1、江西省吉安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设a、bz，且a0，则（ab）a20，且ab的（）条件A充分不必要B必要而不充分C充要D既不充分也不必要2（5分）直线经过原点和点（1，1），则它的倾斜角是（）A45B135C45或135D03（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大面积，则取最大面积时，该圆的圆心坐标为（）A（1，1）B（1，0）C（1，1）D（0，1）4（5分）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（）A若m，mn，则nB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m、
2、n与所成的角相等，则mn5（5分）已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是（）A3B3+CD6（5分）圆心角为1350，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A：B等于（）ABCD7（5分）如图，在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC8（5分）若圆（x3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A（4，6）B4，6）C（4，6D4，69（5分）已知
3、椭圆=1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（）A4B5C7D810（5分）给出如下四个命题：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中不正确命题的个数是（）A4B3C2D111（5分）从原点向圆x2+y212y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）AB2C4D612（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD二、填空题（本
4、大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）直线2cosxy1=0，的倾斜角的取值范围是14（5分）等腰梯形ABCD中，上底CD=1，腰，下底AB=3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为15（5分）已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列命题：若，m，n，则mn；若=n，mn，则m且m若，m，则m；若，=m，=m，则mn；其中正确的命题是16（5分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为三、解答题17（10分）已知命题p：x1，2，x2a0；命题q：x0R，使得x02+（a1）x0+10若“p或q”为真，“p且q”为
5、假，求实数a的取值范围18（12分）已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程19（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD20（12分）已知过点A（0，1），且方向向量为的直线l与C：（x2）2+（y3）2=1，相交于M、N两点（1）求实数k的取值范围；（2）求证：是定值；（3）若O为坐标原点，且=12，求k的值21（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E
6、、F分别是BB1、CD的中点（1）证明：ADD1F；（2）证明：面AED面A1FD1；（3）设22（ 12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值江西省吉安一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）设a、bz，且a0，则（ab）a20，且ab的（）条件A充分不必要B必要而不充分C充要D既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据不等式
7、的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：a0，不等式（ab）a20，等价为ab0，即ab，则“（ab）a20”是“ab”的充分必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键2（5分）直线经过原点和点（1，1），则它的倾斜角是（）A45B135C45或135D0考点：直线的倾斜角 专题：计算题分析：先由已知的两点坐标求出过两点直线方程的斜率，然后利用直线的斜率等于倾斜角的正切值，再利用特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数解答：解：设过原点（0，0）和点（1，1）的直线方程的斜率为k，且该直线的倾斜角为，由题意可知：
8、tan=k=1，又（0，180），则=45故选A点评：此题考查学生会根据两点坐标求出过两点直线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角的关系，是一道基础题3（5分）已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大面积，则取最大面积时，该圆的圆心坐标为（）A（1，1）B（1，0）C（1，1）D（0，1）考点：圆的标准方程 专题：直线与圆分析：方程x2+y2+kx+2y+k2=0化为=11，当且仅当k=0时，圆的半径r取得最大值1，即可得出解答：解：方程x2+y2+kx+2y+k2=0化为=11，当且仅当k=0时，圆的半径r取得最大值1，圆心坐标为（0，1）故选：D点评：本题考查了圆的标准方程、二
9、次函数的单调性，属于基础题4（5分）对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（）A若m，mn，则nB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m、n与所成的角相等，则mn考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：共面的直线m、n，所在平面与平面的位置关系，可能平行、垂直和相交，结合选项推出结果解答：解：对于平面和共面的直线m、n，真命题是“若m，n，则mn”故选C点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题5（5分）已知两点A（2，0），B（0，2），点C是圆x2+y22x=0上的任意一点，则ABC的面积最小值是（）A3B3+CD考点：直线和圆的方程的应用
10、专题：直线与圆分析：求出直线方程，圆心坐标与半径，从而可得圆上的点到直线距离的最小值进而可求ABC的面积最小值解答：解：直线AB的方程为，即xy+2=0圆x2+y22x=0，可化为（x1）2+y2=1，圆心（1，0）到直线的距离为d=圆上的点到直线距离的最小值为|AB|=ABC的面积最小值是=故选A点评：本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式，考查三角形面积的计算，属于中档题6（5分）圆心角为1350，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A：B等于（）ABCD考点：扇形面积公式 专题：计算题分析：设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利
