1、第三节 基本不等式及其应用 基础梳理1.基本不等式 .2abab(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 a0，b0 ab 2.几个重要的不等式(1)a2b2_(a，bR)(2)baab_(a，b同号)(3)ab 2()2ab(a，bR)2ab 23.利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy 有_值是_(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当_时，xy 有_值是_(简记：和定积最大)xy 最小 2pxy 最大 24p基础达标1.设a0，b0，下列不等式中不成立的是_ a2b22ab；2.baa
2、b ab；22baab1122.abab 解析：由 0，且 0，得 2 2，所以成立，显然成立，可变形为a3b3a2bab2(a2b2)(a-b)0(ab)(ab)20，所以成立，中令ab1，则不成立 abbaabbab aa b2.(必修5P91习题3.4第3(1)题改编)函数yx2 211x 的最小值是_ 解析：x2 22211(1)12 11,11xxx 当x0时取等号 3.已知x，yR*，且x4y1，则 11xy 的最小值为_ 解析：x，yR*，1144459,xyxyyxxyxyxy11,36xy当且仅当 时取等号 4.(2011海安高级中学期中)若x3，则x 23x 的最小值为_
3、解析：x3，x30，x 22332 23,33xxx 2即x3 时取等号 当且仅当x3 2,3x 5.(2011江苏盐城模拟)已知x3y20，则3x27y1的最小值是_ 解析：3x27y13x33y12 12317，当且仅当3x33y，即x3y1时取等号 33xy经典例题题型一 不等式的证明【例1】已知ab1，且a,bR.求证：(2ab)(a2b)9.4分析：依据条件把所证不等式化简，因为ab1，所以(2ab)(a2b)(1a)(1b)，所以只需证 (1a)(1b)9.4证明：因为ab1，所以(2ab)(a2b)(1a)(1b)1abab2ab.又因为a0，b0，所以2ab 22192()2(
4、).224ab(当ab 时取等号)12所以(2ab)(a2b)9.4变式11 已知ab1，且a,bR，求证：112.22ab解析：因为当a,bR时，2222()()0,224ababab即 222(),22abab这里用 替换a，用 替换b，12b 12a 就有 11()()1111222()1.222222ababab11222ab(当ab 时取等号)12题型二 利用基本不等式求最值【例2】(2010山东)已知x，yR，且满足 1,34xy则xy的最大值为_ 分析：利用 构造基本不等式求解 134xy12,3412xyxy 解：x0，y0，且 xy3.当且仅当 1342xy时取等号 变式21
5、 已知x0，y0，且2x8yxy0，求xy的最小值 解析：由2x8yxy0，得 821,xy828 2812,xyx yxy又x0，y0，则 得xy64，当且仅当x16，y4时 等号成立题型三 利用基本不等式求参数 【例3】(2010安徽)设x，y满足约束条件 若目标函数zabxy(a0，b0)的最大值为8，则ab 的最小值为_ 220,840,0,0,xyxyxy分析：线性规划问题首先作出可行域，求出直线交点坐标 代入得ab4，要想求ab的最小值，显然要利用基本不 等式 解：不等式组表示的区域是一个四边形，4个顶点是(0,0)，(0,2)，(1,4)，1(,0),2易见目标函数在(1,4)处
6、取最大值8，所以8ab4ab4，所以ab2 4，当ab2 时等号成立，ab所以ab的最小值为4.变式31 已知xy0，且xy1.若x2y2a(xy)恒成立，求实数a 的取值范围 解析：xy0，xy1，由x2y2a(xy)，得a 222()42.xyxyxyxyxyxyxy222()2 2,xyxyxyxya(，2 .2题型四 基本不等式的实际应用【例4】上海某玩具厂生产x个2010年世博会吉祥物“海 星”所需成本费用为P元，且P10005x x2，而每个售 110出的价格为Q元，其中Qa xb(a，bR)(1)问：该玩具厂生产多少个“海星”时，使得每 个“海星”所需成本费用最少？(2)若生产出
7、的“海星”能全部售出，且当产量为 150个时利润最大，此时每个价格为30元，求a，b 的值(利润销售收入成本)分析：本题虽然给出了两个函数，但目标函数尚未给出因此，我们必须先写出目标函数，再根据目标函数的特征确定求最值的方法解：(1)每个“海星”所需成本费用为 2110005110001052 100525,10 xxPxxxx当 11000,10 xx即x100时，每个“海星”所需成本费用 最少为25元.(2)利润为QxP 2211()(10005)()(5)1000,1010 xxx axxaxbb由题意得 5150,112()1015030,abab解得25,30,ab 所以a，b的值分别为25、30.易错警示【例】已知两正数x，y满足xy1，求z 11xyxy的最小值为_ 错解 方法一：因为对a0恒有a 11xyxy12,a 从而z 4,所以z的最小值为4.方法二：z 222222()2222(21),x yxyxyxyxyxyxy2(2 1).所以z的最小值是 正解：z 21111()2yxxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy12.xyxy令txy，则0t xy 21(),24xy由f(t)t 2t在 上单调递减，1(0,4故当t 时，f(t)t 2t14有最小值 33,4所以当xy 时z有最小值 .12254
