：k.判一判1.任何一条直线都有斜率()2斜率相等的两直线倾斜角相等()3直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大()
2、4与y轴垂直的直线的斜率为0.()5倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法()6任何一条直线有且只有一个斜率和它对应()7斜率公式与两点的顺序无关()8若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围为90180.()想一想1.当一条直线的倾斜角为0时，这条直线一定与x轴平行吗？提示：不一定，也可能与x轴重合2用斜率公式解决三点共线的方法是什么？提示：3求直线倾斜角的常用方法有哪些？提示：(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角(2)分类法：根据题意把倾斜角分为以下四类讨论：0，090，90及90180.4求直线斜率的两种方法是什么？提示：(1)已知直线的倾斜角时，可根据斜
3、率的定义，利用ktan 求得要注意前提条件90，若90，则斜率不存在(2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k，要注意前提条件x1x2.若x1x2，则斜率不存在当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率思考感悟：练一练1以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A(4,1)与(4，1) B(0,1)与(1,0)C(1,4)与(1,4) D(4,1)与(4，1)答案：D2直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A30 B60C150 D120答案：B3若直线l的斜率角为60，则该直线的斜率为_答案：4经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是_答案：5知识点一
4、直线的倾斜角1下列说法正确的是()A一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B直线的倾斜角的取值范围是锐角或钝角C与x轴平行的直线的倾斜角为180D每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率解析：倾斜角是直线向上方向与x轴的正方向所成的角，故选项A不正确；直线的倾斜角的取值范围是0,180)，故选项B不正确；当直线与x轴平行时，倾斜角为0，故选项C不正确故选D.答案：D2已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为()A B90C180 D90解析：根据倾斜角的定义，结合图形知所求直线的倾斜角为180.答案：C知识点二求直线的斜率3.若直线经过A(1,0)，B
5、(4，)两点，则直线AB斜率为()A. B1C. D解析：因为直线经过A(1,0)，B(4，)两点，所以直线AB斜率k.故选A.答案：A4过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4解析：过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，所以k1，解得m1.故选A.答案：A知识点三倾斜角与斜率的关系5.当直线l的倾斜角满足0120，且90时，它的斜率k满足()ACk0或k Dk0或k解析：当090时，k0；当90120时，k.答案：C6已知M(1，)，N(，3)，若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半，则直线l的斜率为()A. B.C1 D.解析
6、：设直线MN的倾斜角为，则tan ，60，所以直线l的倾斜角为30，斜率为.故选B.答案：B综合知识直线的倾斜角和斜率的综合应用7.已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60.解析：(1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，因为A(1,2)，所以直线PA的斜率k.又直线PA的倾斜角为60，所以tan 60，解得a1，所以点P的坐标为.(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)，同理可得b2，所以点P的坐标为(0,2)综上可知，点P的坐标为或(0,2)8(1)经过两点A(m,6)，B(m1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m的值；(2)求证：A(2,3)，B(3，2)，C三
7、点共线解析：(1)A(m,6)，B(m1,3m)，kAB.又直线AB的倾斜角的正切值为2，kAB2，即2，解得m8.(2)证明：A(2,3)，B(3，2)，C，kAB1，kAC1.kABkAC.直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，直线AB与AC为同一直线故A，B，C三点共线基础达标一、选择题1已知直线经过点A(2,0)，B(5,3)，则该直线的倾斜角是()A150 B135C75 D45解析：设该直线的倾斜角为，则直线的斜率kABtan 1，又0，180)，所以135.所以选B.答案：B2过点A(3，4)，B(2，m)的直线的斜率为2，则m的值为()A6 B1C2 D4解析：因为kAB
8、2，所以m6，故选A.答案：A3直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为()A1 B.C. D解析：因为斜率为的直线的倾斜角为30，所以直线l的倾斜角为60，故直线l的斜率为.故选B.答案：B4如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3 Bk3k1k2Ck3k2k1 Dk1k30，即mbc0，则，的大小关系为()A. B. D.bc0，所以，故选B.答案：B二、填空题8经过两点P(1，4)，Q(1，4)的直线的倾斜角是_答案：09若过点P(1a,1a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为_解析：由kPQ0，得2a1.答
9、案：(2,1)10已知斜率为的直线经过A(3,5)，B(x，1)，C(7，y)三点，则x的值为_，y的值为_解析：由题意，可知kABkAC，即，解得x9，y7.答案：9711已知点M(5,3)和点N(3,2)，若直线PM和PN的斜率分别为2和，则点P的坐标为_解析：设点P(x，y)，则2且，解得x1，y5.故点P的坐标为(1，5)答案：(1，5)12已知A(2，3)，B(3,0)，直线l过点P(1,2)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是_解析：如图，kPA5，kPB.过点P且与x轴垂直的直线PC与线段AB相交，但此时直线l的斜率不存在，当直线l绕P点逆时针旋转到PC处的过
10、程中，l的斜率始终为正，且逐渐增大，所以此时l的斜率的取值范围是5，)；当直线l由PC(不包括PC)逆时针绕P点旋转到PB处的过程中，斜率为负且逐渐变大，此时l的斜率的取值范围是.综上，k的取值范围是5，)答案：5，)三、解答题13一束光线从点A(2,3)射入，经过x轴上点P反射后，通过点B(5,7)，求点P的坐标解析：如图，设P(x,0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，即12，.因此kAPkBP，即，解得x，即P.14如果三点A，B(4，1)，C(4，m)在同一条直线上，求常数m的值解析：由于三点A，B，C所在直线不可能垂直于x轴，因此设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.由斜率
11、公式，得kAB，kBC.因为点A，B，C在同一条直线上，所以kABkBC.所以，即m23m120.解得m1，m2.所以m的值是或.能力提升15.已知A(1,1)，B(1,1)，C(2，1)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围解析：(1)由斜率公式得kAB0，kAC.(2)如图所示设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，又kCB，所以k的取值范围为.16已知实数x，y满足关系式x2y6，当1x3时，求的取值范围解析：的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率因为点M在y3x的图像上，且1x3，所以可设该线段为AB，其中A，B.由于kNA，kNB，所以的取值范围是.- 8 - 版权所有高考资源网