11、用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可解答：解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1=，设围成圆锥的底面半径为r，则2r=，r=，扇形的面积B=，圆锥的表面积A=B+r2=，A：B=11：8故选A点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基础题7（5分）如图，在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是（）ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关
12、系与距离分析：正四面体PABC即正三棱锥PABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BCDF，所以BC平面PDF，进而可得答案解答：解：由DFBC，可得BC平面PDF，故A正确若PO平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DFPO，又DFAE故DF平面PAE，故B正确由DF平面PAE可得，平面PDF平面PAE，故C正确由DF平面PAE可得，平面PDF平面ABC，平面PDF平面PDE=PD，故D错误故选：D点评：本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基
13、础知识，考查空间想象能力和思维能力8（5分）若圆（x3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A（4，6）B4，6）C（4，6D4，6考点：点到直线的距离公式 专题：计算题分析：先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5r|1，解此不等式求得半径r的取值范围解答：解：圆心P（3，5）到直线4x3y=2的距离等于 =5，由|5r|1得 4r6，故选 A点评：本题考查点到直线的距离公式的应用，以及绝对值不等式的解法9（5分）已知椭圆=1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（）A4B5C7D8考点：椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的
14、定义、性质与方程分析：根据椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10mm+2=4，即可求出m的值解答：解：椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，10mm+2=4，解得m=4，满足题意故选：A点评：本题考查椭圆的简单性质，考查学生的计算能力，是基础题10（5分）给出如下四个命题：若“pq”为假命题，则p，q均为假命题；命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；在ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件其中不正确命题的个数是（）A4B3C2D1考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假 专题：综合题分析：若“pq”为
15、假命题，则p、q至少一个是假命题，所以错误；“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；所以正确；“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；所以正确；ABC中，“AB”“ab”；由正弦定理得“ab”“sinAsinB”；“AB”“sinAsinB”所以正确；解答：对于，若“pq”为假命题，所以p、q至少一个是假命题，所以错误；对于，命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”；所以正确；对于，命题“任意xR，x2+10”的否定是“存在x0R，”；所以正确；对于，ABC中，“AB”“ab”；由正弦定理得“ab”“sinAsinB”；“AB”“sinAsi
16、nB”所以正确；所以其中不正确命题的个数是1故选D点评：本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系：“pq”有假则假，全真则真；：“pq”有真则真，全假则假；“p”真假相反；考查命题的否定与否命题的区别以及考查三角形中正弦定理11（5分）从原点向圆x2+y212y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（）AB2C4D6考点：弧长公式；直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：先求出圆心和半径，结合图形求出两切线的夹角为2，进而求出劣弧对的圆心角，从而求出劣弧长解答：解：圆x2+y212y+27=0 即 x2+（y6）2=9，设两切线的夹角为2，则有 sin=，=30，2=6
17、0，劣弧对的圆心角是120，劣弧长为 23=2，故选 B点评：本题考查直线与圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，求弧长的方法12（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为（1，1），则E的方程为（）ABCD考点：椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，利用斜率计算公式可得=于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2进而得到椭圆的方程解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭
18、圆方程得，相减得，x1+x2=2，y1+y2=2，=，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9椭圆E的方程为故选D点评：熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）直线2cosxy1=0，的倾斜角的取值范围是考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：由已知得直线的斜率k=2cos1，由此能求出倾斜角的取值范围解答：解：直线2cosxy1=0，的斜率k=2cos1，1，故答案为：点评：本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用14（5分）等腰梯形ABCD中，上底
19、CD=1，腰，下底AB=3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为考点：斜二测法画直观图 专题：规律型分析：根据斜二测画法的规则分别求出等腰梯形的直观图的上底和下底，以及高即可求出面积解答：解：在等腰梯形ABCD中，上底CD=1，腰，下底AB=3，高DE=1，根据斜二测画法的规则可知，AB=AB=3，DC=DC=1，OD=，直观图中的高DF=ODsin45，直观图ABCD的面积为，故答案为：；点评：本题主要考查斜二测画法的规则，注意平行于坐标轴的直线平行性不变，平行x轴的线段长度不变，平行于y轴的长度减半15（5分）已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平
