1、题型专题(十二)三角恒等变换与解三角形 师说考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.典例(1)(2016全国乙卷)已知是第四象限角，且sin()，则tan_解析由题意知sin，是第四象限角，所以cos0，所以cos .tantan.答案(2)(2016河南六市联考)已知cossin ，则sin的值是_解析由cossin ，可得cos sin
2、 sin ，即sin cos ，sin，sin，sinsin.答案三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦 演练冲关1(2016贵阳模拟)已知，sin ，则tan()A B. C. D解析：选C因为，所以cos ，所以tan ，所以tan.2(2016东北四市联考)已知sincos，则cos 2()A1 B1 C. D0解析：选Dsincos，cos sin cos s
3、in ，即sin ()cos ，tan 1，cos 2cos2sin20.师说考点1正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A.变形：b2c2a22bccos A，cos A.3三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.典例(1)(2016全国甲卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析因为A，C为ABC的内角，且cos A，cos C，所以sin A，sin C，所以si
4、n Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.又a1，所以由正弦定理得b.答案(2)(2016全国乙卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；若c，ABC的面积为，求ABC的周长解由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.由已知得absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为
5、5.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理注意应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构” 演练冲关1(2016郑州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos B()A B. C D.解析：选B由正弦定理知1，即tan B，所以B，所以cos Bcos，故选B.2(2016福建质检)在ABC中，B，AB2，D为AB中点，BCD的面积为，则AC等于()A2 B. C. D.解析：选B因为SBCDBDBCsin B1BCsin，所以BC3.
6、由余弦定理得AC249223cos7，所以AC，故选B.3(2016河北三市联考)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin Bbsin.(1)求A；(2)若ABC的面积Sc2，求sin C的值解：(1)asin Bbsin，由正弦定理得sin Asin，即sin Asin Acos A，化简得tan A，A(0，)，A.(2)A，sin A，由Sc2bcsin Abc，得bc，a2b2c22bccos A7c2，则ac，由正弦定理得sin C.师说考点解三角形实际问题的常考类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理
7、求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解典例(2016河南六市联考)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离解(1)依题意，有PAPCx，P
8、Bx1.58x12.在PAB中，AB20，cosPAB，同理，在PAC中，AC50，cosPAC.cosPABcosPAC，解得x31.(2)作PDAC于点D，在ADP中，由cosPAD，得sinPAD，PDPAsinPAD314.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米解三角形中实际问题的4个步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结
9、果进行取舍，得出正确答案 演练冲关1(2016武昌区调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为()A9 h B10 h C11 h D12 h解析：选B记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在OAB中，OA400，AB20t，OAB45，根据余弦定理得4002400t2220t4003002，即t220t1750，解得105t105，所以所求时间为10510510(h)，故选B.2.(2016湖北七市联考)如图，为了估测某塔的
10、高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上，仰角为60；在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上，仰角为30.若A，B两点相距130 m，则塔的高度CD_m.解析：分析题意可知，设CDh，则AD，BDh，在ADB中，ADB1802040120，由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120，可得13023h22h，解得h10，故塔的高度为10 m.答案：10解三角形与其他知识的交汇解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式求最值、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为
