1、第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 学 习 目 标核 心 素 养 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法(重点)2会求组合体的表面积与体积(难点、易错点)通过学习并运用柱体、锥体、台体的表面积和体积公式，培养学生数学运算、直观想象、逻辑推理的数学核心素养自 主 预 习 探 新 知 1表面积公式(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积公式 多面体多面体的表面积就是 的面积的和，也就是 的面积各个面展开图(2)旋转体的表面积圆柱底面积：S 底 ；侧面积：S 侧 ；表面积：S 旋转体圆锥底面积：S 底
2、；侧面积：S 侧 ；表面积：S r22rl2rl2r2r2rlrlr2旋转体圆台上底面面积：S 上底 ；下底面面积：S 下底 ；侧面积：S 侧 ；表面积：S r2r2l(rr)(r2r2rlrl)2.体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为 S，高为 h，则 V (2)锥体：锥体的底面面积为 S，高为 h，则 V (3)台体：台体的上、下底面面积分别为 S，S，高为 h，则 V Sh13Sh13(S SSS)h思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？提示 表面积变大了，而体积不变C S 表(32423646)67.1圆台的上、下底面半径分别为 3 和 4，母线长为 6，则其表面
3、积等于()A72 B42C67D726 由底面周长为 2 可得底面半径为 1，S 底2r22，S 侧2rh4，所以 S 表S 底S 侧6.2一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2.该圆柱的表面积为_4 由三视图可判断该几何体为直六棱柱，其底面积为 4，高为 1，所以体积为 4.3若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为_合 作 探 究 释 疑 难 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积【例 1】(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A122 B144 C12 D142(2)某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为()A180 B.200 C220 D24
4、0(3)已知某圆锥的底面半径为 8，高为 6，则该圆锥的表面积为_(1)A(2)D(3)144(1)设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则有h2r，所以表面积与侧面积的比为 2(r2rh)2rh(rh)h(21)2.(2)几何体为直四棱柱，其高为 10，底面是上底为 2，下底为 8，高为 4 的等腰梯形，所以底面面积为12(28)4240.四个侧面的面积和为(2852)10200.所以四棱柱的表面积为 S40200240.故选 D.(3)由题意，得该圆锥的母线长 l 826210，该圆锥的侧面积为 81080，底面积为 8264，该圆锥的表面积为 8064144.空间几何体的表面积的求法技巧(1
5、)多面体的表面积是各个面的面积之和(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和跟进训练1圆台的上、下底面半径和高的比为 144，若母线长为 10，则圆台的表面积为()A81 B100 C168D169C 圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为 r，下底面半径为R，则它的母线长为 l h2（Rr）2（4r）2（3r）25r10，所以 r2，R8.故 S 侧(Rr)l(82)10100，S 表S 侧r2R2100464168.柱体、锥体、台体的体积【例 2】(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形
6、，侧面积是 16 2，则圆锥的体积是()A643 B1283 C64 D128 2(2)如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，过顶点 B，D，A1 截下一个三棱锥，则剩余部分的体积为_(3)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_思路探究：(1)先由侧面积求出圆锥的底面半径和高，再求体积；(2)正方体的体积减去锥体体积即可；(3)根据三视图还原成几何体，再求体积(1)A(2)56a3(3)40(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r l2l2，即 l 2r，由题
7、意得，侧面积 S 侧rl 2r216 2，r4.l4 2，高 h l2r24.圆锥的体积 V13Sh13424643，故选 A.(2)V 三棱锥 A1ABD13SABDA1A1312a2a16a3.故剩余部分的体积 VV 正方体V 三棱锥 A1ABDa3a36 56a3.(3)三视图对应的几何体，是在棱长为 4 的正方体上，去掉一个底面为直角梯形(上底为 2，下底为 4，高为 2)、高为 4 的四棱柱而得到，故其体积 V44412(24)24642440.求几何体体积的常用方法：(1)公式法：直接代入公式求解(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可
8、(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积跟进训练2如图，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_r2（ab）2 两个同样的该几何体能拼接成一个高为 ab 的圆柱，则拼接成的圆柱的体积 Vr2(ab)，所以所求几何体的体积为r2（ab）2.简单组合体的表面积、体积【例 3】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm，高为 3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为 4 cm，高为 2 cm，现从中间挖去一个直径为 2 cm 的圆
9、柱，求此几何体的体积解 V 六棱柱 34 426248 3(cm3)，V 圆柱32327(cm3)，V 挖去圆柱12(32)5(cm3)，此几何体的体积：VV 六棱柱V 圆柱V 挖去圆柱(48 322)(cm3).求组合体的表面积与体积的方法：(1)分析结构特征弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量(2)设计计算方法根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理利用“切割”、“补形”的方法求体积(3)计算求值根据设计的计算方法求值.跟进训练3已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为()A2432 B243C24D242A 该几何体是一
10、个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于324312122432.课 堂 小 结 提 素 养 1棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和2对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明(1)等底、等高的两个柱体的体积相同(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的 3 倍(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(4)求台体的体积转化为求锥体
11、的体积根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积B 设正方体棱长为 a，则 6a296，解得 a4，解得该正方体的体积为 a34364.1已知某正方体的表面积为 96，则该正方体的体积为()A48 6 B64 C16 D96A S 表4S 正4 34 3.2棱长都是 1 的三棱锥的表面积为()A 3B2 3 C3 3D4 37 33 设上、下底面半径分别为 r，r，母线长为 l，则r2，r24，（rr）l6，所以r1，r2，l2.3圆台的上、下底面的面积分别为，4，侧面积是 6，这个圆台的体积是_圆台的高 h l2（rr）2 3，所以 V 圆台13(44)37 33.4如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，求三棱锥 D1EDF 的体积解 VD1EDFVF-DD1E13SD1DEAB131211116.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