20、面，给出下列命题：若，m，n，则mn；若=n，mn，则m且m若，m，则m；若，=m，=m，则mn；其中正确的命题是考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答：解：若，m，n，则m与n平行或异面，故错误；若=n，mn，则m且m，直线m有可能在平面或平面内，故错误；若，m，则由平面与平面平行的性质得m，故正确；若，=m，=m，则由平面与平面平行的性质得mn，故正确，故答案为：点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16（5分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（1
21、，1考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：曲线 表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围解答：解：曲线 即 x2+y2=1 （x0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图：当直线经过点A（0，1）时，求得b=1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得 =1，求得b=（舍去），或 b=，数形结合可得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（1，1，故答案为：（1，1点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，
22、点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题三、解答题17（10分）已知命题p：x1，2，x2a0；命题q：x0R，使得x02+（a1）x0+10若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假 专题：计算题分析：先求出命题p，q为真命题时，a的范围，据复合函数的真假得到p，q中必有一个为真，另一个为假，分两类求出a的范围解答：解：p真，则a1 （2分）q真，则=（a1）240即a3或a1 （4分）“p或q”为真，“p且q”为假，p，q中必有一个为真，另一个为假 （6分）当p真q假时，有 得1a1 （8分）当p假q真时，有得a3 （10分）实数a
23、的取值范围为1a1或a3 （12分）点评：本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题18（12分）已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质 专题：计算题；综合题分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的
24、方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值解答：解：将圆C的方程x2+y28y+12=0配方得标准方程为x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=，x1x2=则AB=2两边平方并代入解得：a=7或a=1，直线l的方程是7xy+14=0和xy+2=0点评：此题考查学生掌握直线与圆相
25、切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题19（12分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：证明题分析：（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EFAD，EF面ACD，AD面ACD，满足定理条件；（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD面EFC，而BD面BCD，满足定理所需条件解答：证
26、明：（1）E，F分别是AB，BD的中点EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是BD的中点，CFBD又EFCF=F，BD面EFC，BD面BCD，面EFC面BCD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力20（12分）已知过点A（0，1），且方向向量为的直线l与C：（x2）2+（y3）2=1，相交于M、N两点（1）求实数k的取值范围；（2）求证：是定值；（3）若O为坐标原点，且=12，求k的值考点：直线与圆相交的性质 专题：计算题分析：（1）
27、用点斜式写出直线l的方程，由圆心到直线的距离小于圆的半径列出不等式，解出实数k的取值范围（2）由弦长公式可得 AT2 =7，又 AT2 =AMAN， 与 共线且方向相同，化简（3）设出M，N两点的坐标，把直线l的方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程，把根与系数的关系代入=12 的式子进行化简，解方程求出k的值解答：解：（1）直线l过点（0，1）且方向向量，直线l的方程为y=kx+1（2分）由，得 （4分）（2）设C的一条切线为AT，T为切点，则由弦长公式可得 AT2 =7，为定值（8分）（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），将y=kx+1代入方程 （x2）2+（y3）2=1 得（1+
28、k2）x24（1+k）x+7=0，（10分），解得k=1，又当k=1时，0，k=1（13分）点评：本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，两个向量的数量积的定义，一元二次方程根与系数的关系21（12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）证明：ADD1F；（2）证明：面AED面A1FD1；（3）设考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 专题：证明题分析：（1）由正方体的性质可得AD面DC1 ，故ADD1F（2）由ADD1F，AED1F，证得D1F面AED，从而证得面AED面A1FD（3）取AB的中点G，三棱锥F
29、AA1E的高FG=AA1=2，由 求得结果解答：解：（1）证明：AC1是正方体，AD面DC1 ，又D1F面DC1，ADD1F（2）证明：由（1）知ADD1F，由题意得 AED1F，又ADAE=A，D1F面AED，又D1F面A1FD1，面AED面A1FD（3）取AB的中点G，连接GE、GD，体积，又FG面ABB1A1，三棱锥FAA1E的高FG=AA1=2，=点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明D1F面AED是解题的关键22（12分）已知椭圆C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距
30、离为，求AOB面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：压轴题分析：（）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m由已知，得把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m23=0，然后由根与系数的关系进行求解解答：解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意b=1，所求椭圆方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m由已知，得把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m23=0，|AB|2=（1+k2）（x2x1）2=当且仅当，即时等号成立当k=0时，综上所述|AB|max=2当|AB|最大时，AOB面积取最大值点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答