11、高考的热点典例(2016山东高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan Atan B).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值解(1)证明：由题意知2，化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B.因为ABC，所以sin Asin B2sin C，由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cos C，当且仅当ab时，等号成立，故cos C的最小值为.(1)本题是三角恒等变换、解三角形与基本不等式的交汇问题(2)解答此类问题的一般思路是利用三角恒等变换对所给条件进行转化，再结合正余弦定理，
12、转化到边的关系，利用基本不等式求解 演练冲关1在ABC中，若sin Csin Asin B0，则ABC的形状为()A等边三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选A设角A，B，C的对边分别是a，b，c，由，可知P为BC的中点结合题意及正弦定理可得cab0，故c()ab(ac) (cb) 0，而与为不共线向量，所以accb0，故abc.故选A.2(2016河北五校联考)已知锐角ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2b 26abcos C，且sin2C2sin Asin B.(1)求角C的值；(2)设函数f(x)cos x(0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为，
13、求f(A)的取值范围解：(1)因为a2b26abcos C，由余弦定理知a2b2c22 abcos C，所以cos C，又sin2C2sin Asin B，则由正弦定理得c22ab，所以cos C，又因为C(0，)，所以C.(2)f(x)cos xsin xcos x，由已知可得，所以2，则f(A)，因为C，所以BA，因为0A，0B，所以A，所以02A，所以f(A)的取值范围是(0， 一、选择题1(2016武昌区调研)已知cos()，且为第三象限角，则tan 2的值等于()A. B C. D解析：选C因为cos ，且为第三象限角，所以sin ，tan ，tan 2，故选C.2(2016全国甲卷
14、)若cos，则sin 2()A. B. C D解析：选D因为cos，所以sin 2coscos2cos2121.3(2016河北模拟)已知，且sin cos ，则等于()A. B. C. D.解析：选D由sin cos 得sin，cos，2cos.4(2016重庆模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2ab，则ABC的面积为()A. B. C. D.解析：选B依题意得cos C，C60，因此ABC的面积等于absin C，选B.5(2016山西太原模拟)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a2，SABC，则b的值为()A. B. C
15、2 D2解析：选A在锐角ABC中，sin A，SABC，cos A，bcsin Abc，bc3，由余弦定理得a2b2c22bccos A，(bc)2a22bc(1cos A)4612，bc2.由得bc，故选A.6(2016海口调研)如图，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足若DE2，则cos A等于()A. B. C. D.解析：选C依题意得，BDAD，BDCABDA2A.在BCD中，即，由此解得cos A，选C.二、填空题7(2016北京高考)在ABC中，A，ac，则_解析：在ABC中，A，a2b2c22bccos，即a2b2c2bc.ac，3c2b2c2bc
16、，b2bc2c20，(b2c)(bc)0，bc0，bc，1.答案：18(2016石家庄模拟)已知ABC中，AC4，BC2，BAC60，ADBC于D，则的值为_解析：在ABC中，由余弦定理可得BC2AC2AB22ACABcosBAC，即2816AB24AB，解得AB6，则cosABC，BDABcosABC6，CDBCBD2，所以6.答案：69(2016郑州模拟)ABC的三个内角为A，B，C，若tan，则tan A_.解析：tantantan，所以A，所以A，所以tan Atan1.答案：1三、解答题10(2016合肥质检)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知函数f(x)s
17、in(2xB)cos(2xB)为偶函数，bf.(1)求b；(2)若a3，求ABC的面积S.解：(1)f(x)sin(2xB)cos(2xB)2sin，由f(x)为偶函数可知Bk，kZ，所以Bk，kZ.又0B，故B，所以f(x)2sin2cos 2x，bf.(2)因为B，b，a3，由正弦定理可知sin A，所以A或.当A时，C，ABC的面积S；当A时，C，ABC的面积S.11(2016山西四校联考)在ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，且cos A.(1)求cos2cos 2A的值；(2)若a，求ABC面积的最大值解：(1)cos2cos 2A2cos2A12cos2A121.(2)由
18、余弦定理可得，()2b2c22bccos Ab2c2bc2bcbcbc，bc，当且仅当bc时，bc有最大值，又cos A，A(0，)，sin A，(SABC)maxbcsin A.12在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos B2cb.(1)若cos(AC)，求cos C的值；(2)若b5，5，求ABC的面积；(3)若O是ABC外接圆的圆心，且m，求m的值解：(1)由2acos B2cb，得2sin Acos B2sin Csin B，化简得cos A，则A60.由cos(AC)cos B，知cos B，所以sin B.所以cos Ccos(120B)cos Bsin B.bcb25，又b5，解得c8，所以ABC的面积为bcsin A10.(3)由m，可得m2，(*)因为O是ABC外接圆的圆心，又|，所以(*)可化为c2b2m，所以m2(cos Bsin Csin Bcos C)2sin(BC)2sin A.
