1、几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 A组学业达标1下列结论正确的个数为()yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.A0 B1 C2 D3解析：因为ln 2为常数，所以y0，错；均正确，故选D.答案：D2已知f(x)xn且f(1)4，则n等于()A4 B4 C5 D5解析：因为f(x)nxn1，所以f(1)n(1)n14.若(1)n11，则n4，此时满足(1)n11；若(1)n11，则n4，此时不满足(1)n11；所以n4，故选A.答案：A3曲线yex在点(0,1)处的切线与y轴交点的纵坐标是()Ae B1 C1 De解析：因为yex，所以y|x0
2、e01，所以切线方程为y1x即yx1，令x0，则y1.答案：B4直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：因为yln x的导数y，所以令，得x2，所以切点为(2，ln 2)代入直线yxb，得bln 21.答案：C5若曲线处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于()A64 B32 C16 D8解析：由题，a0，y，所以曲线y 在点(a，a)处的切线斜率，所以切线方程为由x0，得由y0得x3a，所以解得a64.故选A.答案：A6若函数yf(x)满足f(x1)12xx2，则yf(x)_.解析：因为f(x1)12xx2
3、(x1)2，所以f(x)x2，f(x)2x.答案：2x7若曲线yx(Q*)在点(1,2)处的切线经过原点，则_.解析：yx1，所以y|x1，所以切线方程为y2(x1)，即yx2，该直线过(0,0)，所以2.答案：28已知(cf(x)cf(x)，其中c为常数若f(x)ln 5log5x，则曲线f(x)在A(1,0)处的切线方程为_解析：由已知得f(x)ln 5，所以f(1)1，在A点处的切线方程为xy10.答案：xy109求下列函数的导数(1)y3x； (3)yln 3.解析：(1)y(3x)3xln 3.(3)y(ln 3)0.10点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解析：根
4、据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.因为y(ex)ex，所以ex01，得x00，代入yex，y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.B组能力提升11正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.解析：因为ycos x，而cos x1,1所以直线l的斜率的范围是1,1，所以直线l倾斜角的范围是.答案：A12下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)ex Bf(x)x3C
5、f(x)ln x Df(x)sin x解析：设切点的横坐标分别为x1，x2，若存在无数对互相垂直的切线，则f(x1)f(x2)1有无数对x1，x2使之成立对于A，由f(x)ex0，所以不存在f(x1)f(x2)1；对于B，由于f(x)3x20，所以也不存在f(x1)f(x2)1；对于C，由于f(x)ln x的定义域为(0，)，所以f(x)0，也不存在f(x1)f(x2)1；对于D，f(x)cos x，所以f(x1)f(x2)cos x1cos x2.当x12k，x2(2k1)，kZ时，f(x1)f(x2)1成立，故选D.答案：D13曲线f(x)cos2，x(0，)在P点的切线斜率为，则点P的坐
6、标为_解析：f(x)cos x，f(x)sin x，所以sin x，所以sin x1，又因为x(0，)，所以x，f0.答案：14函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，其中kN*.若a116，则a1a3a5的值是_解析：函数yx2(x0)在点(a1，a)处(a116)即点(16,256)处的切线方程为y25632(x16)令y0得a28；同理函数yx2(x0)在点(a2，a)处(a28)，即点(8,64)处的切线方程为y6416(x8)令y0得a34，同理依次求得a42，a51，所以a1a3a521.答案：2115试求过点P(2，1)且与曲线yx2相切的直线
7、的方程解析：由题意知点P(2，1)不是曲线yx2上的点，即点P不是切点，设切点为M(x0，y0)，则y0x，因为y2x，所以y|xx02x0.又kPM，所以2x0.由解得x02或x02.当x02时，切线斜率k2x042.此时切线方程为y1(42)(x2)，即(42)xy940.当x02时，切线斜率k2x042，此时切线方程为y1(42)(x2)，即(42)xy940.所以切线方程为(42)xy940或(42)xy940.16直线l1与曲线y相切于点P，直线l2过P且垂直于l1交x轴于Q点，又作PK垂直于x轴于点K，求KQ的长解析：如图，设P(x0，y0)，则kl1f(x0)，因为直线l1与l2垂直，则kl22，所以直线l2的方程为yy02(xx0)，因为点P(x0，y0)在曲线y上，所以y0.在直线l2的方程中令y0，则2(xx0)所以xx0，即xQx0.又xkx0，所以|KQ|xQxKx0x0.
