1、江苏省江浦高级中学20122013学年第一学期高三年级十月考数 学 试 卷 命题人：滕宏银 2012年10月一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1. 已知全集，集合，则等于_.2. 已知复数满足(为虚数单位),则的模为_.3函数的定义域是_.4已知510角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则=_.5已知，则与向量方向相反的单位向量坐标为_.6. 已知，则_.7. 已知函数是偶函数，则常数的值为_.8. 已知，则的取值范围为_.9. 在中，角的对边分别为，若，则=_.10. 若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，ABCDE则
2、_.11. 如图，在中，为边上的点，且，则_.O12xy12.已知有极大值，其导函数的图象如图所示，则的解析式为_.13. 设函数，若，则实数的取值范围是_.14. 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，则不等式的解集为_.二、解答题：本大题共6题，共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在中， 分别是角所对的边，且（1）求边的值； （2）求的值16(本小题满分14分)如图，四棱锥的底面为矩形，且分别为，中点.（第16题）ABCDEFP（1）求证：平面；（2）若平面平面，求证：平面平面17（本小题满分14分）已知向量，且，求：（1）及；
3、（2）若的最小值是，求的值.18. （本小题满分16分）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.19. （本小题满分16分）已知函数（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值20(本小题满分16分) 若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，
4、则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间（1）已知是上的正函数，求的等域区间；（2）试探究是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由江苏省江浦高级中学20122013学年第一学期高三年级十月考数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 4 10. 11. 1 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.15. （本小题满分14分）解：（1）根据正弦定理，所以 5分（2）根据余弦定理，得 7分于是 8分从而 10分， 12分ABCDEFPN所以 14分1
5、6. （本小题满分14分）证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM因为F为PC的中点，所以FMCD，且FMCD因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EACD，且EACDABCDEFQP所以FMEA，且FMEA所以四边形AEFM为平行四边形所以EFAM 5分又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD 7分方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以BCEANE，CBENAE 又AEEB，所以CEBNEA所以CENE 又F为PC的中点，所以EFNP 5分又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD 7分方法三
6、：取CD的中点Q，连结FQ，EQ在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且AEDQ所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQAD又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD 2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQPD又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ平面PAD 又FQ，EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面PAD 5分因为EF平面EQF，所以EF平面PAD 7分（2）设AC，DE相交于G在矩形ABCD中，因为ABBC，E为AB的中点.所以 又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA 又ADECDEADC90，所以DCACDE90由DGC的内角和为1
7、80，得DGC90即DEAC 9分因为平面PAC平面ABCD因为DE平面ABCD，所以DE平面PAC， 12分 又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE 14分17. （本小题满分14分）解：(1) 2分 5分 7分 9分当时，当且仅当时，取得最小值1，这与已知矛盾；当时，取得最小值，由已知得；当 时，取得最小值，由已知得 解得，这与相矛盾，综上所述，为所求. 14分注意：没分类讨论扣2分18. （本小题满分16分）解：（1）， 4分由于， 5分 ， . 6分(2) 时，, 8分; 10分（3）= 设 则 12分由于，所以 14分在内单调递减，于是当时时 的最大值米. 15分答：当或时所铺设
8、的管道最短，为米. 16分19. （本小题满分16分）解：（1），1分在上是增函数，0在上恒成立，即在上恒成立 4分令，则在上是增函数，所以实数的取值范围为 7分（2）由（1）得，若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数所以，解得（舍去） 10分若，令，得当时，所以在上是减函数，当时，所以在上是增函数所以，解得（舍去）13分若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数所以，所以综上所述， 16分20. （本小题满分16分）解：（1）因为是上的正函数，且在上单调递增，所以当时， 即 3分解得， 故函数的“等域区间”为；5分（2）因为函数是上的减函数，所以当时，即7分 两式相减得，即， 9分 代入得， 由，且得， 11分 故关于的方程在区间内有实数解，13分 记， 则解得 16分
